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6.一个台阶如下图所示,阶梯每一层高20 cm,宽25 cm,长120 cm,一只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是
150
cm.答案
6.150
7.学完勾股定理之后,同学们想利用升旗的绳子、卷尺,测算出学校旗杆的高度.爱动脑筋的小明设计了一个方案:将升旗的绳子拉到旗杆底端,并在绳子与旗杆底接触处打一个结,然后将绳子拉到离旗杆底端5 m处,发现此时绳子底端距离打结处约1 m.请你帮小明算出旗杆的高度.
答案
7.设旗杆高为 x m,则绳长为$(x+1)$m.由勾股定理,可得$5^2+x^2=(x+1)^2$, 解得$x=12$.故旗杆的高度为 12 m.
8.如下图,在$△ ABC$中,D是BC的中点,$DE ⊥ BC$,垂足为D,交AB于点E,且$BE^2 - AE^2 = AC^2$.
(1)求证:$△ CAE$是直角三角形.
(2)若$DE=3$,$BD=4$,求AE的长.
(1)求证:$△ CAE$是直角三角形.
(2)若$DE=3$,$BD=4$,求AE的长.
答案
8.(1)证明:$\because D$ 是 $BC$ 的中点, $DE ⊥ BC$,
$\therefore CE=BE$.
$\because BE^2 - AE^2 = AC^2 , \therefore CE^2 - AE^2 = AC^2$, 即$AE^2+AC^2=CE^2$.
$\therefore △ CAE$ 是直角三角形.
(2)$\because DE ⊥ BC,\therefore ∠ BDE=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 中, $DE = 3$, $BD = 4$, $\therefore BE^2 = DE^2+BD^2=25.\therefore CE=BE=5$.
由 (1), 可知 $△ CAE$ 为直角三角形, $∠ A=90°,\therefore AC^2=CE^2-AE^2=25-AE^2$.
$\because D$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore BC=2BD=8$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $AB=5+AE$. 由勾股定理, 得$BC^2-BA^2=AC^2$.
$\therefore 64-(5+AE)^2=25-AE^2$. 解得 $AE=\dfrac{7}{5}$.
$\therefore CE=BE$.
$\because BE^2 - AE^2 = AC^2 , \therefore CE^2 - AE^2 = AC^2$, 即$AE^2+AC^2=CE^2$.
$\therefore △ CAE$ 是直角三角形.
(2)$\because DE ⊥ BC,\therefore ∠ BDE=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 中, $DE = 3$, $BD = 4$, $\therefore BE^2 = DE^2+BD^2=25.\therefore CE=BE=5$.
由 (1), 可知 $△ CAE$ 为直角三角形, $∠ A=90°,\therefore AC^2=CE^2-AE^2=25-AE^2$.
$\because D$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore BC=2BD=8$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $AB=5+AE$. 由勾股定理, 得$BC^2-BA^2=AC^2$.
$\therefore 64-(5+AE)^2=25-AE^2$. 解得 $AE=\dfrac{7}{5}$.
