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18. 请你认真研读下列三个片段，并回答下列问题.
如图①，直线$OM ⊥ ON$，垂足为点$O$，三角板的直角顶点$C$落在$∠ MON$的内部，三角板的两条直角边分别与$ON$、$OM$交于点$D$和点$B$.
【片段一】
(1)小孙说：由四边形内角和知识很容易得到$∠ OBC + ∠ ODC$的值. 如果你是小孙，得到的正确答案应是：$∠ OBC + ∠ ODC =$
【片段二】
(2)小康说：连结$BD$（如图②），如果$BD$平分$∠ OBC$，那么$DB$也平分$∠ ODC$. 请你说明当$BD$平分$∠ OBC$时，$DB$也平分$∠ ODC$的理由.
【片段三】
(3)小雪说：“若$DE$平分$∠ ODC$、$BF$平分$∠ MBC$，我发现$DE$与$BF$具有特殊的位置关系.”请你先在备用图中补全图形，再判断$DE$与$BF$有怎样的位置关系并说明理由.
如图①，直线$OM ⊥ ON$，垂足为点$O$，三角板的直角顶点$C$落在$∠ MON$的内部，三角板的两条直角边分别与$ON$、$OM$交于点$D$和点$B$.
【片段一】
(1)小孙说：由四边形内角和知识很容易得到$∠ OBC + ∠ ODC$的值. 如果你是小孙，得到的正确答案应是：$∠ OBC + ∠ ODC =$
180
$°$.【片段二】
(2)小康说：连结$BD$（如图②），如果$BD$平分$∠ OBC$，那么$DB$也平分$∠ ODC$. 请你说明当$BD$平分$∠ OBC$时，$DB$也平分$∠ ODC$的理由.
【片段三】
(3)小雪说：“若$DE$平分$∠ ODC$、$BF$平分$∠ MBC$，我发现$DE$与$BF$具有特殊的位置关系.”请你先在备用图中补全图形，再判断$DE$与$BF$有怎样的位置关系并说明理由.
答案
18. 解: (1)180
(2)$\because BD$ 平分 $∠ OBC,$
$\therefore ∠ OBD=∠ CBD.$
$\because ∠ BOD=∠ C, \therefore ∠ ODB=∠ CDB.$
$\therefore DB$ 平分 $∠ ODC.$
(3)如图，延长 $DE$ 交 $BF$ 于点 $G,$
$\because ∠ ODC+∠ OBC=∠ CBM+∠ OBC=180°, \therefore ∠ CBM=∠ ODC,$
$\frac{1}{2} ∠ CBM=∠ EBG=\frac{1}{2} ∠ ODC=∠ EDC.$
$\because ∠ BEG=∠ DEC,$
$\therefore ∠ BGE=∠ DCE=90°.$
$\therefore DE ⊥ BF.$
解析
【分析】
(1) 求解∠OBC+∠ODC的度数时，先明确四边形内角和为360°，结合已知OM⊥ON得∠BOD=90°，三角板的直角∠C=90°，用四边形内角和减去两个直角的度数即可得到结果。
(2) 要证明DB平分∠ODC，只需证∠ODB=∠CDB。已知BD平分∠OBC可得∠OBD=∠CBD，再结合∠BOD和∠C均为90°，利用三角形内角和为180°，即可推出两个角相等，得到平分的结论。
(3) 首先按要求补全图形，判断位置关系时，先由(1)的结论和邻补角定义推出∠ODC=∠MBC，再结合角平分线性质得到对应角相等，最后利用对顶角相等和三角形内角和，推导得出夹角为90°，即可得到垂直的结论。
【解析】
(1) 四边形OBCD的内角和为360°，
∵OM⊥ON，
∴∠BOD=90°，
又
∵三角板的直角顶点为C，
∴∠C=90°，
∴∠OBC+∠ODC=360°-∠BOD-∠C=360°-90°-90°=180°。
(2)
∵BD平分∠OBC，
∴∠OBD=∠CBD，
∵∠BOD=∠C=90°，
根据三角形内角和为180°，可得∠ODB=180°-∠BOD-∠OBD，∠CDB=180°-∠C-∠CBD，
∴∠ODB=∠CDB，
∴DB平分∠ODC。
(3) 补全图形后延长DE交BF于点G，
∵∠ODC+∠OBC=180°，∠MBC+∠OBC=180°（邻补角的定义），
∴∠CBM=∠ODC，
∵DE平分∠ODC，BF平分∠MBC，
∴∠EBG=$\frac{1}{2}$∠CBM，∠EDC=$\frac{1}{2}$∠ODC，
∴∠EBG=∠EDC，
又
∵∠BEG=∠DEC（对顶角相等），
根据三角形内角和为180°，可得∠BGE=180°-∠BEG-∠EBG，∠DCE=180°-∠DEC-∠EDC，
∴∠BGE=∠DCE=90°，
∴DE⊥BF。
【答案】
(1) $\boldsymbol{180}$
(2) 理由：
∵BD 平分 $∠ OBC,$
$\therefore ∠ OBD=∠ CBD.$
$\because ∠ BOD=∠ C, \therefore ∠ ODB=∠ CDB.$
$\therefore DB$ 平分 $∠ ODC.$
(3) DE与BF的位置关系为$\boldsymbol{DE ⊥ BF}$，图形如下：
理由：$\because ∠ ODC+∠ OBC=∠ CBM+∠ OBC=180°, \therefore ∠ CBM=∠ ODC,$
$\frac{1}{2} ∠ CBM=∠ EBG=\frac{1}{2} ∠ ODC=∠ EDC.$
$\because ∠ BEG=∠ DEC,$
$\therefore ∠ BGE=∠ DCE=90°.$
$\therefore DE ⊥ BF.$
【知识点】
四边形内角和定理，角平分线的判定与性质，垂直的判定
【点评】
本题以直角三角板和互相垂直的直线为背景，综合考查了四边形内角和、角平分线、垂直判定等几何基础知识点，解题过程中需要灵活运用角的等量代换、内角和定理进行推导，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解∠OBC+∠ODC的度数时，先明确四边形内角和为360°，结合已知OM⊥ON得∠BOD=90°，三角板的直角∠C=90°，用四边形内角和减去两个直角的度数即可得到结果。
(2) 要证明DB平分∠ODC，只需证∠ODB=∠CDB。已知BD平分∠OBC可得∠OBD=∠CBD，再结合∠BOD和∠C均为90°，利用三角形内角和为180°，即可推出两个角相等，得到平分的结论。
(3) 首先按要求补全图形，判断位置关系时，先由(1)的结论和邻补角定义推出∠ODC=∠MBC，再结合角平分线性质得到对应角相等，最后利用对顶角相等和三角形内角和，推导得出夹角为90°，即可得到垂直的结论。
【解析】
(1) 四边形OBCD的内角和为360°，
∵OM⊥ON，
∴∠BOD=90°，
又
∵三角板的直角顶点为C，
∴∠C=90°，
∴∠OBC+∠ODC=360°-∠BOD-∠C=360°-90°-90°=180°。
(2)
∵BD平分∠OBC，
∴∠OBD=∠CBD，
∵∠BOD=∠C=90°，
根据三角形内角和为180°，可得∠ODB=180°-∠BOD-∠OBD，∠CDB=180°-∠C-∠CBD，
∴∠ODB=∠CDB，
∴DB平分∠ODC。
(3) 补全图形后延长DE交BF于点G，
∵∠ODC+∠OBC=180°，∠MBC+∠OBC=180°（邻补角的定义），
∴∠CBM=∠ODC，
∵DE平分∠ODC，BF平分∠MBC，
∴∠EBG=$\frac{1}{2}$∠CBM，∠EDC=$\frac{1}{2}$∠ODC，
∴∠EBG=∠EDC，
又
∵∠BEG=∠DEC（对顶角相等），
根据三角形内角和为180°，可得∠BGE=180°-∠BEG-∠EBG，∠DCE=180°-∠DEC-∠EDC，
∴∠BGE=∠DCE=90°，
∴DE⊥BF。
【答案】
(1) $\boldsymbol{180}$
(2) 理由：
∵BD 平分 $∠ OBC,$
$\therefore ∠ OBD=∠ CBD.$
$\because ∠ BOD=∠ C, \therefore ∠ ODB=∠ CDB.$
$\therefore DB$ 平分 $∠ ODC.$
(3) DE与BF的位置关系为$\boldsymbol{DE ⊥ BF}$，图形如下：
理由：$\because ∠ ODC+∠ OBC=∠ CBM+∠ OBC=180°, \therefore ∠ CBM=∠ ODC,$
$\frac{1}{2} ∠ CBM=∠ EBG=\frac{1}{2} ∠ ODC=∠ EDC.$
$\because ∠ BEG=∠ DEC,$
$\therefore ∠ BGE=∠ DCE=90°.$
$\therefore DE ⊥ BF.$
【知识点】
四边形内角和定理，角平分线的判定与性质，垂直的判定
【点评】
本题以直角三角板和互相垂直的直线为背景，综合考查了四边形内角和、角平分线、垂直判定等几何基础知识点，解题过程中需要灵活运用角的等量代换、内角和定理进行推导，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
