1. 已知关于 $ x $ 的方程 $ kx^2 + (1 - k)x - 1 = 0 $，下列说法正确的是（）.

A.当 $ k = 0 $ 时，方程无解
B.当 $ k = 1 $ 时，方程有一个实数解
C.当 $ k = -1 $ 时，方程有两个相等的实数解
D.当 $ k ≠ 0 $ 时，方程总有两个不相等的实数解

C

我们逐个分析选项：
1. 分析A选项：当$k=0$时，原方程化为$x-1=0$，解得$x=1$，方程有实数解，A错误。
2. 分析B选项：当$k=1$时，原方程化为$x^2-1=0$，解得$x_1=1,x_2=-1$，方程有两个实数解，B错误。
3. 分析C选项：当$k=-1$时，原方程化为$-x^2+2x-1=0$，整理为$x^2-2x+1=0$，判别式$\Delta=(-2)^2-4×1×1=0$，此时方程有两个相等的实数解，C正确。
4. 分析D选项：当$k≠0$时，计算判别式$\Delta=(1-k)^2-4× k×(-1)=(k+1)^2\ge0$，当$k=-1$时$\Delta=0$，此时方程有两个相等的实数解，并非总有两个不相等的实数解，D错误。

2. 已知关于$ x $的方程$ x^2 + \frac{1}{x^2} + 2(x + \frac{1}{x}) = 1 $，那么$ x + \frac{1}{x} + 1 $的值为________。

$\boldsymbol{-2}$

我们可以用换元法求解：
1. 利用完全平方公式变形：由完全平方公式可得$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$，将其代入原方程：
$$(x+\frac{1}{x})^2 - 2 + 2(x+\frac{1}{x}) = 1$2. 设$t=x+\frac{1}{x}$，方程整理为一元二次方程： $$t^2 + 2t - 3 = 0$
因式分解得$(t+3)(t-1)=0$，解得$t_1=-3$，$t_2=1$。
3. 检验根的合理性：
若$t=1$，即$x+\frac{1}{x}=1$，整理得$x^2-x+1=0$，该方程判别式$\Delta=(-1)^2-4×1×1=-3＜0$，无实数根，舍去该解。
因此仅$t=x+\frac{1}{x}=-3$成立。
4. 计算目标式的值：$x+\frac{1}{x}+1=-3+1=-2$。

3. 目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系. 某校去年上半年发放给每个经济困难学生 3890 元,今年上半年发放了 4380 元,设每半年发放的资助金额的平均增长率为 $ x $,则下面列出的方程中,正确的是（）.

A.$ 4380(1+x)^2=3890 $
B.$ 3890(1+x)^2=4380 $
C.$ 3890(1+2x)^2=4380 $
D.$ 4380(1+2x)^2=3890 $

B

设每半年发放的资助金额的平均增长率为$x$，去年上半年发放资助金额为3890元，经过第一个半年（去年下半年），资助金额为$3890(1+x)$，再经过第二个半年（今年上半年），资助金额为$3890(1+x)^2$，已知今年上半年发放金额为4380元，因此可列方程$3890(1+x)^2=4380$。

4. 用锤子以均等的力敲击铁钉入木板. 铁钉随着深入木板,所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木板的铁钉的长度为前一次的$ k $倍$(0＜k＜1)$.已知一个铁钉受击3次后恰好全部进入木板,且第一次受击后进入木板的长度是钉长的$\frac{4}{7}$. 设铁钉的长度为1,那么下列方程中符合这一事实的是（）.

A.$\frac{4}{7}+\frac{4}{7}k=1$
B.$\frac{4}{7}k+\frac{4}{7}k^2=1$
C.$\frac{4}{7}+\frac{4}{7}k+\frac{4}{7}k^2=1$
D.$\frac{4}{7}+\frac{8}{7}k=1$

C

已知铁钉总长度为1：
1. 第一次受击后进入木板的长度为$\frac{4}{7}$；
2. 由每次钉入长度是前一次的$k$倍，可得第二次受击进入的长度为$\frac{4}{7}k$；
3. 第三次受击进入的长度为第二次的$k$倍，即$\frac{4}{7}k^2$；
4. 3次敲击后铁钉全部进入木板，三次钉入长度之和等于总长度1，因此列方程得$\frac{4}{7}+\frac{4}{7}k+\frac{4}{7}k^2=1$。

5. 某水果经销商以8元/千克的价格购进一批葡萄,若按20元/千克的价格销售,平均每天可售出60千克. 结合销售记录发现,若每千克售价每降低1元,平均每天的销售量增加10千克,为了尽快减少库存,该水果经销商决定降价销售.
（1）若每千克售价降低5元,则每天的销售利润为________元.
（2）水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润能否达到800元? 如果能,请求出葡萄的销售单价;如果不能,请说明理由.

（1）770；（2）能达到800元的日利润，此时葡萄的销售单价为16元/千克。

（1）先计算降价5元后的相关数据：
降价后售价为：$20-5=15$元/千克
每千克的利润为：$15-8=7$元
此时日销售量为：$60+5×10=110$千克
因此每日销售总利润为：$7×110=770$元。
（2）设每千克售价降低$x$元，此时日利润为800元：
每千克的销售利润为$(20-x-8)=(12-x)$元，
日销售量为$(60+10x)$千克，
根据总利润=单千克利润×日销售量，列方程：
$(12-x)(60+10x)=800$
整理得：$x^2-6x+8=0$
因式分解解得：$x_1=2$，$x_2=4$
由于需要尽快减少库存，要选择日销售量更大的方案，因此取$x=4$，
此时对应的销售单价为$20-4=16$元/千克，符合题意。