登录
1. 如果 $2a = 5b$，那么下列比例式中正确的是（
A.$\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$
B.$\frac{a}{5} = \frac{2}{b}$
C.$\frac{a}{5} = \frac{b}{2}$
D.$\frac{a}{2} = \frac{b}{5}$
C
）A.$\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$
B.$\frac{a}{5} = \frac{2}{b}$
C.$\frac{a}{5} = \frac{b}{2}$
D.$\frac{a}{2} = \frac{b}{5}$
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查比例基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，简称“内项积等于外项积”。我们可以利用这一性质，将每个选项的比例式转化为等积式，再与题干给出的已知条件$2a=5b$进行对比，若转化后的等积式与已知一致，则该选项正确。
【解析】
根据比例的基本性质：比例的两外项之积等于两内项之积，对各选项逐一验证：
选项A：$\frac{a}{b}=\frac{2}{5}$，交叉相乘得$5a=2b$，与已知$2a=5b$不符，故A错误；
选项B：$\frac{a}{5}=\frac{2}{b}$，交叉相乘得$ab=10$，与已知$2a=5b$不符，故B错误；
选项C：$\frac{a}{5}=\frac{b}{2}$，交叉相乘得$2a=5b$，与已知条件一致，故C正确；
选项D：$\frac{a}{2}=\frac{b}{5}$，交叉相乘得$5a=2b$，与已知$2a=5b$不符，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查比例基本性质的正向和逆向应用，掌握交叉相乘将比例式与等积式互相转化的方法即可快速解题，解题时注意不要搞混内外项的位置。
【难度系数】
0.85
本题考查比例基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，简称“内项积等于外项积”。我们可以利用这一性质，将每个选项的比例式转化为等积式，再与题干给出的已知条件$2a=5b$进行对比，若转化后的等积式与已知一致，则该选项正确。
【解析】
根据比例的基本性质：比例的两外项之积等于两内项之积，对各选项逐一验证：
选项A：$\frac{a}{b}=\frac{2}{5}$，交叉相乘得$5a=2b$，与已知$2a=5b$不符，故A错误；
选项B：$\frac{a}{5}=\frac{2}{b}$，交叉相乘得$ab=10$，与已知$2a=5b$不符，故B错误；
选项C：$\frac{a}{5}=\frac{b}{2}$，交叉相乘得$2a=5b$，与已知条件一致，故C正确；
选项D：$\frac{a}{2}=\frac{b}{5}$，交叉相乘得$5a=2b$，与已知$2a=5b$不符，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查比例基本性质的正向和逆向应用，掌握交叉相乘将比例式与等积式互相转化的方法即可快速解题，解题时注意不要搞混内外项的位置。
【难度系数】
0.85
2.已知 $ x:3 = 5:(x+2) $，则x的值为
-5或3
.答案
2.-5或3
解析
【分析】
本题是比例式求未知数的问题，解题思路可分为三步：第一步回忆比例的基本性质，即比例的两内项之积等于两外项之积，利用该性质将比例式转化为整式方程；第二步求解转化得到的一元二次方程；第三步检验所得的根是否满足原比例式分母不为0的要求，排除增根后得到最终结果。
【解析】
根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，对原式交叉相乘可得：
$x(x+2)=3×5$
展开并移项整理得一元二次方程：
$x^2+2x-15=0$
对左侧因式分解得：
$(x+5)(x-3)=0$
则$x+5=0$或$x-3=0$，解得$x_1=-5$，$x_2=3$。
检验：当$x=-5$时，$x+2=-3≠0$，符合比例式要求；当$x=3$时，$x+2=5≠0$，符合比例式要求。
【答案】
-5或3
【知识点】
比例的基本性质；因式分解法解一元二次方程；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用比例性质完成比例式到整式方程的转化，解题时需注意求解后要检验根是否满足原比例式的分母不为零的要求，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
本题是比例式求未知数的问题，解题思路可分为三步：第一步回忆比例的基本性质，即比例的两内项之积等于两外项之积，利用该性质将比例式转化为整式方程；第二步求解转化得到的一元二次方程；第三步检验所得的根是否满足原比例式分母不为0的要求，排除增根后得到最终结果。
【解析】
根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，对原式交叉相乘可得：
$x(x+2)=3×5$
展开并移项整理得一元二次方程：
$x^2+2x-15=0$
对左侧因式分解得：
$(x+5)(x-3)=0$
则$x+5=0$或$x-3=0$，解得$x_1=-5$，$x_2=3$。
检验：当$x=-5$时，$x+2=-3≠0$，符合比例式要求；当$x=3$时，$x+2=5≠0$，符合比例式要求。
【答案】
-5或3
【知识点】
比例的基本性质；因式分解法解一元二次方程；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用比例性质完成比例式到整式方程的转化，解题时需注意求解后要检验根是否满足原比例式的分母不为零的要求，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
3. [2025·合肥肥西期末]若$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，则$\frac{a+b}{a}$的值等于（
A.$1$
B.$\frac{3}{2}$
C.$2$
D.$\frac{5}{2}$
B
）A.$1$
B.$\frac{3}{2}$
C.$2$
D.$\frac{5}{2}$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时可以有两种思路：思路一：先将所求代数式$\frac{a+b}{a}$利用同分母分式的加法法则拆分，变形为含有$\frac{b}{a}$的式子，再直接代入已知条件计算即可；思路二：根据已知的比例关系设参数，将a、b用含相同参数的式子表示，再代入所求代数式约分化简得到结果。
【解析】
方法一（拆分法）：
根据同分母分式的加法法则，可得：
$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{a}+\frac{b}{a}=1+\frac{b}{a}$
将$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$代入上式，得：
$1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
方法二（参数法）：
由$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，可设$b=k$，$a=2k$（$k≠0$），将其代入$\frac{a+b}{a}$得：
$\frac{2k + k}{2k}=\frac{3k}{2k}=\frac{3}{2}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
比例的性质；分式的化简求值
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，两种解题方法都较为简单，其中拆分法不需要设参数，计算更快捷，熟练掌握分式的运算法则和比例的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时可以有两种思路：思路一：先将所求代数式$\frac{a+b}{a}$利用同分母分式的加法法则拆分，变形为含有$\frac{b}{a}$的式子，再直接代入已知条件计算即可；思路二：根据已知的比例关系设参数，将a、b用含相同参数的式子表示，再代入所求代数式约分化简得到结果。
【解析】
方法一（拆分法）：
根据同分母分式的加法法则，可得：
$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{a}+\frac{b}{a}=1+\frac{b}{a}$
将$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$代入上式，得：
$1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
方法二（参数法）：
由$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，可设$b=k$，$a=2k$（$k≠0$），将其代入$\frac{a+b}{a}$得：
$\frac{2k + k}{2k}=\frac{3k}{2k}=\frac{3}{2}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
比例的性质；分式的化简求值
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，两种解题方法都较为简单，其中拆分法不需要设参数，计算更快捷，熟练掌握分式的运算法则和比例的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
4.若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{1}{3}(b+d≠0)$，则$\frac{a+c}{b+d}$的值为（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.1
D.$\frac{4}{3}$
A
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.1
D.$\frac{4}{3}$
答案
4.A
解析
【分析】
本题是比例性质的基础应用题，解题思路清晰：一是可以直接运用比例的等比性质求解，题目已经给出$b+d≠0$，满足等比性质的适用条件；二是可以采用设参数的方法，将$a、c$用对应参数表示后代入待求分式，通过约分得到结果，两种方法都能快速得出答案。
【解析】
方法一（利用等比性质）：
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{1}{3}$，且$b+d≠0$，根据等比性质：若$\frac{m}{n}=\frac{p}{q}=k$且$n+q≠0$，则$\frac{m+p}{n+q}=k$，可得$\frac{a+c}{b+d}=\frac{1}{3}$。
方法二（设参数法）：
设$a=k$，由$\frac{a}{b}=\frac{1}{3}$可得$b=3k$；设$c=m$，由$\frac{c}{d}=\frac{1}{3}$可得$d=3m$。
将上述关系代入待求式得：
$\frac{a+c}{b+d}=\frac{k+m}{3k+3m}=\frac{k+m}{3(k+m)}$
因为$b+d=3k+3m≠0$，所以$k+m≠0$，约分后得$\frac{a+c}{b+d}=\frac{1}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 比例的等比性质 2. 分式化简
【点评】
本题属于比例性质的基础考察题，牢记等比性质的适用条件是解题关键，也可通过设参数的方法转化为分式约分求解，解题思路灵活易掌握。
【难度系数】
0.9
本题是比例性质的基础应用题，解题思路清晰：一是可以直接运用比例的等比性质求解，题目已经给出$b+d≠0$，满足等比性质的适用条件；二是可以采用设参数的方法，将$a、c$用对应参数表示后代入待求分式，通过约分得到结果，两种方法都能快速得出答案。
【解析】
方法一（利用等比性质）：
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{1}{3}$，且$b+d≠0$，根据等比性质：若$\frac{m}{n}=\frac{p}{q}=k$且$n+q≠0$，则$\frac{m+p}{n+q}=k$，可得$\frac{a+c}{b+d}=\frac{1}{3}$。
方法二（设参数法）：
设$a=k$，由$\frac{a}{b}=\frac{1}{3}$可得$b=3k$；设$c=m$，由$\frac{c}{d}=\frac{1}{3}$可得$d=3m$。
将上述关系代入待求式得：
$\frac{a+c}{b+d}=\frac{k+m}{3k+3m}=\frac{k+m}{3(k+m)}$
因为$b+d=3k+3m≠0$，所以$k+m≠0$，约分后得$\frac{a+c}{b+d}=\frac{1}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 比例的等比性质 2. 分式化简
【点评】
本题属于比例性质的基础考察题，牢记等比性质的适用条件是解题关键，也可通过设参数的方法转化为分式约分求解，解题思路灵活易掌握。
【难度系数】
0.9
5.已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{1}{2}$，若$b+d+f=60$，则$a+c+e=$
30
答案
5.30
解析
【分析】
题目给出了三组比值均为$\frac{1}{2}$的比例，同时已知三个分母的和，要求对应三个分子的和。解题可从两个角度思考：一是根据比例的基本性质，用分母分别表示出对应的分子，再将分子相加，代入分母的和直接计算；二是利用等比性质求解，由于题目给出$b+d+f=60≠0$，满足等比性质的使用条件，可直接得到分子和与分母和的比值等于原比值，计算更简便。
【解析】
方法1（应用等比性质）：
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{1}{2}$，且$b+d+f=60≠0$，
根据等比性质：若若干个比例相等，且所有分母的和不为0，则所有分子的和与所有分母的和的比值等于原比值，可得：
$\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{1}{2}$
将$b+d+f=60$代入上式：
$a+c+e=60×\frac{1}{2}=30$
方法2（应用比例的基本性质）：
由$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$得$a=\frac{1}{2}b$，同理可得$c=\frac{1}{2}d$，$e=\frac{1}{2}f$，
将三个式子相加：
$a+c+e=\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}d+\frac{1}{2}f=\frac{1}{2}(b+d+f)$
代入$b+d+f=60$：
$a+c+e=\frac{1}{2}×60=30$
【答案】
30
【知识点】
等比性质、比例的基本性质
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，两种解法都容易掌握，使用等比性质时要注意必须满足“分母之和不为0”的前提条件，避免误用性质出错。
【难度系数】
0.8
题目给出了三组比值均为$\frac{1}{2}$的比例，同时已知三个分母的和，要求对应三个分子的和。解题可从两个角度思考：一是根据比例的基本性质，用分母分别表示出对应的分子，再将分子相加，代入分母的和直接计算；二是利用等比性质求解，由于题目给出$b+d+f=60≠0$，满足等比性质的使用条件，可直接得到分子和与分母和的比值等于原比值，计算更简便。
【解析】
方法1（应用等比性质）：
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{1}{2}$，且$b+d+f=60≠0$，
根据等比性质：若若干个比例相等，且所有分母的和不为0，则所有分子的和与所有分母的和的比值等于原比值，可得：
$\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{1}{2}$
将$b+d+f=60$代入上式：
$a+c+e=60×\frac{1}{2}=30$
方法2（应用比例的基本性质）：
由$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$得$a=\frac{1}{2}b$，同理可得$c=\frac{1}{2}d$，$e=\frac{1}{2}f$，
将三个式子相加：
$a+c+e=\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}d+\frac{1}{2}f=\frac{1}{2}(b+d+f)$
代入$b+d+f=60$：
$a+c+e=\frac{1}{2}×60=30$
【答案】
30
【知识点】
等比性质、比例的基本性质
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，两种解法都容易掌握，使用等比性质时要注意必须满足“分母之和不为0”的前提条件，避免误用性质出错。
【难度系数】
0.8
6. 已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4},a+b+c=54$,求$a$的值.
答案
6.12
解析
【分析】
遇到连等的比例式时，我们通常采用设参数（设k法）的思路解题：首先设这个相等的比值为k，就可以将a、b、c三个未知量都用含k的代数式表示，再代入已知的a+b+c=54的等式中，得到关于k的一元一次方程，解出k的值后，代入a的表达式即可求出a的值。
【解析】
解：设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k$，根据比例的性质可得：
$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$
将上述三个式子代入$a+b+c=54$，得：
$2k+3k+4k=54$
合并同类项，得$9k=54$
系数化为1，得$k=6$
因此$a=2k=2×6=12$
【答案】
12
【知识点】
1. 比例的性质 2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是比例相关的基础题型，重点考查连比问题的常用解法——设k法，掌握将多个未知量转化为同一个参数表示的思路，就能快速求解这类问题。
【难度系数】
0.8
遇到连等的比例式时，我们通常采用设参数（设k法）的思路解题：首先设这个相等的比值为k，就可以将a、b、c三个未知量都用含k的代数式表示，再代入已知的a+b+c=54的等式中，得到关于k的一元一次方程，解出k的值后，代入a的表达式即可求出a的值。
【解析】
解：设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k$，根据比例的性质可得：
$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$
将上述三个式子代入$a+b+c=54$，得：
$2k+3k+4k=54$
合并同类项，得$9k=54$
系数化为1，得$k=6$
因此$a=2k=2×6=12$
【答案】
12
【知识点】
1. 比例的性质 2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是比例相关的基础题型，重点考查连比问题的常用解法——设k法，掌握将多个未知量转化为同一个参数表示的思路，就能快速求解这类问题。
【难度系数】
0.8
7. 已知$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$，则下列等式不成立的是（
A.$\frac{a+b}{b}=\frac{8}{5}$
B.$5a=3b$
C.$\frac{a}{b}=\frac{a+3}{b+5}$
D.$\frac{a}{5}=\frac{3}{b}$
D
）A.$\frac{a+b}{b}=\frac{8}{5}$
B.$5a=3b$
C.$\frac{a}{b}=\frac{a+3}{b+5}$
D.$\frac{a}{5}=\frac{3}{b}$
答案
7.D
解析
【分析】
已知$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$，要判断哪个等式不成立，可采用两种思路：一是利用比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）对每个选项进行变形，验证是否和已知条件一致；二是设参数法，设$a=3k$，$b=5k$（$k≠0$），代入每个选项计算验证，逐一排除成立的选项，最终找到不成立的选项。
【解析】
我们结合参数法和比例性质逐一验证选项：
设$a=3k$，$b=5k$（$k$为不等于0的常数）
选项A：$\frac{a+b}{b}=\frac{3k+5k}{5k}=\frac{8k}{5k}=\frac{8}{5}$，等式成立，不符合题意；
选项B：由$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$，根据比例的基本性质，交叉相乘得$5a=3b$，等式成立，不符合题意；
选项C：右边$\frac{a+3}{b+5}=\frac{3k+3}{5k+5}=\frac{3(k+1)}{5(k+1)}=\frac{3}{5}=\frac{a}{b}$（$k=-1$时代入$a=-3,b=-5$仍成立），等式成立，不符合题意；
选项D：对$\frac{a}{5}=\frac{3}{b}$交叉相乘得$ab=15$，代入$a=3k,b=5k$得$15k^2=15$，仅当$k^2=1$时成立，对任意不为0的$k$不恒成立，等式不成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
比例的基本性质；比例的变形
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，通过交叉相乘验证或设参数代入的方法都能快速解题，需要注意比例的变形要符合等式的基本性质，避免随意推导错误结论。
【难度系数】
0.8
已知$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$，要判断哪个等式不成立，可采用两种思路：一是利用比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）对每个选项进行变形，验证是否和已知条件一致；二是设参数法，设$a=3k$，$b=5k$（$k≠0$），代入每个选项计算验证，逐一排除成立的选项，最终找到不成立的选项。
【解析】
我们结合参数法和比例性质逐一验证选项：
设$a=3k$，$b=5k$（$k$为不等于0的常数）
选项A：$\frac{a+b}{b}=\frac{3k+5k}{5k}=\frac{8k}{5k}=\frac{8}{5}$，等式成立，不符合题意；
选项B：由$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$，根据比例的基本性质，交叉相乘得$5a=3b$，等式成立，不符合题意；
选项C：右边$\frac{a+3}{b+5}=\frac{3k+3}{5k+5}=\frac{3(k+1)}{5(k+1)}=\frac{3}{5}=\frac{a}{b}$（$k=-1$时代入$a=-3,b=-5$仍成立），等式成立，不符合题意；
选项D：对$\frac{a}{5}=\frac{3}{b}$交叉相乘得$ab=15$，代入$a=3k,b=5k$得$15k^2=15$，仅当$k^2=1$时成立，对任意不为0的$k$不恒成立，等式不成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
比例的基本性质；比例的变形
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，通过交叉相乘验证或设参数代入的方法都能快速解题，需要注意比例的变形要符合等式的基本性质，避免随意推导错误结论。
【难度系数】
0.8
8. 已知$xyz≠0$且$\frac{x+y}{z}=\frac{z+x}{y}=\frac{y+z}{x}=k$，则k的值为（
A.$-1$
B.$2$
C.$-1$或$2$
D.$-2$或$1$
C
）A.$-1$
B.$2$
C.$-1$或$2$
D.$-2$或$1$
答案
8.C
解析
【分析】
本题考查比例性质的应用，解题时需注意等比性质的适用条件：只有当所有分母的和不为0时才能直接套用等比性质。因此我们分两种情况讨论：①当x+y+z≠0时，直接用等比性质计算k的值；②当x+y+z=0时，不能使用等比性质，可将x+y=-z的等量关系代入原式求解k，结合题中xyz≠0的条件，可保证所有分母均不为0，计算有效。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$x+y+z≠0$时，根据等比性质可得：
$k=\frac{(x+y)+(z+x)+(y+z)}{z+y+x}=\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2$
2. 当$x+y+z=0$时，可得$x+y=-z$，代入$k=\frac{x+y}{z}$得：
$k=\frac{-z}{z}=-1$（由$xyz≠0$可知$z≠0$，计算合法）
综上，k的值为-1或2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
等比性质，分类讨论，比例求值
【点评】
本题是比例计算的经典易错题，易错点是忽略等比性质的适用条件，遗漏x+y+z=0的情况导致漏解，解题时要养成考虑性质适用前提的习惯，避免思维定势。
【难度系数】
0.6
本题考查比例性质的应用，解题时需注意等比性质的适用条件：只有当所有分母的和不为0时才能直接套用等比性质。因此我们分两种情况讨论：①当x+y+z≠0时，直接用等比性质计算k的值；②当x+y+z=0时，不能使用等比性质，可将x+y=-z的等量关系代入原式求解k，结合题中xyz≠0的条件，可保证所有分母均不为0，计算有效。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$x+y+z≠0$时，根据等比性质可得：
$k=\frac{(x+y)+(z+x)+(y+z)}{z+y+x}=\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2$
2. 当$x+y+z=0$时，可得$x+y=-z$，代入$k=\frac{x+y}{z}$得：
$k=\frac{-z}{z}=-1$（由$xyz≠0$可知$z≠0$，计算合法）
综上，k的值为-1或2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
等比性质，分类讨论，比例求值
【点评】
本题是比例计算的经典易错题，易错点是忽略等比性质的适用条件，遗漏x+y+z=0的情况导致漏解，解题时要养成考虑性质适用前提的习惯，避免思维定势。
【难度系数】
0.6
9. 已知$a,b,c$是$△ ABC$的三条边长，且$\frac{a-b}{b}=\frac{b-c}{c}=\frac{c-a}{a}$，那么$△ ABC$为
等边三角形
.(填“等边三角形”或“直角三角形”)答案
9.等边三角形
解析
【分析】
遇到连等的比例式时，我们可以先设这个相等的比值为常数k，将每个比例转化为等式后相加，观察分子相加的和的特点，再结合三角形三边均为正数的隐含条件，推导出k的取值，进而得到a、b、c三边的数量关系，即可判断三角形的形状。
【解析】
设$\frac{a-b}{b}=\frac{b-c}{c}=\frac{c-a}{a}=k$，根据比例的性质可得：
$a-b = bk$，$b-c = ck$，$c-a = ak$。
将三个等式左右两边分别相加，左边为$(a-b)+(b-c)+(c-a)=0$，右边为$bk+ck+ak=k(a+b+c)$，因此有$k(a+b+c)=0$。
因为a、b、c是△ABC的三条边长，所以$a＞0,b＞0,c＞0$，即$a+b+c≠0$，可得$k=0$。
因此$a-b=0$，$b-c=0$，$c-a=0$，即$a=b=c$，所以△ABC是等边三角形。
【答案】
等边三角形
【知识点】
比例的性质；等边三角形判定
【点评】
本题重点考查比例性质的应用，解题的关键是通过设比值k、等式相加的技巧简化计算，同时要注意三角形三边长均为正数的隐含条件，避免漏用条件导致无法求出k的值。
【难度系数】
0.7
遇到连等的比例式时，我们可以先设这个相等的比值为常数k，将每个比例转化为等式后相加，观察分子相加的和的特点，再结合三角形三边均为正数的隐含条件，推导出k的取值，进而得到a、b、c三边的数量关系，即可判断三角形的形状。
【解析】
设$\frac{a-b}{b}=\frac{b-c}{c}=\frac{c-a}{a}=k$，根据比例的性质可得：
$a-b = bk$，$b-c = ck$，$c-a = ak$。
将三个等式左右两边分别相加，左边为$(a-b)+(b-c)+(c-a)=0$，右边为$bk+ck+ak=k(a+b+c)$，因此有$k(a+b+c)=0$。
因为a、b、c是△ABC的三条边长，所以$a＞0,b＞0,c＞0$，即$a+b+c≠0$，可得$k=0$。
因此$a-b=0$，$b-c=0$，$c-a=0$，即$a=b=c$，所以△ABC是等边三角形。
【答案】
等边三角形
【知识点】
比例的性质；等边三角形判定
【点评】
本题重点考查比例性质的应用，解题的关键是通过设比值k、等式相加的技巧简化计算，同时要注意三角形三边长均为正数的隐含条件，避免漏用条件导致无法求出k的值。
【难度系数】
0.7
10. [教材P78例1改编]如图，在$△ ABC$中，$\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}$。
(1)求证：$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$；
(2)求证：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
(1)求证：$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$；
(2)求证：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
答案
证明：(1)
$\because \frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}$，且$AB=AD+DB$，$AC=AE+EC$，
$\therefore \frac{AD+DB}{DB}=\frac{AE+EC}{EC}$，
即$\frac{AD}{DB}+1=\frac{AE}{EC}+1$，
等式两边同时减去1，得
$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$。
(2)
由(1)知$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，
$\therefore \frac{DB}{AD}=\frac{EC}{AE}$，
由合比性质，得$\frac{DB+AD}{AD}=\frac{EC+AE}{AE}$，
$\because DB+AD=AB$，$EC+AE=AC$，
$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
根据比例的基本性质变形可得
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
$\because \frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}$，且$AB=AD+DB$，$AC=AE+EC$，
$\therefore \frac{AD+DB}{DB}=\frac{AE+EC}{EC}$，
即$\frac{AD}{DB}+1=\frac{AE}{EC}+1$，
等式两边同时减去1，得
$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$。
(2)
由(1)知$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，
$\therefore \frac{DB}{AD}=\frac{EC}{AE}$，
由合比性质，得$\frac{DB+AD}{AD}=\frac{EC+AE}{AE}$，
$\because DB+AD=AB$，$EC+AE=AC$，
$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
根据比例的基本性质变形可得
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
解析
【分析】
(1) 第(1)问要证明$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，先观察已知条件$\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}$，结合线段和的关系，将AB拆为$AD+DB$、AC拆为$AE+EC$，代入已知比例后拆分分式，即可得到待证比例式加1的形式，两边同时减1即可得到结论。
(2) 第(2)问要证明$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，可直接利用第(1)问的结论，先通过反比性质将比例式分子分母颠倒，再运用合比性质，结合线段和的关系将分子替换为AB、AC，最后再次利用比例性质变形即可得证。
【解析】
(1) 证明：
$\because \frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}$，且由线段和差关系得$AB=AD+DB$，$AC=AE+EC$，
$\therefore \frac{AD+DB}{DB}=\frac{AE+EC}{EC}$，
即$\frac{AD}{DB}+1=\frac{AE}{EC}+1$，
等式两边同时减去1，得$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$。
(2) 证明：
由(1)已证$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，
根据反比性质得$\frac{DB}{AD}=\frac{EC}{AE}$，
由合比性质得$\frac{DB+AD}{AD}=\frac{EC+AE}{AE}$，
$\because DB+AD=AB$，$EC+AE=AC$，
$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
根据比例的基本性质变形可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
【答案】
(1) $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，证明成立；
(2) $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，证明成立。
【知识点】
比例的基本性质，合比性质，线段和差关系
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，重点考查比例变形规则的掌握程度，解题核心是通过线段和差关系建立已知条件和待证结论的关联，熟练掌握本题的变形方法能为后续相似三角形的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
(1) 第(1)问要证明$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，先观察已知条件$\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}$，结合线段和的关系，将AB拆为$AD+DB$、AC拆为$AE+EC$，代入已知比例后拆分分式，即可得到待证比例式加1的形式，两边同时减1即可得到结论。
(2) 第(2)问要证明$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，可直接利用第(1)问的结论，先通过反比性质将比例式分子分母颠倒，再运用合比性质，结合线段和的关系将分子替换为AB、AC，最后再次利用比例性质变形即可得证。
【解析】
(1) 证明：
$\because \frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}$，且由线段和差关系得$AB=AD+DB$，$AC=AE+EC$，
$\therefore \frac{AD+DB}{DB}=\frac{AE+EC}{EC}$，
即$\frac{AD}{DB}+1=\frac{AE}{EC}+1$，
等式两边同时减去1，得$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$。
(2) 证明：
由(1)已证$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，
根据反比性质得$\frac{DB}{AD}=\frac{EC}{AE}$，
由合比性质得$\frac{DB+AD}{AD}=\frac{EC+AE}{AE}$，
$\because DB+AD=AB$，$EC+AE=AC$，
$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
根据比例的基本性质变形可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
【答案】
(1) $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，证明成立；
(2) $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，证明成立。
【知识点】
比例的基本性质，合比性质，线段和差关系
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，重点考查比例变形规则的掌握程度，解题核心是通过线段和差关系建立已知条件和待证结论的关联，熟练掌握本题的变形方法能为后续相似三角形的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
11. 已知$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}$，求$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$的值。
答案
11. 当 $a + b + c ≠ 0$ 时，$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}=\frac{a+b-c+a-b+c-a+b+c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$,
即 $a+b-c=c,a-b+c=b,-a+b+c=a$,
$\therefore a+b=2c,a+c=2b,b+c=2a,\therefore 原式=\frac{8abc}{abc}=8$;
当 $a+b+c=0$ 时,可得 $a+b=-c,a+c=-b,b+c=-a$,
$\therefore 原式=\frac{-abc}{abc}=-1$.
综上可知,原式的值为8或-1.
即 $a+b-c=c,a-b+c=b,-a+b+c=a$,
$\therefore a+b=2c,a+c=2b,b+c=2a,\therefore 原式=\frac{8abc}{abc}=8$;
当 $a+b+c=0$ 时,可得 $a+b=-c,a+c=-b,b+c=-a$,
$\therefore 原式=\frac{-abc}{abc}=-1$.
综上可知,原式的值为8或-1.
解析
【分析】
遇到连等的比例式，首先考虑运用等比性质求解，但等比性质的适用条件是所有分母的和不为0，因此需要分两种情况讨论：①当$a+b+c≠0$时，直接使用等比性质求出每个比值的大小，进而得到$a+b$、$b+c$、$c+a$与$a$、$b$、$c$的关系，代入待求式计算；②当$a+b+c=0$时，不满足等比性质的使用条件，此时可直接将$a+b$、$b+c$、$c+a$用含第三个字母的式子表示，代入待求式化简即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$a + b + c ≠ 0$时，根据等比性质可得：
$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}=\frac{(a+b-c)+(a-b+c)+(-a+b+c)}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$
由此可得：
$a+b-c=c$，$a-b+c=b$，$-a+b+c=a$
整理得：$a+b=2c$，$a+c=2b$，$b+c=2a$
将其代入待求式：
$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{2c· 2a· 2b}{abc}=\frac{8abc}{abc}=8$
2. 当$a + b + c = 0$时，可得：
$a+b=-c$，$b+c=-a$，$c+a=-b$
将其代入待求式：
$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{(-c)· (-a)· (-b)}{abc}=\frac{-abc}{abc}=-1$
综上，原式的值为8或-1。
【答案】
8或-1
【知识点】
等比性质，分式化简求值，分类讨论思想
【点评】
本题核心考查等比性质的应用，易错点是忽略等比性质中“分母之和不为0”的前提条件，仅求出8这一个结果而漏解。遇到连等比例式时，要注意分情况讨论，保证解题的严谨性。
【难度系数】
0.5
遇到连等的比例式，首先考虑运用等比性质求解，但等比性质的适用条件是所有分母的和不为0，因此需要分两种情况讨论：①当$a+b+c≠0$时，直接使用等比性质求出每个比值的大小，进而得到$a+b$、$b+c$、$c+a$与$a$、$b$、$c$的关系，代入待求式计算；②当$a+b+c=0$时，不满足等比性质的使用条件，此时可直接将$a+b$、$b+c$、$c+a$用含第三个字母的式子表示，代入待求式化简即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$a + b + c ≠ 0$时，根据等比性质可得：
$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}=\frac{(a+b-c)+(a-b+c)+(-a+b+c)}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$
由此可得：
$a+b-c=c$，$a-b+c=b$，$-a+b+c=a$
整理得：$a+b=2c$，$a+c=2b$，$b+c=2a$
将其代入待求式：
$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{2c· 2a· 2b}{abc}=\frac{8abc}{abc}=8$
2. 当$a + b + c = 0$时，可得：
$a+b=-c$，$b+c=-a$，$c+a=-b$
将其代入待求式：
$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{(-c)· (-a)· (-b)}{abc}=\frac{-abc}{abc}=-1$
综上，原式的值为8或-1。
【答案】
8或-1
【知识点】
等比性质，分式化简求值，分类讨论思想
【点评】
本题核心考查等比性质的应用，易错点是忽略等比性质中“分母之和不为0”的前提条件，仅求出8这一个结果而漏解。遇到连等比例式时，要注意分情况讨论，保证解题的严谨性。
【难度系数】
0.5
