1.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论正确的有()
①当$AB=BC$时,它是菱形;②当$AC⊥BD$时,它是菱形;③当$∠ABC=90°$时,它是矩形;
④当$AC=BD$时,它是正方形.

A.3个
B.4个
C.1个
D.2个

A

逐一判断各结论：①根据菱形定义，一组邻边相等的平行四边形是菱形，AB=BC时平行四边形ABCD是菱形，结论正确；②根据菱形判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，AC⊥BD时平行四边形ABCD是菱形，结论正确；③根据矩形定义，有一个内角为90°的平行四边形是矩形，∠ABC=90°时平行四边形ABCD是矩形，结论正确；④对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，该结论错误。综上正确的结论共有3个。

2.已知矩形ABCD,添加下列条件不能判定这个矩形是正方形的是()

A.$AC⊥BD$
B.$AC=BD$
C.AC平分$∠BAD$
D.$∠ADB=∠ABD$

B

已知四边形ABCD是矩形，矩形固有性质为四个内角为直角、对角线相等且互相平分，逐一分析选项：
1. 选项A：对角线互相垂直的矩形是正方形，可判定该矩形为正方形。
2. 选项B：AC=BD是矩形本身就满足的性质，添加该条件无法推出邻边相等或对角线垂直，不能判定该矩形是正方形。
3. 选项C：AC平分∠BAD，可得∠BAC=∠DAC=45°，结合矩形内角为90°，可推出邻边AB=BC，邻边相等的矩形是正方形，可判定。
4. 选项D：由∠ADB=∠ABD，根据等角对等边可得AB=AD，邻边相等的矩形是正方形，可判定。
综上，不能判定这个矩形是正方形的是B。

3. 下列条件中,能使菱形 ABCD 为正方形的是()

A.$AB=AD$
B.$AB ⊥ BC$
C.$AC ⊥ BD$
D.$AC$ 平分 $∠ BAD$

B

根据菱形的性质可知：菱形本身四边相等、对角线互相垂直、对角线平分一组对角，因此选项A、C、D都是菱形原本就具备的性质，无法判定菱形为正方形；选项B中AB⊥BC，说明菱形有一个内角为90°，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，可判定菱形ABCD为正方形。

4. 如图,若两个正方形的边长分别为$a(a＞2)$,2,则图中阴影部分的面积为________.

$\frac{1}{2}a^2 - a + 2$

我们采用整体减空白的方法计算阴影部分面积：
1. 先求两个正方形的总面积：$S_{\mathrm{总}} = a^2 + 2^2 = a^2 + 4$
2. 求大正方形内第一个空白直角三角形的面积：该三角形两条直角边长均为$a$，因此$S_1 = \frac{1}{2} · a · a = \frac{1}{2}a^2$
3. 求右下角第二个空白直角三角形的面积：该三角形底边长为$a+2$，高为2，因此$S_2 = \frac{1}{2} · 2 · (a+2) = a+2$
4. 计算阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{总}} - S_1 - S_2 = a^2 + 4 - \frac{1}{2}a^2 - (a+2) = \frac{1}{2}a^2 - a + 2$

5. 如图,四边形ABCD是正方形,点E在正方形外,△DCE为等边三角形,连接BE,交DC于点G.写出图中一个度数为$75°$的角:________.

$∠ BGC$（答案不唯一）

1. 由四边形ABCD是正方形，可得：$BC=CD$，$∠ BCD=∠ ABC=90°$。
2. 由$△ DCE$是等边三角形，可得：$CE=CD$，$∠ DCE=60°$。
3. 因此$CE=BC$，$∠ BCE=∠ BCD+∠ DCE=90°+60°=150°$。
4. 在等腰$△ BCE$中，$∠ CBE=∠ CEB=\frac{180°-150°}{2}=15°$。
5. 在$\mathrm{Rt}△ BCG$中，$∠ BGC=90°-∠ CBE=90°-15°=75°$。
同理可推导得$∠ ABE$、$∠ DGE$等角也为$75°$，任选其一即可。

6.如图,在边长为2的正方形ABCD中,P是对角线AC上一点.若PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,则$PE+PF=$.

$\boldsymbol{2}$

1. 由题意可知，四边形ABCD是边长为2的正方形，因此$∠ B=90°$，$AB=2$，对角线$AC$平分$∠ BAD$，可得$∠ EAP=45°$。
2. 因为$PE⊥ AB$，所以$△ AEP$是等腰直角三角形，因此$PE=AE$。
3. 又因为$PF⊥ BC$，$PE⊥ AB$，$∠ B=90°$，所以四边形$EBFP$是矩形，根据矩形对边相等的性质，可得$PF=EB$。
4. 因此$PE+PF = AE + EB = AB = 2$。

7. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$∠ BAD$ 的平分线交 $BC$ 于点 $E$,$EF ⊥ AD$ 于点 $F$,$DG ⊥ AE$ 于点 $G$,$DG$ 与 $EF$ 相交于点 $O$.
(1)求证:四边形 $ABEF$ 是正方形;
(2)若 $AD=AE$,求证 $AB=AG$;
(3)在(2)的条件下,已知 $AB=1$,求 $OF$ 的长.

(1) 证明成立；(2) 证明成立；(3) OF的长为$\sqrt{2}-1$

(1) 证明四边形ABEF是正方形：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD = ∠B = 90°，
又∵ EF⊥AD，即∠AFE=90°，
∴ 四边形ABEF有三个内角为直角，是矩形。
∵ AE平分∠BAD，∠B=90°，EF⊥AD，由角平分线的性质得BE=EF，
∴ 邻边相等的矩形ABEF是正方形。
(2) 证明AB=AG：
∵ AE平分∠BAD，∴ ∠BAE = ∠DAG = 45°，
∵ DG⊥AE，∴ ∠AGD = 90° = ∠B，
在△ABE和△AGD中：
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠AGD \\∠BAE = ∠DAG \\AE = AD\end{array} $
∴ △ABE ≌ △AGD（AAS），
∴ AB = AG。
(3) 求OF的长：
由(1)得正方形ABEF中，AB = BE = EF = AF = 1，
在Rt△ABE中，由勾股定理得 $AE = \sqrt{AB^2 + BE^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$，
由AD=AE得AD=$\sqrt{2}$，
∴ FD = AD - AF = $\sqrt{2} - 1$，
∵ ∠DAG=45°，DG⊥AE，∴ △AGD是等腰直角三角形，∠ADG=45°，
又∵ ∠DFO=90°，∴ △DFO是等腰直角三角形，
∴ OF = FD = $\sqrt{2} - 1$。