7. 如图，$△ ABC$是等边三角形，$D$为边$BC$的中点，以点$A$为圆心、$AD$为半径画弧，与边$AC$交于点$E$，则$∠ ADE$的度数为 （）



A.$60°$
B.$105°$
C.$75°$
D.$15°$

7. C 解析:
∵△ABC是等边三角形,D为边BC上的中点,
∴∠DAC=30°.在△ADE中,AD=AE,
∴∠AED=∠ADE=$\frac{1}{2}(180°-∠DAC)=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$.

【分析】
解题时先从已知的等边三角形条件入手，结合D是BC中点的条件，利用等边三角形“三线合一”的性质，先求出∠DAC的度数；再根据同圆半径相等，得到AD=AE，即△ADE是等腰三角形，最后利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，就能计算出∠ADE的度数。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，D为边BC的中点，
∴AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = 30°。
又
∵AD、AE都是以A为圆心的圆弧的半径，
∴AD=AE，即△ADE是等腰三角形，
∴∠AED=∠ADE。
根据三角形内角和为180°，可得：
∠ADE = $\frac{1}{2}$×(180° - ∠DAC) = $\frac{1}{2}$×(180° - 30°) = 75°。
【答案】C
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是灵活运用特殊三角形的性质解题，解题关键是先通过等边三角形三线合一求出等腰△ADE的顶角度数，再计算底角，需要熟练掌握等边三角形、等腰三角形的相关性质，做到快速调用。
【难度系数】
0.8

8. 已知直线$a// b$，将等边三角形$ABC$按如图方式放置，点$B$在直线$b$上.若$∠ 2=132°$，则$∠ 1$的度数为（）

A.$10°$
B.$12°$
C.$18°$
D.$30°$

8. B 解析:如图,
∵∠2=132°,a//b,
∴∠3=∠2=132°,∠3+∠4=180°,
∴∠4=180°-∠3=180°-132°=48°.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°,
∴∠1=∠ABC-∠4=60°-48°=12°.

【分析】
解题时可按照以下思路推导：首先观察图形，已知∠2的度数，可先通过对顶角相等得到∠3的度数；再结合直线a//b的性质，利用两直线平行同旁内角互补，求出∠4的度数；最后根据等边三角形内角为60°的性质，用∠ABC的度数减去∠4的度数，即可得到∠1的度数。
【解析】
如图，
∵∠2=132°，∠2与∠3是对顶角，
∴∠3=∠2=132°，
又
∵a//b，
∴∠3+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠4=180°-∠3=180°-132°=48°。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠1=∠ABC-∠4=60°-48°=12°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，等边三角形的性质，对顶角相等
【点评】
本题是基础的角度计算题，将平行线和等边三角形的性质结合考查，解题的核心是找准角与角之间的位置和数量关系，熟练掌握相关几何性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8

9. 如图,在等边三角形$ABC$中,$AC=9$,点$O$在$AC$上,且$AO=3$,$P$是$AB$上的一动点,连接$OP$,将线段$OP$绕点$O$逆时针旋转$60°$得到线段$OD$.若要使点$D$恰好落在$BC$上,则$AP$的长为________.

9. 6 解析:
∵AC=9,AO=3,
∴OC=AC-AO=9-3=6.
∵△ABC为等边三角形,
∴∠A=∠C=60°.
∵线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD,
∴OD=OP,∠POD=60°.又
∵∠AOP+∠OPA+∠A=∠AOP+∠DOC+∠POD=180°,
∴∠OPA=∠DOC.在△AOP和△CDO中,$\begin{cases} ∠A=∠C, \\ ∠OPA=∠DOC, \\ OP=DO, \end{cases}$
∴△AOP≌△CDO(AAS),
∴AP=CO=6.

【分析】
解题时先结合已知条件提取几何性质：①由等边三角形ABC可得∠A=∠C=60°，可先算出OC的长度为AC-AO=6；②由旋转的性质可得OP=OD，旋转角∠POD=60°。接下来要求AP的长度，可通过证明包含AP和已知线段OC的三角形全等求解：利用三角形内角和及平角的性质推导角相等，得到△AOP和△CDO全等的判定条件，再由全等对应边相等即可求出AP的长。
【解析】
解：
∵AC=9，AO=3，
∴OC=AC-AO=9-3=6，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∵线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，
∴OD=OP，∠POD=60°，
∵在△AOP中，∠AOP+∠OPA+∠A=180°，
又∠AOP+∠DOC+∠POD=180°，∠A=∠POD=60°，
∴∠OPA=∠DOC，
在△AOP和△CDO中：
$\begin{cases} ∠A=∠C, \\ ∠OPA=∠DOC, \\ OP=DO, \end{cases}$
∴△AOP≌△CDO（AAS），
∴AP=CO=6。
【答案】
6
【知识点】
等边三角形的性质；旋转的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将等边三角形、旋转的性质与全等三角形的判定相结合，解题的核心是通过角度推导找到全等三角形，建立未知线段与已知线段的等量关系，有助于提升学生的几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6

10. 如图，$△ ABC$为等边三角形，$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$，$DE// BC$交$AB$于点$E$。
(1)求证：$△ ADE$是等边三角形。
(2)求证：$AE=\dfrac{1}{2}AB$。

10. 证明:
(1)
∵△ABC为等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠C=60°.
∵DE//BC,
∴∠AED=∠ABC=60°,∠ADE=∠C=60°,
∴△ADE是等边三角形.
(2)
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC=AC.
∵BD平分∠ABC,
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB.
由(1),得△ADE是等边三角形,
∴AE=AD.
∴AE=$\frac{1}{2}$AB.

【分析】
(1)证明△ADE是等边三角形可从角度入手：首先等边三角形的三个内角均为60°，可先得到△ABC的三个角都是60°；再结合DE//BC的条件，利用平行线的同位角相等，得到△ADE的两个内角为60°，即可推出△ADE三个角都是60°，满足等边三角形的判定条件。
(2)要证$AE=\dfrac{1}{2}AB$，可借助等量代换推导：首先等边三角形三线合一，BD是∠ABC的平分线，因此也是AC边上的中线，可得AD是AC的一半，而等边△ABC中AC=AB，因此$AD=\dfrac{1}{2}AB$；再结合(1)中△ADE是等边三角形，可得AE=AD，等量代换即可得到结论。
【解析】
(1)
∵△ABC为等边三角形，
∴$∠ A=∠ ABC=∠ C=60°$。
∵$DE//BC$，
∴$∠ AED=∠ ABC=60°$，$∠ ADE=∠ C=60°$，
∴△ADE是等边三角形。
(2)
∵△ABC为等边三角形，
∴$AB=BC=AC$。
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$AD=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}AB$。
由(1)得△ADE是等边三角形，
∴$AE=AD$，
∴$AE=\dfrac{1}{2}AB$。
【答案】
(1)△ADE是等边三角形，证明见解析；(2)$AE=\dfrac{1}{2}AB$，证明见解析。
【知识点】
等边三角形的判定与性质；平行线的性质；角平分线的性质
【点评】
本题属于等边三角形相关的基础证明题，重点考查学生对等边三角形的判定定理、性质以及平行线性质的掌握程度，解题时需注意推导逻辑的严谨性，每一步结论都要有对应的依据，熟练掌握基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8

11. 如图，C为线段AE上一点(不与点A、E重合)，在AE同侧作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.
(1)求证：$AD=BE$.
(2)求证：$△ APC≌△ BQC$.
(3)求证：$△ PCQ$是等边三角形.

11. 证明:
(1)
∵△ABC和△CDE是等边三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE.在△ADC和△BEC中,$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴△ADC≌△BEC(SAS),
∴AD=BE.
(2)由(1),得△ADC≌△BEC,
∴∠CAD=∠CBE,即∠CAP=∠CBQ.
∵∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCD=180°-∠ACB-∠DCE=180°-60°-60°=60°,
∴∠ACB=∠BCD,即∠ACP=∠BCQ.在△APC和△BQC中,$\begin{cases} ∠ACP=∠BCQ, \\ AC=BC, \\ ∠CAP=∠CBQ, \end{cases}$
∴△APC≌△BQC(ASA).
(3)由(2)得,△APC≌△BQC,
∴CP=CQ.又
∵∠PCQ=60°,
∴△PCQ是等边三角形.

【分析】
(1)要证AD=BE，可通过证明AD、BE所在的△ADC和△BEC全等来推导。结合等边三角形边相等、内角为60°的性质，可得到两组对应边相等，再通过角的和差得到两组边的夹角相等，满足SAS全等判定条件即可得证。
(2)要证△APC≌△BQC，先利用(1)中三角形全等的结论得到一组对应角相等，再结合等边三角形的性质得到边AC=BC，以及∠ACP=∠BCQ=60°，满足ASA全等判定条件即可得证。
(3)要证△PCQ是等边三角形，先利用(2)中三角形全等的结论得到CP=CQ，即△PCQ为等腰三角形，再结合∠PCQ=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可完成证明。
【解析】
(1)
∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE。
在△ADC和△BEC中，
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴△ADC≌△BEC(SAS)，
∴AD=BE。
(2)由(1)，得△ADC≌△BEC，
∴∠CAD=∠CBE，即∠CAP=∠CBQ。
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=180°-∠ACB-∠DCE=180°-60°-60°=60°，
∴∠ACB=∠BCD，即∠ACP=∠BCQ。
在△APC和△BQC中，
$\begin{cases} ∠ACP=∠BCQ, \\ AC=BC, \\ ∠CAP=∠CBQ, \end{cases}$
∴△APC≌△BQC(ASA)。
(3)由(2)得，△APC≌△BQC，
∴CP=CQ。
又
∵∠PCQ=60°，
∴△PCQ是等边三角形。
【答案】
(1)AD=BE成立；(2)△APC≌△BQC成立；(3)△PCQ是等边三角形成立。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质与判定
【点评】
本题是几何递进式证明的典型题型，各小问之间关联性强，前一问的结论可直接作为后一问的推理条件。解题时需熟练掌握全等三角形的判定定理、等边三角形的性质和判定定理，梳理清楚角、边的等量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7