1. 如图，已知 $ AB // DE $，$ ∠ BCD = 30^{\circ} $，$ ∠ CDE = 138^{\circ} $，求 $ ∠ ABC $ 的度数.

1. 如图,过点C作CF//AB.
∵AB//DE,
∴DE//CF,
∴∠DCF = 180° - ∠CDE = 180° - 138° = 42°,
∴∠BCF = ∠BCD + ∠DCF = 30° + 42° = 72°. 又
∵AB//CF,
∴∠ABC = ∠BCF = 72°.

2. 如图，$ ∠ BEC = 95^{\circ} $，$ ∠ ABE = 120^{\circ} $，$ ∠ DCE = 35^{\circ} $，问：$ AB $ 与 $ CD $ 平行吗？请说明理由.

2. AB//CD. 理由如下: 如图,过点E作EF//AB, 则∠ABE + ∠BEF = 180°.
∵∠ABE = 120°,
∴∠BEF = 180° - 120° = 60°.
∵∠BEC = 95°,
∴∠CEF = 95° - 60° = 35°. 又
∵∠DCE = 35°,
∴∠CEF = ∠DCE,
∴EF//CD,
∴AB//CD.

3. 已知 $ AB // CD $，$ CE $、$ BE $ 的交点为 $ E $，现进行如下操作：
第一次操作：分别作 $ ∠ ABE $ 和 $ ∠ DCE $ 的平分线，交点为 $ E_1 $；第二次操作：分别作 $ ∠ ABE_1 $ 和 $ ∠ DCE_1 $ 的平分线，交点为 $ E_2 $；第三次操作：分别作 $ ∠ ABE_2 $ 和 $ ∠ DCE_2 $ 的平分线，交点为 $ E_3 $；…；第 $ n $ 次操作：分别作 $ ∠ ABE_{n - 1} $ 和 $ ∠ DCE_{n - 1} $ 的平分线，交点为 $ E_n $.

(1) 如图 1，已知 $ ∠ ABE = 50° $，$ ∠ DCE = 25° $，则 $ ∠ BEC = $.
(2) 如图 2，若 $ ∠ BEC = 140° $，则 $ ∠ BE_1C = $.
(3) 猜想：若 $ ∠ BEC = α $，则 $ ∠ BE_nC = $.

(1) 75° 解析: 如图,过点E作EF//AB.
∵AB//CD,
∴AB//EF//CD,
∴∠ABE = ∠1, ∠DCE = ∠2,
∴∠BEC = ∠1 + ∠2 = ∠ABE + ∠DCE = 75°.

(2) 70° 解析:
∵∠ABE和∠DCE的平分线的交点为E1,
∴∠BE1C = ∠ABE1 + ∠DCE1 = 1/2 (∠ABE + ∠DCE) = 1/2 ∠BEC = 70°.
(3) α/2ⁿ 解析:
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线的交点为E2,
∴由(1), 得∠BE2C = ∠ABE2 + ∠DCE2 = 1/2 (∠ABE1 + ∠DCE1) = 1/2 ∠BE1C = 1/4 ∠BEC;
∵∠ABE2和∠DCE2的平分线的交点为E3,
∴∠BE3C = ∠ABE3 + ∠DCE3 = 1/2 (∠ABE2 + ∠DCE2) = 1/2 ∠BE2C = 1/8 ∠BEC; 以此类推, ∠BEnC = 1/2ⁿ ∠BEC,
∴当∠BEC = α时, ∠BEnC = α/2ⁿ.

4. 已知 $ AB // CD $，$ E $ 是平面内一点，$ ∠ CDE $ 的平分线与 $ ∠ ABE $ 的平分线交于点 $ F $.
(1) 若点 $ E $ 的位置如图 1 所示.
① 若 $ ∠ ABE = 60^{\circ} $，$ ∠ CDE = 80^{\circ} $，则 $ ∠ BFD = $；
② 探究 $ ∠ BFD $ 与 $ ∠ BED $ 的数量关系并证明你的结论.
(2) 若点 $ E $ 的位置如图 2 所示，则 $ ∠ BFD $ 与 $ ∠ BED $ 满足的数量关系为.

(1) ① 70° 解析: 如图1,过点F作FH//AB.
∵AB//CD,
∴AB//CD//FH,
∴∠ABF = ∠BFH, ∠CDF = ∠DFH,
∴∠ABF + ∠CDF = ∠BFH + ∠DFH = ∠BFD.
∵∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F,
∴∠ABE = 2∠ABF, ∠CDE = 2∠CDF.
∵∠ABE = 60°, ∠CDE = 80°,
∴∠ABF = 30°, ∠CDF = 40°,
∴∠BFD = 70°.
② ∠BED = 2∠BFD. 证明如下: 如图1,过点F作FH//AB,过点E作EG//AB.
∵AB//CD,
∴AB//CD//FH//EG,
∴∠ABF = ∠BFH, ∠CDF = ∠DFH, ∠ABE = ∠BEG, ∠CDE = ∠DEG,
∴∠ABF + ∠CDF = ∠BFH + ∠DFH = ∠BFD, ∠ABE + ∠CDE = ∠BEG + ∠DEG = ∠BED.
∵∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F,
∴∠ABE = 2∠ABF, ∠CDE = 2∠CDF,
∴∠BED = 2∠BFD.
(2) 360° - ∠BED = 2∠BFD 解析: 如图2,过点F作FH//AB,过点E作EG//AB.
∵AB//CD,
∴AB//CD//FH//GE,
∴∠ABF = ∠BFH, ∠CDF = ∠DFH, ∠ABE = 180° - ∠BEG, ∠CDE = 180° - ∠DEG,
∴∠ABF + ∠CDF = ∠BFH + ∠DFH = ∠BFD, ∠ABE + ∠CDE = 360° - (∠BEG + ∠DEG) = 360° - ∠BED.
∵∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F,
∴∠ABE = 2∠ABF, ∠CDE = 2∠CDF,
∴360° - ∠BED = 2∠BFD.