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10. 对于分式$\frac{x+a+b}{a-2b+3x}$，当$x=1$时，分式的值为零；当$x=-2$时，分式没有意义。试求$a,b$的值。
答案
10.解:$\because$当$x=1$时,分式的值为零,
$\therefore 1+a+b=0$且$a-2b+3≠0$。
$\because$当$x=-2$时,分式没有意义,
$\therefore a-2b-6=0$。
联立可得$\begin{cases}1+a+b=0,\\a-2b-6=0,\\a-2b+3≠0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\dfrac{4}{3},\\b=-\dfrac{7}{3}。\end{cases}$
故$a$的值是$\dfrac{4}{3}$,$b$的值是$-\dfrac{7}{3}$。
$\therefore 1+a+b=0$且$a-2b+3≠0$。
$\because$当$x=-2$时,分式没有意义,
$\therefore a-2b-6=0$。
联立可得$\begin{cases}1+a+b=0,\\a-2b-6=0,\\a-2b+3≠0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\dfrac{4}{3},\\b=-\dfrac{7}{3}。\end{cases}$
故$a$的值是$\dfrac{4}{3}$,$b$的值是$-\dfrac{7}{3}$。
解析
【分析】
解题的核心是牢记分式的两个关键性质：①分式值为0需同时满足分子为0、分母不为0，两个条件缺一不可；②分式无意义的条件是分母等于0。我们先根据x=1时分式值为0，列出关于a、b的方程和不等式；再根据x=-2时分式无意义，列出另一个关于a、b的方程；最后联立得到的方程和不等式，解二元一次方程组，再验证不等式成立即可求出a、b的值。
【解析】
解：$\because$当$x=1$时，分式的值为零，
$\therefore$此时分子为0且分母不为0，代入得：
$1+a+b=0$ ①，且$a-2b+3×1≠0$，即$a-2b+3≠0$ ②
$\because$当$x=-2$时，分式没有意义，
$\therefore$此时分母为0，代入得：
$a-2b+3×(-2)=0$，即$a-2b-6=0$ ③
联立①③组成方程组$\begin{cases}a+b=-1\\a-2b=6\end{cases}$
用①-③消去a，得：$(a+b)-(a-2b)=-1-6$
化简得$3b=-7$，解得$b=-\dfrac{7}{3}$
将$b=-\dfrac{7}{3}$代入①，得$a-\dfrac{7}{3}=-1$，解得$a=\dfrac{4}{3}$
验证不等式②：$a-2b+3=\dfrac{4}{3}-2×(-\dfrac{7}{3})+3=9≠0$，满足条件。
【答案】
$a$的值为$\dfrac{4}{3}$，$b$的值为$-\dfrac{7}{3}$
【知识点】
分式值为零的条件；分式无意义的条件；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题的易错点是容易遗漏分式值为0时分母不为0的限制条件，导致出现错解，做题时要牢记双重限制，最后注意验证结果是否符合要求。
【难度系数】
0.7
解题的核心是牢记分式的两个关键性质：①分式值为0需同时满足分子为0、分母不为0，两个条件缺一不可；②分式无意义的条件是分母等于0。我们先根据x=1时分式值为0，列出关于a、b的方程和不等式；再根据x=-2时分式无意义，列出另一个关于a、b的方程；最后联立得到的方程和不等式，解二元一次方程组，再验证不等式成立即可求出a、b的值。
【解析】
解：$\because$当$x=1$时，分式的值为零，
$\therefore$此时分子为0且分母不为0，代入得：
$1+a+b=0$ ①，且$a-2b+3×1≠0$，即$a-2b+3≠0$ ②
$\because$当$x=-2$时，分式没有意义，
$\therefore$此时分母为0，代入得：
$a-2b+3×(-2)=0$，即$a-2b-6=0$ ③
联立①③组成方程组$\begin{cases}a+b=-1\\a-2b=6\end{cases}$
用①-③消去a，得：$(a+b)-(a-2b)=-1-6$
化简得$3b=-7$，解得$b=-\dfrac{7}{3}$
将$b=-\dfrac{7}{3}$代入①，得$a-\dfrac{7}{3}=-1$，解得$a=\dfrac{4}{3}$
验证不等式②：$a-2b+3=\dfrac{4}{3}-2×(-\dfrac{7}{3})+3=9≠0$，满足条件。
【答案】
$a$的值为$\dfrac{4}{3}$，$b$的值为$-\dfrac{7}{3}$
【知识点】
分式值为零的条件；分式无意义的条件；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题的易错点是容易遗漏分式值为0时分母不为0的限制条件，导致出现错解，做题时要牢记双重限制，最后注意验证结果是否符合要求。
【难度系数】
0.7
11.设$k=\frac{\mathrm{图甲中阴影部分面积}}{\mathrm{图乙中阴影部分面积}}(a＞b＞0)$，求$k$的取值范围。
答案
11.解:图甲中阴影部分面积为$a^2-b^2$,
图乙中阴影部分面积为$a(a-b)$,
则$k=\dfrac{a^2-b^2}{a(a-b)}=\dfrac{(a-b)(a+b)}{a(a-b)}=\dfrac{a+b}{a}=1+\dfrac{b}{a}$,
$\because a＞b＞0,\therefore 0＜\dfrac{b}{a}＜1$。
$\therefore 1＜\dfrac{b}{a}+1＜2$。$\therefore 1＜k＜2$。
图乙中阴影部分面积为$a(a-b)$,
则$k=\dfrac{a^2-b^2}{a(a-b)}=\dfrac{(a-b)(a+b)}{a(a-b)}=\dfrac{a+b}{a}=1+\dfrac{b}{a}$,
$\because a＞b＞0,\therefore 0＜\dfrac{b}{a}＜1$。
$\therefore 1＜\dfrac{b}{a}+1＜2$。$\therefore 1＜k＜2$。
解析
【分析】
要确定k的取值范围，首先需要先求出k的表达式，步骤如下：第一步分别计算图甲、图乙的阴影部分面积：图甲阴影面积为大正方形面积减去空白小正方形面积，图乙阴影面积为长方形面积，用长乘宽计算即可；第二步将两个面积代入k的定义式，利用平方差公式对分子因式分解，结合a＞b＞0的条件约去公因式，化简k的表达式；第三步根据a和b的大小关系，结合不等式的性质推导k的取值范围。
【解析】
首先计算两个图形的阴影面积：
图甲中，大正方形边长为a，面积为$a^2$，空白小正方形边长为b，面积为$b^2$，因此阴影部分面积为：$S_甲=a^2 - b^2$
图乙中，阴影部分为长方形，长为a，宽为$a-b$，因此阴影部分面积为：$S_乙=a(a-b)$
根据k的定义，代入得：
$k=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{a^2 - b^2}{a(a-b)}$
利用平方差公式分解分子：$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，又因为$a＞b＞0$，所以$a-b≠0$，可以约去公因式$a-b$，化简得：
$k=\frac{(a-b)(a+b)}{a(a-b)}=\frac{a+b}{a}=1+\frac{b}{a}$
已知$a＞b＞0$，不等式两边同时除以正数a，不等号方向不变，可得$0＜\frac{b}{a}＜1$；
不等式三边同时加1，得$1＜1+\frac{b}{a}＜2$，即$1＜k＜2$。
【答案】
$1＜k＜2$
【知识点】
平方差公式，分式化简，不等式的性质
【点评】
本题是典型的数形结合题型，将几何面积计算和代数运算相结合，既考查了整式、分式的基础运算能力，也考查了利用不等式判断取值范围的能力，解题时要注意约分的前提是分母不为零，结合题干给出的大小关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要确定k的取值范围，首先需要先求出k的表达式，步骤如下：第一步分别计算图甲、图乙的阴影部分面积：图甲阴影面积为大正方形面积减去空白小正方形面积，图乙阴影面积为长方形面积，用长乘宽计算即可；第二步将两个面积代入k的定义式，利用平方差公式对分子因式分解，结合a＞b＞0的条件约去公因式，化简k的表达式；第三步根据a和b的大小关系，结合不等式的性质推导k的取值范围。
【解析】
首先计算两个图形的阴影面积：
图甲中，大正方形边长为a，面积为$a^2$，空白小正方形边长为b，面积为$b^2$，因此阴影部分面积为：$S_甲=a^2 - b^2$
图乙中，阴影部分为长方形，长为a，宽为$a-b$，因此阴影部分面积为：$S_乙=a(a-b)$
根据k的定义，代入得：
$k=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{a^2 - b^2}{a(a-b)}$
利用平方差公式分解分子：$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，又因为$a＞b＞0$，所以$a-b≠0$，可以约去公因式$a-b$，化简得：
$k=\frac{(a-b)(a+b)}{a(a-b)}=\frac{a+b}{a}=1+\frac{b}{a}$
已知$a＞b＞0$，不等式两边同时除以正数a，不等号方向不变，可得$0＜\frac{b}{a}＜1$；
不等式三边同时加1，得$1＜1+\frac{b}{a}＜2$，即$1＜k＜2$。
【答案】
$1＜k＜2$
【知识点】
平方差公式，分式化简，不等式的性质
【点评】
本题是典型的数形结合题型，将几何面积计算和代数运算相结合，既考查了整式、分式的基础运算能力，也考查了利用不等式判断取值范围的能力，解题时要注意约分的前提是分母不为零，结合题干给出的大小关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
12. 我们给出定义:若一个分式约分后是一个整式,则称这个分式为“巧分式”,约分后的整式称为这个分式的“巧整式”。例如:$\frac{4x^2 -8x}{x-2}=\frac{4x(x-2)}{x-2}=4x$,称分式$\frac{4x^2 -8x}{x-2}$是“巧分式”,$4x$为它的“巧整式”。根据上述定义,解决下列问题。
(1)下列分式中是“巧分式”的是
①$\frac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}$;②$\frac{2x+5}{x+3}$;③$\frac{x^2 - y^2}{x + y}$。
(2)若分式$\frac{x^2 -4x +m}{x+3}$($m$为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x-7$,求$m$的值。
(3)若分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$,
①求整式$A$;
②$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是“巧分式”吗?
(1)下列分式中是“巧分式”的是
①③
(填序号)。①$\frac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}$;②$\frac{2x+5}{x+3}$;③$\frac{x^2 - y^2}{x + y}$。
(2)若分式$\frac{x^2 -4x +m}{x+3}$($m$为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x-7$,求$m$的值。
(3)若分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$,
①求整式$A$;
②$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是“巧分式”吗?
答案
12.解:(1)①$\dfrac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}=2x-3$,是“巧分式”。②$\dfrac{2x+5}{x+3}$不能约分,不是“巧分式”。③$\dfrac{x^2-y^2}{x+y}=\dfrac{(x+y)(x-y)}{x+y}=x-y$,是“巧分式”。
故答案为①③。
(2)$\because$分式$\dfrac{x^2-4x+m}{x+3}$($m$为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x-7$,
$\therefore (x+3)(x-7)=x^2-4x+m$。
$\therefore x^2-4x-21=x^2-4x+m$。
$\therefore m=-21$。
(3)①$\because$分式$\dfrac{-2x^3+2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$,
$\therefore A=\dfrac{-2x^3+2x}{1-x}=\dfrac{2x(1-x^2)}{1-x}=\dfrac{2x(1-x)(1+x)}{1-x}=2x(1+x)$。
即$A=2x^2+2x$。
②$\because \dfrac{2x^3+4x^2+2x}{2x^2+2x}=\dfrac{2x(x^2+2x+1)}{2x(x+1)}=\dfrac{(x+1)^2}{x+1}=x+1$,$x+1$是整式,
$\therefore \dfrac{2x^3+4x^2+2x}{A}$是“巧分式”。
故答案为①③。
(2)$\because$分式$\dfrac{x^2-4x+m}{x+3}$($m$为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x-7$,
$\therefore (x+3)(x-7)=x^2-4x+m$。
$\therefore x^2-4x-21=x^2-4x+m$。
$\therefore m=-21$。
(3)①$\because$分式$\dfrac{-2x^3+2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$,
$\therefore A=\dfrac{-2x^3+2x}{1-x}=\dfrac{2x(1-x^2)}{1-x}=\dfrac{2x(1-x)(1+x)}{1-x}=2x(1+x)$。
即$A=2x^2+2x$。
②$\because \dfrac{2x^3+4x^2+2x}{2x^2+2x}=\dfrac{2x(x^2+2x+1)}{2x(x+1)}=\dfrac{(x+1)^2}{x+1}=x+1$,$x+1$是整式,
$\therefore \dfrac{2x^3+4x^2+2x}{A}$是“巧分式”。
解析
【分析】
本题是新定义类题型，解题核心是准确理解“巧分式”“巧整式”的定义，转化为已学的分式运算、整式运算知识求解。
(1) 判断是否为巧分式，只需对每个分式约分，看结果是否为整式即可，约分时要找准分子分母的公因式。
(2) 根据巧分式的定义，分式约分后得到巧整式，说明分子等于分母乘巧整式，将等式两边展开后对比即可求出m的值。
(3) ①已知分式的分子和巧整式，求分母A，可根据“分母=分子÷巧整式”，对分子因式分解后约分就能得到A；②判断该分式是否为巧分式，把A代入后约分，看结果是否为整式即可。
【解析】
(1) 对三个分式逐一判断：
① $\frac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}$，约去公因式$(x-1)(x+2)$后得$2x-3$，是整式，属于巧分式；
② $\frac{2x+5}{x+3}$，分子无法分解出含$x+3$的因式，不能约分得到整式，不属于巧分式；
③ $\frac{x^2 - y^2}{x + y}=\frac{(x+y)(x-y)}{x+y}$，约去公因式$x+y$后得$x-y$，是整式，属于巧分式。
(2) 由“巧分式”的定义可知，分子=分母×巧整式，即：
$(x+3)(x-7)=x^2 -4x +m$
左边展开得：$x^2 -7x +3x -21 = x^2 -4x -21$
所以$x^2 -4x -21 = x^2 -4x +m$，对比等式两边得$m=-21$。
(3) ① 由题意得$\frac{-2x^3 +2x}{A}=1-x$，所以$A=\frac{-2x^3 +2x}{1-x}$，对分子因式分解：
$-2x^3 +2x = 2x(1 - x^2) = 2x(1-x)(1+x)$
代入得$A=\frac{2x(1-x)(1+x)}{1-x}=2x(1+x)=2x^2 + 2x$。
② 将$A=2x^2 + 2x$代入分式，得：
$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{2x^2 +2x}=\frac{2x(x^2 +2x +1)}{2x(x+1)}=\frac{2x(x+1)^2}{2x(x+1)}$
约去公因式$2x(x+1)$后得$x+1$，是整式，因此该分式是“巧分式”。
【答案】
(1) $\boxed{①③}$
(2) $\boxed{m=-21}$
(3) ① $\boxed{A=2x^2 + 2x}$；② $\boxed{是}$
【知识点】
分式的约分、因式分解、整式乘除运算
【点评】
本题为新定义题型，解题的关键是准确理解“巧分式”的定义，将新定义问题转化为熟悉的分式、整式运算问题，能有效考查知识迁移和运算能力。
【难度系数】
0.7
本题是新定义类题型，解题核心是准确理解“巧分式”“巧整式”的定义，转化为已学的分式运算、整式运算知识求解。
(1) 判断是否为巧分式，只需对每个分式约分，看结果是否为整式即可，约分时要找准分子分母的公因式。
(2) 根据巧分式的定义，分式约分后得到巧整式，说明分子等于分母乘巧整式，将等式两边展开后对比即可求出m的值。
(3) ①已知分式的分子和巧整式，求分母A，可根据“分母=分子÷巧整式”，对分子因式分解后约分就能得到A；②判断该分式是否为巧分式，把A代入后约分，看结果是否为整式即可。
【解析】
(1) 对三个分式逐一判断：
① $\frac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}$，约去公因式$(x-1)(x+2)$后得$2x-3$，是整式，属于巧分式；
② $\frac{2x+5}{x+3}$，分子无法分解出含$x+3$的因式，不能约分得到整式，不属于巧分式；
③ $\frac{x^2 - y^2}{x + y}=\frac{(x+y)(x-y)}{x+y}$，约去公因式$x+y$后得$x-y$，是整式，属于巧分式。
(2) 由“巧分式”的定义可知，分子=分母×巧整式，即：
$(x+3)(x-7)=x^2 -4x +m$
左边展开得：$x^2 -7x +3x -21 = x^2 -4x -21$
所以$x^2 -4x -21 = x^2 -4x +m$，对比等式两边得$m=-21$。
(3) ① 由题意得$\frac{-2x^3 +2x}{A}=1-x$，所以$A=\frac{-2x^3 +2x}{1-x}$，对分子因式分解：
$-2x^3 +2x = 2x(1 - x^2) = 2x(1-x)(1+x)$
代入得$A=\frac{2x(1-x)(1+x)}{1-x}=2x(1+x)=2x^2 + 2x$。
② 将$A=2x^2 + 2x$代入分式，得：
$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{2x^2 +2x}=\frac{2x(x^2 +2x +1)}{2x(x+1)}=\frac{2x(x+1)^2}{2x(x+1)}$
约去公因式$2x(x+1)$后得$x+1$，是整式，因此该分式是“巧分式”。
【答案】
(1) $\boxed{①③}$
(2) $\boxed{m=-21}$
(3) ① $\boxed{A=2x^2 + 2x}$；② $\boxed{是}$
【知识点】
分式的约分、因式分解、整式乘除运算
【点评】
本题为新定义题型，解题的关键是准确理解“巧分式”的定义，将新定义问题转化为熟悉的分式、整式运算问题，能有效考查知识迁移和运算能力。
【难度系数】
0.7
