1. (教材例题变式)下列函数是正比例函数的是 ()

A.$y=\dfrac{2}{x}$
B.$y=2x^2$
C.$y=x+2$
D.$y=-2x$

D

【分析】
要解决这道题，首先需要明确正比例函数的定义及判定条件：正比例函数需满足形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），核心特征有三个：①自变量$x$的次数为1；②不含常数项；③比例系数$k$不为0。解题时只需逐一核对四个选项是否符合上述特征，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确正比例函数的定义：一般地，形如$y=kx$（$k$是常数，$k≠0$）的函数叫做正比例函数。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=\dfrac{2}{x}$中自变量$x$在分母位置，属于反比例函数，不符合正比例函数的形式，排除；
选项B：$y=2x^2$中自变量$x$的次数是2，属于二次函数，不符合正比例函数要求，排除；
选项C：$y=x+2$中存在常数项2，是一次函数但不是正比例函数，排除；
选项D：$y=-2x$符合$y=kx$的形式，其中$k=-2≠0$，自变量$x$次数为1且无常数项，属于正比例函数。
【答案】
D
【知识点】
1. 正比例函数的定义
2. 函数类型识别
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对正比例函数定义的理解与应用，解题的关键是准确掌握正比例函数的形式特征，注意区分其与其他常见函数类型的差异。
【难度系数】
0.9

2. (2024·广西)激光测距仪L发出的激光束以$3×10^{5}\mathrm{km/s}$的速度射向目标M,$t\ \mathrm{s}$后测距仪L收到M反射回的激光束,则L到M的距离$d$(单位:$\mathrm{km}$)与时间$t$(单位:$\mathrm{s}$)之间的函数关系式为 ()

A.$d=\dfrac{3×10^{5}}{2}t$
B.$d=3×10^{5}t$
C.$d=2×3×10^{5}t$
D.$d=3×10^{6}t$

A

【分析】
解题时首先要明确激光的传播路径：激光从测距仪L发出到目标M，再反射回L，走的是往返路程，因此总路程是L到M距离的2倍。再结合行程问题的基本公式“路程=速度×时间”先算出激光传播的总路程，再除以2就能得到L到M的距离，进而推导出d与t的函数关系式。
【解析】
首先根据行程问题基本公式，激光往返传播的总路程为：
$s=v· t=3×10^5 t \ (\mathrm{km})$
由于总路程是L到M距离的2倍，即$s=2d$，将总路程代入变形可得：
$d=\frac{s}{2}=\frac{3×10^5 t}{2}=\frac{3×10^5}{2}t$
因此符合要求的函数关系式为选项A。
【答案】
A
【知识点】
行程问题公式；函数关系式列写
【点评】
本题结合实际应用场景考查函数关系式的推导，易错点是容易忽略激光是往返传播，误将总路程当成单程距离选错选项，解题时先理清运动路径，再结合对应公式计算即可。
【难度系数】
0.7

3. 已知函数$y=(k-1)x+b-2$是正比例函数，则 （）

A.$k=1,b=2$
B.$k≠1,b=-2$
C.$k≠1,b=2$
D.$k≠-1,b=-2$

C 解析:$\because y=(k-1)x+b-2$是正比例函数,$\therefore k-1≠0,b-2=0$,解得$k≠1,b=2$.

【分析】首先回忆正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做正比例函数。判断给定函数为正比例函数需要满足两个核心条件：一是$x$的一次项系数不能为0，二是常数项必须为0。我们只需对应题目中的函数表达式，分别找到一次项系数和常数项，列出对应的不等式和方程求解即可。
【解析】根据正比例函数的定义，函数$y=(k-1)x+b-2$是正比例函数需满足：
1. 一次项系数不为0：$k-1≠0$，解得$k≠1$；
2. 常数项为0：$b-2=0$，解得$b=2$。
综上可得$k≠1,b=2$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】正比例函数的定义
【点评】本题属于基础概念考察题，解题的关键是牢记正比例函数的两个判定条件，尤其注意不要遗漏一次项系数不为0的限制，避免因疏忽出错。
【难度系数】0.8

4. 下列情形中,成正比例关系的是 ()

A.面积一定的长方形的长与宽
B.保持圆的半径不变,圆的周长和圆周率
C.周长一定的长方形的长与宽
D.购买同一商品,应付的钱数与商品个数

D

【分析】
解题时首先要明确正比例关系的判定条件：①两个量是相关联的变量，一种量变化，另一种量也随之变化；②两个量的比值（商）为定值。接下来我们用该判定条件逐一验证四个选项，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先明确：若两种相关联的变量的比值（商）一定，则二者成正比例关系；若乘积一定，则成反比例关系。我们逐个分析选项：
A选项：长方形的面积=长×宽，当面积一定时，长和宽的乘积为定值，因此二者成反比例关系，不符合要求；
B选项：圆的周长公式为$C=2π r$，当半径$r$不变时，$2r$为定值，圆周率$π$本身是固定不变的常量，不存在两个变化的量，因此二者不成比例关系，不符合要求；
C选项：长方形的周长$=2×(长+宽)$，当周长一定时，长与宽的和为定值，既不是比值一定也不是乘积一定，因此二者不成比例关系，不符合要求；
D选项：购买同一商品时，商品的单价是固定的，应付的钱数$÷$商品个数$=$单价（定值），两个量的比值固定，且都是相关联的变量，因此二者成正比例关系，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
正比例关系判定、反比例关系判定、常见数量关系
【点评】
本题主要考查正比例、反比例关系的概念理解，解题的核心是抓住成正比例的两个量需满足“比值为定值”且均为相关联的变量的要求，易错点是容易忽略变量属性，误选含有常量的选项。
【难度系数】
0.8

5. 把方程$3x - y = 2$改写成$y = kx + b(k ≠ 0)$的形式为$y =$，其中$k =$，$b =$。

3x-2 3 -2

【分析】
本题要求将二元一次方程变形为一次函数$y=kx+b$的形式，解题核心是利用等式的性质对等式进行变形，把$y$单独放在等号左侧，其余项移到等号右侧，再对照形式确定$k$和$b$的值。具体思考步骤：首先明确移项规则（移项要变号），先把含$x$的项移到等号右侧，再把$y$的系数化为1，最后对应$y=kx+b$的结构找出$k$和$b$即可。
【解析】
已知方程$3x - y = 2$，
第一步：移项，将$3x$移到等号右侧，注意变号，得：$-y = 2 - 3x$；
第二步：等式两边同时乘以$-1$，将$y$的系数化为1，得：$y = 3x - 2$；
第三步：对照$y=kx+b（k≠0）$的形式，可得$k=3$，$b=-2$。
【答案】
$3x-2$；$3$；$-2$
【知识点】
等式的性质；一次函数的概念
【点评】
本题是基础题型，主要考查等式的变形能力和对一次函数一般形式的识别能力，只要熟练掌握移项变号的规则，明确一次函数$y=kx+b$中各项的对应关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.9

6. (1)当m \underline{\hspace{5cm}}时,函数$y=(m+3)x+4$是一次函数.

≠-3 解析:根据一次函数的定义,得$m+3≠0$,解得$m≠-3$.

【分析】
解答本题需先明确一次函数的定义要求：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数为一次函数。观察题目给出的函数$y=(m+3)x+4$，已经满足“自变量$x$的次数为1、常数项存在”的要求，因此只需保证一次项系数不为0即可，据此列不等式求解就能得到$m$的取值范围。
【解析】
根据一次函数的定义，一次项系数不能为0，因此有：
$m+3≠ 0$
解不等式得：$m≠ -3$
【答案】
$≠ -3$
【知识点】
一次函数的定义，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念考查题，核心考点是一次函数的成立条件，解题的易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制，只要熟练掌握一次函数的定义就能快速答对。
【难度系数】
0.9

(2)已知$y$关于$x$的函数$y=-x+2+m$是正比例函数，则$m=$.

-2 解析:根据正比例函数的定义,得$2+m=0$,解得$m=-2$.

【分析】
解题时首先回忆正比例函数的定义：正比例函数的标准形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），核心特征是不含常数项。本题给出的函数$y=-x+2+m$是正比例函数，说明函数中的常数项必须为0，据此列出关于$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
根据正比例函数的定义，正比例函数无常数项，因此：
$2 + m = 0$
解得：$m = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 正比例函数的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握正比例函数的结构特征，区分正比例函数与一般一次函数的差异，避免遗漏“常数项为0”这一核心条件。
【难度系数】
0.9

7. 已知一次函数$y=-2x-1$，当$x=-5$时，$y=$______；当$y=-7$时，$x=$______.

9 3 解析:当$x=-5$时,$y=-2×(-5)-1=9$;当$y=-7$时,$-7=-2x-1$,解得$x=3$.

【分析】
本题考查一次函数中已知自变量求函数值、已知函数值求自变量的问题，解题核心是代入法。①当已知x的值求y时，直接把给定的x值代入函数解析式，按照有理数运算规则计算就能得到y的值；②当已知y的值求x时，把给定的y值代入函数解析式，会得到一个关于x的一元一次方程，解这个方程即可得到x的值，计算时注意符号变化，避免出错。
【解析】
1. 当$x=-5$时，将$x=-5$代入一次函数解析式$y=-2x-1$中：
$y=-2×(-5)-1=10-1=9$
2. 当$y=-7$时，将$y=-7$代入一次函数解析式$y=-2x-1$中，得到关于x的一元一次方程：
$-7=-2x-1$
移项得：$-2x=-7+1$
合并同类项得：$-2x=-6$
系数化为1得：$x=3$
【答案】
9；3
【知识点】
一次函数代入求值；解一元一次方程
【点评】
本题是一次函数的基础题型，重点考查函数解析式中自变量与函数值的对应关系，熟练掌握代入法即可解题，计算过程中要注意正负号的运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.9

8. 写出下列各题中 y 与 x 之间的函数关系式，并判断 y 是否为 x 的一次函数，是否为正比例函数.
(1)一列特快火车以 120 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 y(单位:km)与行驶时间 x(单位:h)之间的关系.
(2)圆的面积 y(单位:cm²)与它的半径 x(单位:cm)之间的关系.
(3)一棵树现在高 50 cm，每个月长高 2 cm，x 个月后这棵树的高度为 y(单位:cm).

(1)$y=120x$,$y$是$x$的一次函数,也是正比例函数.
(2)$y=π x^2$,$y$不是$x$的一次函数,也不是正比例函数.
(3)$y=2x+50$,$y$是$x$的一次函数,不是正比例函数.

【分析】
解题时先根据每个小题的实际等量关系写出y与x的函数表达式，再结合一次函数、正比例函数的定义进行判断。一次函数的一般形式为y=kx+b（k、b为常数，k≠0），当b=0时，该函数为正比例函数，即正比例函数是特殊的一次函数。每一小问按照“列关系式→对照定义判断”的步骤完成即可。
【解析】
(1) 根据“路程=速度×时间”的等量关系，代入速度120km/h，可得函数式$y=120x$。
对照定义：该式符合$y=kx$（k=120≠0）的形式，因此y是x的一次函数，也是正比例函数。
(2) 根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入半径x，可得函数式$y=π x^2$。
对照定义：该式中x的次数为2，不符合一次函数中x的次数为1的要求，因此y不是x的一次函数，也不是正比例函数。
(3) 根据“总高度=原有高度+x个月生长的高度”的等量关系，代入原有高度50cm、每月生长高度2cm，可得函数式$y=2x+50$。
对照定义：该式符合$y=kx+b$（k=2≠0，b=50）的形式，因此y是x的一次函数；由于b≠0，因此y不是x的正比例函数。
【答案】
(1)$y=120x$,$y$是$x$的一次函数,也是正比例函数.
(2)$y=π x^2$,$y$不是$x$的一次函数,也不是正比例函数.
(3)$y=2x+50$,$y$是$x$的一次函数,不是正比例函数.
【知识点】
列函数关系式，一次函数的判定，正比例函数的判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的核心是准确提取实际问题中的等量关系列函数式，同时牢记一次函数与正比例函数的定义与区别，注意正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。
【难度系数】
0.8