3. 解方程时，移项的根据是 ()

A.加法交换律
B.乘法分配律
C.等式的基本性质 1
D.等式的基本性质 2

3. C

【分析】
要确定移项的根据，需先明确移项的操作本质，再结合各选项对应的运算定律或等式性质逐一判断，排除错误选项即可得出答案。
【解析】
移项是指把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，其操作本质是等式两边同时加上（或减去）该项的相反数，这对应等式的基本性质1。对选项分析如下：
A. 加法交换律是指两个数相加时交换加数位置和不变，与移项的依据无关；
B. 乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘的运算规律，和移项无关；
C. 等式的基本性质1为“等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立”，完全符合移项的依据；
D. 等式的基本性质2是“等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的整式，等式仍然成立”，与移项的依据不符。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等式的基本性质；移项的依据
【点评】
本题考查解方程中移项的依据，属于方程相关的基础概念题，需准确区分等式的两个基本性质及其他运算定律的应用场景，是学习解方程的必备基础知识点。
【难度系数】
0.8

4. 已知 $x = y$，则下列结论错误的是 ()

A.$x + a = y + a$
B.$x - a = y - a$
C.$ax = ay$
D.$\frac{x}{a} = \frac{y}{a}$

4. D

【分析】要判断已知$x=y$时哪个结论错误，需依据等式的基本性质逐一分析选项，重点关注等式性质中“除数不能为0”的限制条件。
【解析】根据等式的基本性质：
1. 等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立：
选项A：$x + a = y + a$，符合性质，结论正确；
选项B：$x - a = y - a$，符合性质，结论正确；
2. 等式两边同时乘同一个数（或整式），等式仍成立；若同时除以一个数（或整式），该数（或整式）不能为0：
选项C：$ax = ay$，是等式两边同乘$a$，符合性质，结论正确；
选项D：$\frac{x}{a} = \frac{y}{a}$，等式两边除以$a$，但未说明$a≠0$，当$a=0$时该式无意义，结论错误。
综上，错误的结论是D。
【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【点评】本题考查等式基本性质的应用，核心是牢记等式性质2中“除数不能为0”的限制，避免忽略特殊情况出错。
【难度系数】0.7

5. 将方程 $\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{6} = 1$ 去分母，正确的是 ()

A.$3x - (x - 1) = 1$
B.$3x - x - 1 = 1$
C.$3x - x - 1 = 6$
D.$3x - (x - 1) = 6$

5. D

方程两边同乘6，得$3x - (x - 1) = 6$。
D

6. 代数式 $x - 2$ 的值与 $-\frac{1}{2}$ 互为倒数，则 $x$ 的值为 ()

A.$-2$
B.$2$
C.$\frac{1}{2}$
D.$0$

6. D

因为代数式$x - 2$的值与$-\frac{1}{2}$互为倒数，所以$(x - 2) × (-\frac{1}{2}) = 1$，解得$x - 2 = -2$，$x = 0$。
D

7. 对于方程 $\frac{x - 1}{0.2} - \frac{x + 1}{0.3} = 1$，下列变形正确的是 ()

A.$\frac{x - 1}{2} - \frac{x + 1}{3} = 1$
B.$\frac{x - 1}{2} - \frac{x + 1}{3} = 10$
C.$\frac{10x - 10}{2} - \frac{10x + 10}{3} = 1$

D.$\frac{10x - 10}{2} - \frac{10x + 10}{3} = 10$

7. C

【分析】这道题是一元一次方程的变形题，核心是利用分数的基本性质处理分母为小数的情况。解题思路：原方程的分母0.2和0.3均为一位小数，需将分数的分子、分母同时乘10把分母化为整数，此时仅改变分数形式、分数值不变，方程右边的常数项不参与变形，据此判断正确选项。
【解析】原方程为$\frac{x - 1}{0.2} - \frac{x + 1}{0.3} = 1$，根据分数的基本性质，将左边两个分数的分子、分母同时乘以10，可得：$\frac{10(x - 1)}{10×0.2} - \frac{10(x + 1)}{10×0.3} = 1$，化简后为$\frac{10x - 10}{2} - \frac{10x + 10}{3} = 1$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】分数的基本性质，一元一次方程的变形
【点评】本题考查一元一次方程中分母为小数的变形，易错点是误将方程右边的常数项也乘以10，需牢记仅对分数的分子、分母应用分数基本性质，右边常数项保持不变。
【难度系数】0.5

8. 小丽在解方程 $5a - x = 13$($x$ 为未知数)时，误把 $-x$ 看作 $+x$，求得方程的解为 $x = -2$。那么，原方程的解为 ()

A.$x = -3$
B.$x = 0$
C.$x = 2$
D.$x = 1$

8. C

小丽误将方程看作$5a + x = 13$，把$x = -2$代入得：$5a + (-2) = 13$，解得$5a = 15$，$a = 3$。原方程为$5×3 - x = 13$，即$15 - x = 13$，解得$x = 2$。
C

9. 已知 $3x^2y^{m - 1}$ 与 $-2x^n y^3$ 是同类项，则 $m = $，$n = $。

9. 4 2

解：因为$3x^2y^{m - 1}$与$-2x^n y^3$是同类项，所以相同字母的指数相同。
对于$x$：$n = 2$；
对于$y$：$m - 1 = 3$，解得$m = 4$。
故$m = 4$，$n = 2$。

10. 已知某校有住宿生若干人。若每间宿舍住 8 人，则有 5 人无处住；若每间宿舍增加 1 人，则空 35 个床位。
(1)若设该校共有 $x$ 间宿舍，则可列出方程：；
(2)若设该校共有住宿生 $x$ 人，则可列出方程：。

10. (1) $ 8x + 5 = (8 + 1)x - 35 $ (2) $ \dfrac{x - 5}{8} = \dfrac{x + 35}{9} $

【分析】
这道题是一元一次方程的实际应用，核心是抓住题目中的不变量建立等量关系：（1）设宿舍数量为x间时，不变量是住宿生总人数，分别用含x的式子表示两种住宿方案的总人数，令其相等即可列方程；（2）设住宿生总人数为x人时，不变量是宿舍数量，分别用含x的式子表示两种住宿方案的宿舍数量，令其相等即可列方程。
【解析】
（1）设该校共有$x$间宿舍。
第一种住宿方案：每间住8人，有5人无处住，住宿生总人数为$8x + 5$；
第二种住宿方案：每间增加1人即每间住9人，空35个床位，住宿生总人数为$9x - 35$；
因为住宿生总人数不变，所以可列方程：$8x + 5 = 9x - 35$。
（2）设该校共有住宿生$x$人。
第一种住宿方案：每间住8人，有5人无处住，宿舍数量为$\frac{x - 5}{8}$；
第二种住宿方案：每间住9人，空35个床位，需总床位为$x + 35$，宿舍数量为$\frac{x + 35}{9}$；
因为宿舍数量不变，所以可列方程：$\frac{x - 5}{8} = \frac{x + 35}{9}$。
【答案】(1) $8x + 5 = 9x - 35$；(2) $\dfrac{x - 5}{8} = \dfrac{x + 35}{9}$
【知识点】一元一次方程的应用，等量关系的建立
【点评】本题是一元一次方程应用的基础题型，通过两种设元方式考查学生对“不变量”的理解，找准不变量即可顺利列方程，是巩固方程应用的典型题目。
【难度系数】0.6

11. 一家商店将某款衬衫的进价提高 40%作为标价，再打八折销售，结果每件衬衫可获利 15 元。若设这款衬衫每件的进价是 $x$ 元，则可列出方程：。

11. $ (1 + 40\%)x×\dfrac{8}{10} = 15 + x $

【分析】首先明确销售问题的基本等量关系：标价=进价×(1+提高率)，售价=标价×折扣，利润=售价-进价。本题设进价为x元，先依次表示出标价、打八折后的售价，再根据“售价=进价+利润”的核心等量关系列出方程。
【解析】设这款衬衫每件的进价是$x$元。
1. 计算标价：进价提高40%作为标价，故标价为$(1 + 40\%)x$元；
2. 计算售价：打八折销售，即售价为标价的80%，也就是$(1 + 40\%)x×\dfrac{8}{10}$元；
3. 列方程：已知每件获利15元，根据“售价=进价+利润”，可得方程：$(1 + 40\%)x×\dfrac{8}{10} = 15 + x$。
【答案】$(1 + 40\%)x×\dfrac{8}{10} = 15 + x$
【知识点】一元一次方程的应用、销售利润问题
【点评】本题是一元一次方程应用中的基础销售利润题型，关键是理清标价、售价、进价、利润的关系，找准等量关系即可列方程，属于学生易掌握的基础题。
【难度系数】0.7

12. 已知一个玩具的标价为 100 元，打六折销售，可获利 20%，则这个玩具的进价是元。

12. 50

设这个玩具的进价是$x$元。
玩具标价100元，打六折销售，售价为$100×0.6 = 60$元。
因为获利20%，所以售价是进价的$(1 + 20\%)$，即$x(1 + 20\%)=60$。
$1.2x = 60$，解得$x = 50$。
50

三、解答题（共 40 分）
13.（8 分）解下列一元一次方程：
（1）$\frac{1}{2}(4 - 2x) - (3x + 5) = x - 18$；
（2）$\frac{x - 1}{3} - \frac{x + 2}{6} = \frac{4 - x}{2}$。

13. (1) $ x = 3 $。 (2) $ x = 4 $。

解：去分母，得$2(x - 1) - (x + 2) = 3(4 - x)$，
去括号，得$2x - 2 - x - 2 = 12 - 3x$，
移项，得$2x - x + 3x = 12 + 2 + 2$，
合并同类项，得$4x = 16$，
系数化为$1$，得$x = 4$。