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9. 某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：凡七月份在该商场一次性购物超过100元以上，超过100元的部分按9折优惠.在此次活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品$ x $件($ x＞2 $，且$ x $为整数)，则应付货款$ y $(单位：元)与商品件数$ x $之间的函数关系式是（
A.$ y=54x $
B.$ y=54x+10 $
C.$ y=54x+90 $
D.$ y=54x+100 $
B
）A.$ y=54x $
B.$ y=54x+10 $
C.$ y=54x+90 $
D.$ y=54x+100 $
答案
B 解析:$\because x＞2$,$\therefore$应付货款超过100元,超过部分为$(60x-100)$元,$\therefore y=100+(60x-100)×0.9=54x+10$($x＞2$,且$x$为整数).
解析
【分析】
解这道题首先要明确商场的优惠规则：购物总价超过100元时，仅超过100元的部分打9折，100元以内部分全额支付。首先判断购买x件单价60元的办公用品，且x＞2时，总原价为60x元，最小x=3时总价为180元，已经超过100元，符合优惠条件。接下来将应付货款拆分为两部分：100元的全额部分，以及超过100元部分的打折费用，分别计算两部分费用相加，再化简即可得到y与x的函数关系式。
【解析】
已知x＞2且x为整数，所以购买办公用品的总原价为60x元，且60x＞60×2=120＞100，符合优惠要求。
根据优惠规则，应付货款分为两部分：
① 100元的全额支付部分；
② 超过100元部分的9折支付部分，这部分原价为(60x-100)元，打折后费用为0.9×(60x-100)元。
因此总应付货款：
$\begin{aligned}y&=100 + 0.9×(60x-100)\\&=100 + 54x - 90\\&=54x + 10\quad(x＞2,且x为整数)\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数实际应用 2. 分段计费 3. 列函数关系式
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景出题，解题的核心是准确理解优惠规则，正确拆分全额支付和打折支付的费用部分，再通过代数化简得到函数解析式，属于基础应用题，细心读题即可得分。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确商场的优惠规则：购物总价超过100元时，仅超过100元的部分打9折，100元以内部分全额支付。首先判断购买x件单价60元的办公用品，且x＞2时，总原价为60x元，最小x=3时总价为180元，已经超过100元，符合优惠条件。接下来将应付货款拆分为两部分：100元的全额部分，以及超过100元部分的打折费用，分别计算两部分费用相加，再化简即可得到y与x的函数关系式。
【解析】
已知x＞2且x为整数，所以购买办公用品的总原价为60x元，且60x＞60×2=120＞100，符合优惠要求。
根据优惠规则，应付货款分为两部分：
① 100元的全额支付部分；
② 超过100元部分的9折支付部分，这部分原价为(60x-100)元，打折后费用为0.9×(60x-100)元。
因此总应付货款：
$\begin{aligned}y&=100 + 0.9×(60x-100)\\&=100 + 54x - 90\\&=54x + 10\quad(x＞2,且x为整数)\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数实际应用 2. 分段计费 3. 列函数关系式
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景出题，解题的核心是准确理解优惠规则，正确拆分全额支付和打折支付的费用部分，再通过代数化简得到函数解析式，属于基础应用题，细心读题即可得分。
【难度系数】
0.8
10. (2025·福建)弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的.胡克定律为:在弹性限度内,弹簧弹力$ F $的大小与弹簧伸长(或压缩)的长度$ x $成正比,即$ F=kx $,其中$ k $为常数,是弹簧的劲度系数;质量为$ m $的物体的重力为$ mg $,其中$ g $为常数.如图,一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6 cm.在其弹性限度内,当所挂物体的质量为0.5 kg时,弹簧长度为6.5 cm,那么当弹簧长度为6.8 cm时,所挂物体的质量为
0.8
kg.答案
0.8 解析:将$F=0.5g$,$x=6.5-6=0.5$代入$F=kx$,得$0.5g=0.5k$,解得$k=g$,$\therefore F$与$x$的函数表达式为$F=gx$,将$x=6.8-6=0.8$,$F=mg$代入$F=gx$,得$mg=0.8g$,解得$m=0.8$,$\therefore$当弹簧长度为6.8 cm时,所挂物体的质量为0.8 kg.
解析
【分析】
解题时首先要明确胡克定律中各量的含义：弹簧伸长的长度x是弹簧实际长度减去不挂物体时的原长。我们可以先利用已知的物体质量和对应弹簧长度，代入公式F=kx求出劲度系数k的值；再计算出弹簧长度为6.8cm时的伸长量，再次代入公式，结合重力公式F=mg即可求出对应物体的质量。
【解析】
弹簧不挂物体时原长为6cm：
1. 当所挂物体质量为0.5kg时，弹簧伸长量$x_1=6.5-6=0.5\mathrm{cm}$，此时弹簧弹力等于物体重力，即$F_1=m_1g=0.5g$。
将$F_1=0.5g$、$x_1=0.5$代入$F=kx$，可得：
$0.5g=0.5k$，解得$k=g$，因此弹力与伸长量的关系式为$F=gx$。
2. 当弹簧长度为6.8cm时，弹簧伸长量$x_2=6.8-6=0.8\mathrm{cm}$，此时弹力$F_2=mg$，代入关系式得：
$mg=0.8g$，两边约去g，解得$m=0.8$。
【答案】
0.8
【知识点】
1. 一次函数应用 2. 胡克定律 3. 代入求值
【点评】
本题是跨学科的基础应用题，结合物理知识考查函数的实际应用，解题核心是理清弹簧伸长量、弹力、物体质量之间的等量关系，先求出未知常数k再代入求解，只要理清各量关系就可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确胡克定律中各量的含义：弹簧伸长的长度x是弹簧实际长度减去不挂物体时的原长。我们可以先利用已知的物体质量和对应弹簧长度，代入公式F=kx求出劲度系数k的值；再计算出弹簧长度为6.8cm时的伸长量，再次代入公式，结合重力公式F=mg即可求出对应物体的质量。
【解析】
弹簧不挂物体时原长为6cm：
1. 当所挂物体质量为0.5kg时，弹簧伸长量$x_1=6.5-6=0.5\mathrm{cm}$，此时弹簧弹力等于物体重力，即$F_1=m_1g=0.5g$。
将$F_1=0.5g$、$x_1=0.5$代入$F=kx$，可得：
$0.5g=0.5k$，解得$k=g$，因此弹力与伸长量的关系式为$F=gx$。
2. 当弹簧长度为6.8cm时，弹簧伸长量$x_2=6.8-6=0.8\mathrm{cm}$，此时弹力$F_2=mg$，代入关系式得：
$mg=0.8g$，两边约去g，解得$m=0.8$。
【答案】
0.8
【知识点】
1. 一次函数应用 2. 胡克定律 3. 代入求值
【点评】
本题是跨学科的基础应用题，结合物理知识考查函数的实际应用，解题核心是理清弹簧伸长量、弹力、物体质量之间的等量关系，先求出未知常数k再代入求解，只要理清各量关系就可顺利解答。
【难度系数】
0.8
11. (1)已知 $ y $ 关于 $ x $ 的函数 $ y=(m+2)x+m^2 - 4 $ 是正比例函数，则 $ m=\_\_\_\_\_\_ $。
(2)已知函数 $ y=(m-2)x^{m^2 - 3} - 5 $ 是一次函数，则 $ m $ 的值为 ______。
(2)已知函数 $ y=(m-2)x^{m^2 - 3} - 5 $ 是一次函数，则 $ m $ 的值为 ______。
答案
(1)2 解析:根据题意,得$m+2≠0$,且$m^2-4=0$,解得$m≠-2$且$m=±2$,$\therefore m=2$.
(2)-2 解析:根据题意,得$m^2-3=1$且$m-2≠0$,解得$m=±2$且$m≠2$,$\therefore m=-2$.
(2)-2 解析:根据题意,得$m^2-3=1$且$m-2≠0$,解得$m=±2$且$m≠2$,$\therefore m=-2$.
解析
【分析】
解决本题需要先回忆正比例函数、一次函数的定义，再根据定义列出对应的限制条件求解：
(1) 正比例函数需满足两个核心条件：一是x的系数不为0，二是常数项为0，据此列方程和不等式，求解后排除不符合要求的解即可得到结果；
(2) 一次函数需满足两个核心条件：一是x的次数为1，二是x的系数不为0，同样列方程和不等式，求解后排除不符合要求的解即可得到结果。
【解析】
(1) 根据正比例函数的定义，可得：
$\begin{cases}m+2≠0 \\ m^2 - 4 = 0\end{cases}$
解$m^2 - 4 = 0$得$m=\pm2$，解$m+2≠0$得$m≠-2$，因此$m=2$。
(2) 根据一次函数的定义，可得：
$\begin{cases}m^2 - 3 = 1 \\ m - 2≠0\end{cases}$
解$m^2 - 3 = 1$得$m^2=4$，即$m=\pm2$，解$m-2≠0$得$m≠2$，因此$m=-2$。
【答案】
(1)2；(2)-2
【知识点】
正比例函数的定义；一次函数的定义
【点评】
本题是函数概念的基础考查题，易错点是求解时容易忽略“自变量的系数不为0”这一限制条件，导致出现多解错误，解题时要先列全所有限制条件，再对得到的解进行筛选。
【难度系数】
0.7
解决本题需要先回忆正比例函数、一次函数的定义，再根据定义列出对应的限制条件求解：
(1) 正比例函数需满足两个核心条件：一是x的系数不为0，二是常数项为0，据此列方程和不等式，求解后排除不符合要求的解即可得到结果；
(2) 一次函数需满足两个核心条件：一是x的次数为1，二是x的系数不为0，同样列方程和不等式，求解后排除不符合要求的解即可得到结果。
【解析】
(1) 根据正比例函数的定义，可得：
$\begin{cases}m+2≠0 \\ m^2 - 4 = 0\end{cases}$
解$m^2 - 4 = 0$得$m=\pm2$，解$m+2≠0$得$m≠-2$，因此$m=2$。
(2) 根据一次函数的定义，可得：
$\begin{cases}m^2 - 3 = 1 \\ m - 2≠0\end{cases}$
解$m^2 - 3 = 1$得$m^2=4$，即$m=\pm2$，解$m-2≠0$得$m≠2$，因此$m=-2$。
【答案】
(1)2；(2)-2
【知识点】
正比例函数的定义；一次函数的定义
【点评】
本题是函数概念的基础考查题，易错点是求解时容易忽略“自变量的系数不为0”这一限制条件，导致出现多解错误，解题时要先列全所有限制条件，再对得到的解进行筛选。
【难度系数】
0.7
12. (2025·山东)山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径.某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型.已知本次注水前蓄水池的水位高度为 5 m，注水时水位高度每小时上升 6 m.
(1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度$y$(单位:m)与注水时间$x$(单位:h)之间的函数表达式.
(2)已知蓄水池的底面积为 0.4 万平方米，每立方米的水可供发电 0.3 千瓦时，则注水多长时间可供发电 4.2 万千瓦时?
(1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度$y$(单位:m)与注水时间$x$(单位:h)之间的函数表达式.
(2)已知蓄水池的底面积为 0.4 万平方米，每立方米的水可供发电 0.3 千瓦时，则注水多长时间可供发电 4.2 万千瓦时?
答案
(1)$y=6x+5$.
(2)根据题意,得$0.4(6x+5)×0.3=4.2$,解得$x=5$.答:注水5 h可供发电4.2万千瓦时.
(2)根据题意,得$0.4(6x+5)×0.3=4.2$,解得$x=5$.答:注水5 h可供发电4.2万千瓦时.
解析
【分析】
(1) 求解水位高度与注水时间的函数表达式，需明确水位高度由两部分构成：一是注水前的初始水位5m，二是注水x小时上升的高度。已知每小时水位上升6m，x小时上升高度为6x m，将两部分相加即可得到y与x的函数关系，注意自变量x代表时间，取值为非负数。
(2) 第二问的核心是找准发电量的等量关系：总发电量=蓄水池蓄水量×每立方米水的发电量。其中蓄水量=底面积×水位高度，水位高度可直接代入第一问得到的函数表达式，据此列出一元一次方程，按步骤求解即可得到注水时间。
【解析】
(1) 注水前初始水位为5m，注水x小时后水位上升高度为6x m，因此总水位高度为初始高度加上升高度，可得函数表达式：
$y=6x+5 \quad (x≥0)$
(2) 根据题意，蓄水池蓄水量 = 底面积 × 水位高度，即蓄水量为$0.4(6x+5)$万立方米；总发电量=蓄水量×每立方米发电量，据此列方程：
$0.4(6x+5)×0.3=4.2$
化简得：$0.12(6x+5)=4.2$
两边同时除以0.12得：$6x+5=35$
移项计算得：$6x=30$
解得：$x=5$
【答案】
(1) $y=6x+5$
(2) 注水5 h可供发电4.2万千瓦时
【知识点】
一次函数应用；一元一次方程应用；等量关系建模
【点评】
本题结合能源绿色转型的热点实际场景命题，考查学生从实际问题中提取数量关系、运用数学知识解决生活问题的能力，解题关键是理清各数量间的逻辑关系，难度较低，贴合学以致用的学习要求。
【难度系数】
0.8
(1) 求解水位高度与注水时间的函数表达式，需明确水位高度由两部分构成：一是注水前的初始水位5m，二是注水x小时上升的高度。已知每小时水位上升6m，x小时上升高度为6x m，将两部分相加即可得到y与x的函数关系，注意自变量x代表时间，取值为非负数。
(2) 第二问的核心是找准发电量的等量关系：总发电量=蓄水池蓄水量×每立方米水的发电量。其中蓄水量=底面积×水位高度，水位高度可直接代入第一问得到的函数表达式，据此列出一元一次方程，按步骤求解即可得到注水时间。
【解析】
(1) 注水前初始水位为5m，注水x小时后水位上升高度为6x m，因此总水位高度为初始高度加上升高度，可得函数表达式：
$y=6x+5 \quad (x≥0)$
(2) 根据题意，蓄水池蓄水量 = 底面积 × 水位高度，即蓄水量为$0.4(6x+5)$万立方米；总发电量=蓄水量×每立方米发电量，据此列方程：
$0.4(6x+5)×0.3=4.2$
化简得：$0.12(6x+5)=4.2$
两边同时除以0.12得：$6x+5=35$
移项计算得：$6x=30$
解得：$x=5$
【答案】
(1) $y=6x+5$
(2) 注水5 h可供发电4.2万千瓦时
【知识点】
一次函数应用；一元一次方程应用；等量关系建模
【点评】
本题结合能源绿色转型的热点实际场景命题，考查学生从实际问题中提取数量关系、运用数学知识解决生活问题的能力，解题关键是理清各数量间的逻辑关系，难度较低，贴合学以致用的学习要求。
【难度系数】
0.8
13. (2025·陕西)研究表明,一定质量的气体,在压强不变的条件下,气体体积$y$(单位:L)与气体温度$x$(单位:$°\mathrm{C}$)成一次函数关系.某实验室在压强不变的条件下,对一定质量的某种气体进行加热,测得的部分数据如下表.
(1)求$y$与$x$的函数表达式.
(2)为满足下一步的实验需求,本次实验要求气体体积达到$700\ \mathrm{L}$时停止加热.求停止加热时的气体温度.
(1)求$y$与$x$的函数表达式.
(2)为满足下一步的实验需求,本次实验要求气体体积达到$700\ \mathrm{L}$时停止加热.求停止加热时的气体温度.
答案
(1)根据表格,气体温度升高1 ℃,气体体积增大2 L,则$y=596+2(x-25)=2x+546$,$\therefore y$与$x$的函数表达式为$y=2x+546$.
(2)当$y=700$时,得$2x+546=700$,解得$x=77$.答:停止加热时的气体温度为77 ℃.
(2)当$y=700$时,得$2x+546=700$,解得$x=77$.答:停止加热时的气体温度为77 ℃.
解析
【分析】
本题考查一次函数的实际应用，解题思路如下：
(1) 题目明确说明y与x成一次函数关系，因此可以先设一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$）。观察表格数据，x每增加5℃，y对应增加10L，可先算出比例系数k的值，再代入任意一组x、y的对应值求出常数b，即可得到函数表达式；也可直接选取两组表格中的对应数据，代入一般式联立方程组求解k和b。
(2) 第二问已知气体体积y的取值，只需将$y=700$代入第一问求出的函数表达式，解关于x的一元一次方程，即可得到停止加热时的气体温度。
【解析】
(1) 设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
观察表格可知：温度升高$30-25=5℃$时，体积增加$606-596=10L$，因此温度每升高1℃，体积增加$10÷5=2L$，即$k=2$。
将$x=25$，$y=596$，$k=2$代入$y=kx+b$得：
$596=2×25+b$
解得$b=596-50=546$
因此$y$与$x$的函数表达式为$y=2x+546$。
(2) 当气体体积为$700\ \mathrm{L}$时，即$y=700$，代入$y=2x+546$得：
$2x+546=700$
移项计算得$2x=154$，解得$x=77$。
【答案】
(1) $y=2x+546$
(2) $77℃$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合物理实验背景考查一次函数的基础应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，以及根据函数值求解对应自变量取值的计算，整体考查内容偏基础，计算时注意准确性即可。
【难度系数】
0.85
本题考查一次函数的实际应用，解题思路如下：
(1) 题目明确说明y与x成一次函数关系，因此可以先设一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$）。观察表格数据，x每增加5℃，y对应增加10L，可先算出比例系数k的值，再代入任意一组x、y的对应值求出常数b，即可得到函数表达式；也可直接选取两组表格中的对应数据，代入一般式联立方程组求解k和b。
(2) 第二问已知气体体积y的取值，只需将$y=700$代入第一问求出的函数表达式，解关于x的一元一次方程，即可得到停止加热时的气体温度。
【解析】
(1) 设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
观察表格可知：温度升高$30-25=5℃$时，体积增加$606-596=10L$，因此温度每升高1℃，体积增加$10÷5=2L$，即$k=2$。
将$x=25$，$y=596$，$k=2$代入$y=kx+b$得：
$596=2×25+b$
解得$b=596-50=546$
因此$y$与$x$的函数表达式为$y=2x+546$。
(2) 当气体体积为$700\ \mathrm{L}$时，即$y=700$，代入$y=2x+546$得：
$2x+546=700$
移项计算得$2x=154$，解得$x=77$。
【答案】
(1) $y=2x+546$
(2) $77℃$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合物理实验背景考查一次函数的基础应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，以及根据函数值求解对应自变量取值的计算，整体考查内容偏基础，计算时注意准确性即可。
【难度系数】
0.85
