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9. 已知$43^2=1\ 849,44^2=1\ 936,45^2=2\ 025,46^2=2\ 116.$若$n$为整数且$n＜\sqrt{2026}＜n+1$,则$n$的值为 （
A.43
B.44
C.45
D.46
C
）A.43
B.44
C.45
D.46
答案
9. C 解析:$\because 2\ 025＜2\ 026＜2\ 116$,即$45^2＜2\ 026＜46^2$,$\therefore \sqrt{45^2}＜\sqrt{2\ 026}＜\sqrt{46^2}$,即$45＜\sqrt{2\ 026}＜46$.$\because n$为整数且$n＜\sqrt{2\ 026}＜n+1$,$\therefore n$的值为45.
解析
【分析】
要确定整数n的值，需要先估算$\sqrt{2026}$的取值范围。根据算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根也越大，因此只需找到2026介于哪两个相邻整数的平方之间，就能推出$\sqrt{2026}$的整数范围，进而得到n的值。题目已给出43到46的平方值，直接比对大小即可解题。
【解析】
解：$\because 45^2=2025,46^2=2116$，
$\therefore 2025＜2026＜2116$，即$45^2＜2026＜46^2$，
对不等式同时取算术平方根，可得$\sqrt{45^2}＜\sqrt{2026}＜\sqrt{46^2}$，
化简得$45＜\sqrt{2026}＜46$，
又$\because n$为整数且$n＜\sqrt{2026}＜n+1$，
$\therefore n=45$。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算、算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查无理数的估算方法，解题关键是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，熟练掌握算术平方根的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要确定整数n的值，需要先估算$\sqrt{2026}$的取值范围。根据算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根也越大，因此只需找到2026介于哪两个相邻整数的平方之间，就能推出$\sqrt{2026}$的整数范围，进而得到n的值。题目已给出43到46的平方值，直接比对大小即可解题。
【解析】
解：$\because 45^2=2025,46^2=2116$，
$\therefore 2025＜2026＜2116$，即$45^2＜2026＜46^2$，
对不等式同时取算术平方根，可得$\sqrt{45^2}＜\sqrt{2026}＜\sqrt{46^2}$，
化简得$45＜\sqrt{2026}＜46$，
又$\because n$为整数且$n＜\sqrt{2026}＜n+1$，
$\therefore n=45$。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算、算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查无理数的估算方法，解题关键是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，熟练掌握算术平方根的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10. 现规定一种新运算：$a*b=\sqrt[b]{a}$，如：$16*2=\sqrt{16}=4$，则$25*2 - 125*3=$______.
答案
10. 0 解析:$25*2-125*3=\sqrt{25}-\sqrt[3]{125}=5-5=0.$
解析
【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的新运算规则，明确a*b中a是被开方数，b是根指数，运算结果为a的b次方根；接下来分别将25*2和125*3按照规则转化为我们熟悉的开方运算，分别计算出两个部分的结果后，再作差即可得到最终答案。
【解析】
根据新运算规则$a*b=\sqrt[b]{a}$，可得：
$25*2=\sqrt{25}=5$
$125*3=\sqrt[3]{125}=5$
因此$25*2 - 125*3=5-5=0$
【答案】
0
【知识点】
新定义运算，算术平方根计算，立方根计算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对新运算规则的转化能力，以及开方运算的掌握程度，只要正确理解新运算的含义，结合已学的开方知识就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要准确理解题目给出的新运算规则，明确a*b中a是被开方数，b是根指数，运算结果为a的b次方根；接下来分别将25*2和125*3按照规则转化为我们熟悉的开方运算，分别计算出两个部分的结果后，再作差即可得到最终答案。
【解析】
根据新运算规则$a*b=\sqrt[b]{a}$，可得：
$25*2=\sqrt{25}=5$
$125*3=\sqrt[3]{125}=5$
因此$25*2 - 125*3=5-5=0$
【答案】
0
【知识点】
新定义运算，算术平方根计算，立方根计算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对新运算规则的转化能力，以及开方运算的掌握程度，只要正确理解新运算的含义，结合已学的开方知识就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
11. 已知两个不相等的实数$x$、$y$满足$x^2=a,y^2=a$,则$\sqrt{x+y}$的值为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
11. 0
解析
【分析】
解题时首先从已知条件出发，由两个不相等的实数x、y的平方都等于a，结合平方根的性质可知：一个正数的两个平方根互为相反数，因此x和y互为相反数，进而可求出x+y的值，最后代入计算算术平方根即可。
【解析】
解：
∵ $x^2=a$，$y^2=a$
∴ $x^2=y^2$，即x和y都是a的平方根
又
∵ x、y是不相等的实数
∴ x和y是a的两个互为相反数的平方根，即$x=-y$
∴ $x+y=0$
∴ $\sqrt{x+y}=\sqrt{0}=0$
【答案】
0
【知识点】
平方根的性质；算术平方根的计算；相反数的性质
【点评】
本题考查平方根相关性质的应用，解题的关键是明确两个不相等且平方相等的实数互为相反数，掌握基础概念即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件出发，由两个不相等的实数x、y的平方都等于a，结合平方根的性质可知：一个正数的两个平方根互为相反数，因此x和y互为相反数，进而可求出x+y的值，最后代入计算算术平方根即可。
【解析】
解：
∵ $x^2=a$，$y^2=a$
∴ $x^2=y^2$，即x和y都是a的平方根
又
∵ x、y是不相等的实数
∴ x和y是a的两个互为相反数的平方根，即$x=-y$
∴ $x+y=0$
∴ $\sqrt{x+y}=\sqrt{0}=0$
【答案】
0
【知识点】
平方根的性质；算术平方根的计算；相反数的性质
【点评】
本题考查平方根相关性质的应用，解题的关键是明确两个不相等且平方相等的实数互为相反数，掌握基础概念即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
12. 如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母A、B、C、D，先让正方形的顶点A与数轴上的数－2所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2 026将与正方形上的字母________重合.
答案
12. A 解析:$\because$正方形的边长为1,$\therefore$正方形滚动一周的长度为4.$\because$正方形的起点在$-2$处,$\therefore 2\ 026-(-2)=2\ 028$.$\because 2\ 028÷4=507$,$\therefore$数轴上的数2 026与正方形上的字母A重合.
解析
【分析】
解决本题首先要明确正方形滚动的规律：正方形边长为1，沿数轴顺时针滚动一周的长度为4，即每滚动4个单位，正方形上的字母就会以A→B→C→D→A的顺序循环一次，周期为4。接下来先计算从起始点-2到目标点2026之间的距离，再用这个距离除以周期4，根据计算结果判断对应的字母：若刚好整除，说明经过了整数个周期，对应字母和起始点的字母A一致；若有余数，余数是几就对应周期中的第几个字母。
【解析】
解：已知正方形的边长为1，因此正方形滚动一周的长度（即周长）为4，字母的循环周期为4，起始时字母A与数轴上的-2重合。
首先计算数轴上2026与-2之间的距离：
$2026 - (-2) = 2028$
再用距离除以周期判断循环次数：
$2028 ÷ 4 = 507$，计算结果没有余数，说明从-2到2026正方形刚好滚动了507个完整的周期，因此2026对应的字母与起始点-2对应的字母相同。
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用，周期规律，有理数运算
【点评】
本题将图形滚动与数轴相结合，考查周期规律的实际应用，解题的核心是准确找到滚动的循环周期，同时要注意正确计算起始点和目标点之间的距离，避免因间隔计算错误导致失分。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确正方形滚动的规律：正方形边长为1，沿数轴顺时针滚动一周的长度为4，即每滚动4个单位，正方形上的字母就会以A→B→C→D→A的顺序循环一次，周期为4。接下来先计算从起始点-2到目标点2026之间的距离，再用这个距离除以周期4，根据计算结果判断对应的字母：若刚好整除，说明经过了整数个周期，对应字母和起始点的字母A一致；若有余数，余数是几就对应周期中的第几个字母。
【解析】
解：已知正方形的边长为1，因此正方形滚动一周的长度（即周长）为4，字母的循环周期为4，起始时字母A与数轴上的-2重合。
首先计算数轴上2026与-2之间的距离：
$2026 - (-2) = 2028$
再用距离除以周期判断循环次数：
$2028 ÷ 4 = 507$，计算结果没有余数，说明从-2到2026正方形刚好滚动了507个完整的周期，因此2026对应的字母与起始点-2对应的字母相同。
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用，周期规律，有理数运算
【点评】
本题将图形滚动与数轴相结合，考查周期规律的实际应用，解题的核心是准确找到滚动的循环周期，同时要注意正确计算起始点和目标点之间的距离，避免因间隔计算错误导致失分。
【难度系数】
0.7
13. 已知$a、b$互为相反数，$c、d$互为倒数，$m$的绝对值是$2$，求$\frac{\sqrt{a+b}}{m} + \sqrt{m^2 - cd}$的值.
答案
13. 根据题意,得$a+b=0$,$cd=1$,$m=\pm2$,$\therefore m^2=4$,$\therefore$原式$=0+\sqrt{4-1}=\sqrt{3}.$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件出发，结合相关数学概念推导可得：①互为相反数的两个数和为0，因此a+b=0；②互为倒数的两个数乘积为1，因此cd=1；③绝对值为2的数有两个，即m=±2，且m²恒为4。接下来将所得结果代入待求式计算即可，注意观察式子特征：第一项的分子是√(a+b)=√0=0，因此无论m取2还是-2，第一项的结果都为0；第二项中m²与m的正负无关，因此最终结果唯一，无需分情况讨论。
【解析】
解：根据题意，得：
$a+b=0$，$cd=1$，$|m|=2$即$m=\pm2$，
$\therefore m^2=(\pm2)^2=4$，
将上述值代入原式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{0}}{m} + \sqrt{4 - 1}\\&=0 + \sqrt{3}\\&=\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；实数的运算
【点评】
本题是基础概念综合应用题，解题的核心是熟练掌握相反数、倒数、绝对值的相关性质，代入计算时要注意观察式子的特征，避免因m有两个取值就盲目分情况计算，减少不必要的运算步骤。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件出发，结合相关数学概念推导可得：①互为相反数的两个数和为0，因此a+b=0；②互为倒数的两个数乘积为1，因此cd=1；③绝对值为2的数有两个，即m=±2，且m²恒为4。接下来将所得结果代入待求式计算即可，注意观察式子特征：第一项的分子是√(a+b)=√0=0，因此无论m取2还是-2，第一项的结果都为0；第二项中m²与m的正负无关，因此最终结果唯一，无需分情况讨论。
【解析】
解：根据题意，得：
$a+b=0$，$cd=1$，$|m|=2$即$m=\pm2$，
$\therefore m^2=(\pm2)^2=4$，
将上述值代入原式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{0}}{m} + \sqrt{4 - 1}\\&=0 + \sqrt{3}\\&=\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；实数的运算
【点评】
本题是基础概念综合应用题，解题的核心是熟练掌握相反数、倒数、绝对值的相关性质，代入计算时要注意观察式子的特征，避免因m有两个取值就盲目分情况计算，减少不必要的运算步骤。
【难度系数】
0.8
14. 数轴上两点 A、B 分别表示数 a、b，定义 A、B 两点之间的距离为 $ AB = |a - b| $。
(1)当点 A 表示 2，点 B 表示 5 时，$ AB = $
(2)当点 A 表示 1，点 B 表示$ -\sqrt{3} $时，$ AB = $
(3)当$ |x + \sqrt{2}| + |x - \sqrt{3}| $取最小值时，求 x 的取值范围，并求出$ |x + \sqrt{2}| + |x - \sqrt{3}| $的最小值。
(1)当点 A 表示 2，点 B 表示 5 时，$ AB = $
3
；当点 A 表示－2，点 B 表示－5 时，$ AB = $3
。(2)当点 A 表示 1，点 B 表示$ -\sqrt{3} $时，$ AB = $
$1+\sqrt{3}$
；当点 A 表示 x，点 B 表示$ \sqrt{2} $，且$ AB = 3 $时，点 A 表示的数 x 为$\sqrt{2}-3$或$\sqrt{2}+3$
。(3)当$ |x + \sqrt{2}| + |x - \sqrt{3}| $取最小值时，求 x 的取值范围，并求出$ |x + \sqrt{2}| + |x - \sqrt{3}| $的最小值。
答案
14. (1)3 3 (2)$1+\sqrt{3}$ $\sqrt{2}-3$或$\sqrt{2}+3$ (3)根据题意,$|x+\sqrt{2}|+|x-\sqrt{3}|$可表示为$x$对应的点到$-\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$对应的点的距离之和,$\therefore$当$x$在$-\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$之间,即$-\sqrt{2}≤ x≤\sqrt{3}$时,$|x+\sqrt{2}|+|x-\sqrt{3}|$有最小值,为$\sqrt{3}+\sqrt{2}.$
解析
【分析】
本题围绕数轴上两点的距离定义展开，解题思路如下：1. 前两小问直接套用题干给出的距离公式$AB=|a-b|$，代入对应数值计算即可，遇到绝对值方程时，根据绝对值的性质去绝对值符号求解；2. 第三小问利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上点与点之间的距离和问题，要使两个距离之和最小，动点应落在两个定点之间（含端点），此时距离和就是两个定点之间的距离，直接计算即可。
【解析】
(1) 当点A表示2，点B表示5时，代入距离公式得：$AB=|2-5|=|-3|=3$；当点A表示-2，点B表示-5时，代入得：$AB=|-2-(-5)|=|3|=3$。
(2) 当点A表示1，点B表示$-\sqrt{3}$时，代入公式得：$AB=|1-(-\sqrt{3})|=|1+\sqrt{3}|=1+\sqrt{3}$；当$AB=3$时，可列方程$|x-\sqrt{2}|=3$，根据绝对值性质得$x-\sqrt{2}=3$或$x-\sqrt{2}=-3$，解得$x=\sqrt{2}+3$或$x=\sqrt{2}-3$。
(3) 根据绝对值的几何意义：$|x+\sqrt{2}|$表示数轴上数$x$对应的点到数$-\sqrt{2}$对应的点的距离，$|x-\sqrt{3}|$表示数轴上数$x$对应的点到数$\sqrt{3}$对应的点的距离。要使两个距离之和最小，数$x$对应的点需落在$-\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$对应的两点之间（包含端点），即$-\sqrt{2}≤ x≤\sqrt{3}$，此时距离之和的最小值就是$-\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$两点的距离，计算得最小值为$|\sqrt{3}-(-\sqrt{2})|=\sqrt{3}+\sqrt{2}$。
【答案】
(1)3；3
(2)$1+\sqrt{3}$；$\sqrt{2}-3$或$\sqrt{2}+3$
(3)$x$的取值范围是$-\sqrt{2}≤ x≤\sqrt{3}$，最小值是$\sqrt{3}+\sqrt{2}$
【知识点】
数轴两点距离计算；绝对值化简；绝对值几何意义
【点评】
本题是绝对值与数轴结合的典型题型，既考查了基础公式的直接应用，也考查了数形结合思想的运用，掌握绝对值的几何意义可快速求解距离和的最值问题。
【难度系数】
0.7
本题围绕数轴上两点的距离定义展开，解题思路如下：1. 前两小问直接套用题干给出的距离公式$AB=|a-b|$，代入对应数值计算即可，遇到绝对值方程时，根据绝对值的性质去绝对值符号求解；2. 第三小问利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上点与点之间的距离和问题，要使两个距离之和最小，动点应落在两个定点之间（含端点），此时距离和就是两个定点之间的距离，直接计算即可。
【解析】
(1) 当点A表示2，点B表示5时，代入距离公式得：$AB=|2-5|=|-3|=3$；当点A表示-2，点B表示-5时，代入得：$AB=|-2-(-5)|=|3|=3$。
(2) 当点A表示1，点B表示$-\sqrt{3}$时，代入公式得：$AB=|1-(-\sqrt{3})|=|1+\sqrt{3}|=1+\sqrt{3}$；当$AB=3$时，可列方程$|x-\sqrt{2}|=3$，根据绝对值性质得$x-\sqrt{2}=3$或$x-\sqrt{2}=-3$，解得$x=\sqrt{2}+3$或$x=\sqrt{2}-3$。
(3) 根据绝对值的几何意义：$|x+\sqrt{2}|$表示数轴上数$x$对应的点到数$-\sqrt{2}$对应的点的距离，$|x-\sqrt{3}|$表示数轴上数$x$对应的点到数$\sqrt{3}$对应的点的距离。要使两个距离之和最小，数$x$对应的点需落在$-\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$对应的两点之间（包含端点），即$-\sqrt{2}≤ x≤\sqrt{3}$，此时距离之和的最小值就是$-\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$两点的距离，计算得最小值为$|\sqrt{3}-(-\sqrt{2})|=\sqrt{3}+\sqrt{2}$。
【答案】
(1)3；3
(2)$1+\sqrt{3}$；$\sqrt{2}-3$或$\sqrt{2}+3$
(3)$x$的取值范围是$-\sqrt{2}≤ x≤\sqrt{3}$，最小值是$\sqrt{3}+\sqrt{2}$
【知识点】
数轴两点距离计算；绝对值化简；绝对值几何意义
【点评】
本题是绝对值与数轴结合的典型题型，既考查了基础公式的直接应用，也考查了数形结合思想的运用，掌握绝对值的几何意义可快速求解距离和的最值问题。
【难度系数】
0.7
