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一、选择题
答案
答案略
1. 若分式$\frac{x^2 - 2x - 3}{x + 1}$的值为零，则$x$的值是（）
A.$-1$
B.$1$
C.$3$
D.$-1$或$3$
A.$-1$
B.$1$
C.$3$
D.$-1$或$3$
答案
C
解析
【分析】
要解决分式值为零的问题，需明确分式值为零的两个核心条件：①分子等于0；②分母不等于0，两个条件需同时满足。因此先求解分子为0时x的取值，再排除使分母为0的x，即可得到答案。
【解析】
解：分式$\frac{x^2 - 2x - 3}{x + 1}$的值为零，需满足：
1. 分子为0：$x^2 - 2x - 3 = 0$，因式分解得$(x - 3)(x + 1) = 0$，解得$x = 3$或$x = -1$；
2. 分母不为0：$x + 1 ≠ 0$，即$x ≠ -1$。
结合两个条件，$x$只能取3，对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
分式的值为零的条件；一元二次方程的解法
【点评】
本题考查分式值为零的条件，解题关键是牢记“分子为0且分母不为0”，易出错点是忽略分母不为0的限制，直接仅根据分子求解，需注意两个条件同时成立。
【难度系数】
0.6
要解决分式值为零的问题，需明确分式值为零的两个核心条件：①分子等于0；②分母不等于0，两个条件需同时满足。因此先求解分子为0时x的取值，再排除使分母为0的x，即可得到答案。
【解析】
解：分式$\frac{x^2 - 2x - 3}{x + 1}$的值为零，需满足：
1. 分子为0：$x^2 - 2x - 3 = 0$，因式分解得$(x - 3)(x + 1) = 0$，解得$x = 3$或$x = -1$；
2. 分母不为0：$x + 1 ≠ 0$，即$x ≠ -1$。
结合两个条件，$x$只能取3，对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
分式的值为零的条件；一元二次方程的解法
【点评】
本题考查分式值为零的条件，解题关键是牢记“分子为0且分母不为0”，易出错点是忽略分母不为0的限制，直接仅根据分子求解，需注意两个条件同时成立。
【难度系数】
0.6
2. 已知 $ x $ 为整数，且 $ \dfrac{3}{x+4} - \dfrac{3}{x-4} + \dfrac{4x+8}{x^2 - 16} $ 为正整数，则满足条件的 $ x $ 的值有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，需先对给定的分式进行化简：利用平方差公式确定最简公分母，通分后合并分子，约分化简得到最简形式；再根据“结果为正整数、x为整数”的条件，结合分母不为0的隐含限制，求出所有满足条件的x值，统计其个数即可。
【解析】
先对原式化简：
$\begin{aligned}&\frac{3}{x+4} - \frac{3}{x-4} + \frac{4x+8}{x^2 -16}\\=&\frac{3(x-4) - 3(x+4) + (4x+8)}{(x+4)(x-4)} \quad \mathrm{（通分，最简公分母为}x^2-16=(x+4)(x-4)\mathrm{）}\\=&\frac{3x -12 -3x -12 +4x +8}{(x+4)(x-4)} \quad \mathrm{（展开分子）}\\=&\frac{4x -16}{(x+4)(x-4)} \quad \mathrm{（合并同类项）}\\=&\frac{4(x-4)}{(x+4)(x-4)} \quad \mathrm{（分子提取公因式4）}\\=&\frac{4}{x+4} \quad \mathrm{（约去公因式}x-4\mathrm{，需满足}x≠4\mathrm{）}\end{aligned}$
已知化简结果为正整数，且x为整数，同时分母不能为0（即x≠-4），因此：
$x+4$是4的正约数，4的正约数为1、2、4，对应：
当$x+4=1$时，$x=-3$（满足x≠±4）；
当$x+4=2$时，$x=-2$（满足x≠±4）；
当$x+4=4$时，$x=0$（满足x≠±4）；
共3个满足条件的x值。
【答案】
C
【知识点】
分式的加减运算、分式的化简求值
【点评】
本题核心是分式的通分与化简，需注意约分时的隐含条件（分母不为0），以及根据正整数的要求确定约数范围，避免遗漏或错误计算x的取值，属于中等难度的分式化简题。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需先对给定的分式进行化简：利用平方差公式确定最简公分母，通分后合并分子，约分化简得到最简形式；再根据“结果为正整数、x为整数”的条件，结合分母不为0的隐含限制，求出所有满足条件的x值，统计其个数即可。
【解析】
先对原式化简：
$\begin{aligned}&\frac{3}{x+4} - \frac{3}{x-4} + \frac{4x+8}{x^2 -16}\\=&\frac{3(x-4) - 3(x+4) + (4x+8)}{(x+4)(x-4)} \quad \mathrm{（通分，最简公分母为}x^2-16=(x+4)(x-4)\mathrm{）}\\=&\frac{3x -12 -3x -12 +4x +8}{(x+4)(x-4)} \quad \mathrm{（展开分子）}\\=&\frac{4x -16}{(x+4)(x-4)} \quad \mathrm{（合并同类项）}\\=&\frac{4(x-4)}{(x+4)(x-4)} \quad \mathrm{（分子提取公因式4）}\\=&\frac{4}{x+4} \quad \mathrm{（约去公因式}x-4\mathrm{，需满足}x≠4\mathrm{）}\end{aligned}$
已知化简结果为正整数，且x为整数，同时分母不能为0（即x≠-4），因此：
$x+4$是4的正约数，4的正约数为1、2、4，对应：
当$x+4=1$时，$x=-3$（满足x≠±4）；
当$x+4=2$时，$x=-2$（满足x≠±4）；
当$x+4=4$时，$x=0$（满足x≠±4）；
共3个满足条件的x值。
【答案】
C
【知识点】
分式的加减运算、分式的化简求值
【点评】
本题核心是分式的通分与化简，需注意约分时的隐含条件（分母不为0），以及根据正整数的要求确定约数范围，避免遗漏或错误计算x的取值，属于中等难度的分式化简题。
【难度系数】
0.5
3. 若分式$\frac{2+3x}{2-3x}$有意义，则$x$的取值范围是________；若分式$\frac{x^2 - 9}{x + 3}$的值是零，则$x=\_\_\_\_\_\_$；若$(x - 8)^0$有意义，则$x$______.
答案
$x ≠ \frac{2}{3}$；$3$；$≠ 8$
解析
【分析】
本题需分别应用分式有意义、分式值为零、零指数幂有意义的条件求解：①分式有意义的条件是分母不为0；②分式值为零需同时满足分子为0且分母不为0；③零指数幂$a^0$有意义的条件是底数$a≠0$。据此对三个小问题逐一分析计算。
【解析】
1. 对于分式$\frac{2+3x}{2-3x}$有意义，需分母不为0，即$2-3x≠0$，解得$x≠\frac{2}{3}$；
2. 对于分式$\frac{x^2 - 9}{x + 3}$的值为零，需分子为0且分母不为0：分子$x^2 -9=0$，解得$x=3$或$x=-3$；分母$x+3≠0$，即$x≠-3$，故$x=3$；
3. 对于$(x - 8)^0$有意义，需底数不为0，即$x-8≠0$，故$x≠8$。
【答案】
$x ≠ \frac{2}{3}$；$3$；$≠ 8$
【知识点】
分式有意义的条件，分式值为零的条件，零指数幂的意义
【点评】
本题考查分式和零指数幂的基础性质，核心是牢记各类式子的限制条件，需注意分式值为零时分母不能为0，避免遗漏该限制，属于基础概念应用题型。
【难度系数】
0.7
本题需分别应用分式有意义、分式值为零、零指数幂有意义的条件求解：①分式有意义的条件是分母不为0；②分式值为零需同时满足分子为0且分母不为0；③零指数幂$a^0$有意义的条件是底数$a≠0$。据此对三个小问题逐一分析计算。
【解析】
1. 对于分式$\frac{2+3x}{2-3x}$有意义，需分母不为0，即$2-3x≠0$，解得$x≠\frac{2}{3}$；
2. 对于分式$\frac{x^2 - 9}{x + 3}$的值为零，需分子为0且分母不为0：分子$x^2 -9=0$，解得$x=3$或$x=-3$；分母$x+3≠0$，即$x≠-3$，故$x=3$；
3. 对于$(x - 8)^0$有意义，需底数不为0，即$x-8≠0$，故$x≠8$。
【答案】
$x ≠ \frac{2}{3}$；$3$；$≠ 8$
【知识点】
分式有意义的条件，分式值为零的条件，零指数幂的意义
【点评】
本题考查分式和零指数幂的基础性质，核心是牢记各类式子的限制条件，需注意分式值为零时分母不能为0，避免遗漏该限制，属于基础概念应用题型。
【难度系数】
0.7
4. 已知$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1,\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0$,则$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}$的值是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
1
解析
【分析】
本题可通过换元法简化式子，结合完全平方公式和已知条件的转化求解。首先设$A=\frac{x}{a}$，$B=\frac{y}{b}$，$C=\frac{z}{c}$，将已知条件转化为关于$A,B,C$的式子，再利用完全平方公式$(A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2(AB+BC+CA)$，结合第二个已知条件求出$AB+BC+CA$的值，进而得到目标式的值。
【解析】
设$A=\frac{x}{a}$，$B=\frac{y}{b}$，$C=\frac{z}{c}$，则已知条件可转化为：
$A+B+C=1$，且$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0$，即$\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}=0$。
对$\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}=0$通分得：$\frac{BC+AC+AB}{ABC}=0$，因此$AB+BC+CA=0$。
根据完全平方公式：
$(A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2(AB+BC+CA)$
将$A+B+C=1$，$AB+BC+CA=0$代入得：
$1^2=A^2+B^2+C^2+2×0$
解得$A^2+B^2+C^2=1$，即$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$。
【答案】
1
【知识点】
完全平方公式，代数式化简求值
【点评】
本题通过换元法简化了复杂的分式结构，核心是利用完全平方公式建立已知与未知的联系，关键在于将第二个已知条件转化为$AB+BC+CA$的值，整体代换是代数求值的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.5
本题可通过换元法简化式子，结合完全平方公式和已知条件的转化求解。首先设$A=\frac{x}{a}$，$B=\frac{y}{b}$，$C=\frac{z}{c}$，将已知条件转化为关于$A,B,C$的式子，再利用完全平方公式$(A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2(AB+BC+CA)$，结合第二个已知条件求出$AB+BC+CA$的值，进而得到目标式的值。
【解析】
设$A=\frac{x}{a}$，$B=\frac{y}{b}$，$C=\frac{z}{c}$，则已知条件可转化为：
$A+B+C=1$，且$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0$，即$\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}=0$。
对$\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}=0$通分得：$\frac{BC+AC+AB}{ABC}=0$，因此$AB+BC+CA=0$。
根据完全平方公式：
$(A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2(AB+BC+CA)$
将$A+B+C=1$，$AB+BC+CA=0$代入得：
$1^2=A^2+B^2+C^2+2×0$
解得$A^2+B^2+C^2=1$，即$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$。
【答案】
1
【知识点】
完全平方公式，代数式化简求值
【点评】
本题通过换元法简化了复杂的分式结构，核心是利用完全平方公式建立已知与未知的联系，关键在于将第二个已知条件转化为$AB+BC+CA$的值，整体代换是代数求值的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.5
5. 已知a + b = 2ab，且ab + a + b ≠ 0，则$\frac{2a - 5ab + 2b}{a + ab + b}$的值是___________.
答案
$-\frac{1}{3}$
解析
【分析】
要计算所求分式的值，观察到分式的分子、分母均含有$a+b$的项，而已知给出了$a+b=2ab$的关系，因此可采用整体代入法，将$a+b$整体替换为$2ab$，简化分式后约分计算，同时利用已知的$ab+a+b≠0$确认$ab≠0$，保证约分合法。
【解析】
已知$a + b = 2ab$，且$ab + a + b ≠ 0$。
对所求分式变形：
分子：$2a - 5ab + 2b = 2(a + b) - 5ab$，将$a + b = 2ab$代入得：
$2×2ab -5ab = 4ab -5ab = -ab$；
分母：$a + ab + b = (a + b) + ab$，将$a + b = 2ab$代入得：
$2ab + ab = 3ab$；
因此原式$=\frac{-ab}{3ab}$，由$ab + a + b = ab + 2ab = 3ab ≠0$，可知$ab≠0$，约去$ab$得：
原式$=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$-\frac{1}{3}$
【知识点】
分式的化简求值、整体代入法
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，核心考查整体代入思想的应用，通过将已知的$a+b$整体替换，避免求解单个未知数，简化计算过程，需注意利用已知条件确认约分的合法性，是初中代数运算中常用的解题技巧。
【难度系数】
0.6
要计算所求分式的值，观察到分式的分子、分母均含有$a+b$的项，而已知给出了$a+b=2ab$的关系，因此可采用整体代入法，将$a+b$整体替换为$2ab$，简化分式后约分计算，同时利用已知的$ab+a+b≠0$确认$ab≠0$，保证约分合法。
【解析】
已知$a + b = 2ab$，且$ab + a + b ≠ 0$。
对所求分式变形：
分子：$2a - 5ab + 2b = 2(a + b) - 5ab$，将$a + b = 2ab$代入得：
$2×2ab -5ab = 4ab -5ab = -ab$；
分母：$a + ab + b = (a + b) + ab$，将$a + b = 2ab$代入得：
$2ab + ab = 3ab$；
因此原式$=\frac{-ab}{3ab}$，由$ab + a + b = ab + 2ab = 3ab ≠0$，可知$ab≠0$，约去$ab$得：
原式$=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$-\frac{1}{3}$
【知识点】
分式的化简求值、整体代入法
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，核心考查整体代入思想的应用，通过将已知的$a+b$整体替换，避免求解单个未知数，简化计算过程，需注意利用已知条件确认约分的合法性，是初中代数运算中常用的解题技巧。
【难度系数】
0.6
三、解答题
6.（1）已知分式$\frac{x-b}{x+a}$，当$x=-2$时，分式无意义；当$x=4$时，分式的值是零，求$a+b$的值。
（2）当$x$为何整数时，分式$\frac{6}{x-2}$的值是整数？
6.（1）已知分式$\frac{x-b}{x+a}$，当$x=-2$时，分式无意义；当$x=4$时，分式的值是零，求$a+b$的值。
（2）当$x$为何整数时，分式$\frac{6}{x-2}$的值是整数？
答案
（1）$a+b=6$；（2）符合条件的整数x为-4、-1、0、1、3、4、5、8。
解析
【分析】
本题分为两小问，（1）需利用分式无意义和值为0的条件求解：分式无意义时分母为0，值为0时分子为0且分母不为0，据此分别求出a、b的值，再计算a+b；（2）要使分式的值为整数，需让分母是分子的整数约数，先找出分子6的所有整数约数，再结合分母不为0的条件求出对应的整数x。
【解析】
（1）对于分式$\frac{x-b}{x+a}$：
分式无意义的条件是分母为0，已知当$x=-2$时分式无意义，因此$x+a=0$，代入$x=-2$得：$-2+a=0$，解得$a=2$；
分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，已知当$x=4$时分式值为0，因此$x-b=0$，代入$x=4$得：$4-b=0$，解得$b=4$；此时分母$x+a=4+2=6≠0$，符合条件；
故$a+b=2+4=6$。
（2）对于分式$\frac{6}{x-2}$，要使其值为整数，则分母$x-2$必须是分子6的整数约数，6的所有整数约数为$\pm1、\pm2、\pm3、\pm6$，分别计算：
当$x-2=1$时，$x=3$；
当$x-2=-1$时，$x=1$；
当$x-2=2$时，$x=4$；
当$x-2=-2$时，$x=0$；
当$x-2=3$时，$x=5$；
当$x-2=-3$时，$x=-1$；
当$x-2=6$时，$x=8$；
当$x-2=-6$时，$x=-4$；
以上x均满足$x-2≠0$（即$x≠2$），故符合条件的整数x为-4、-1、0、1、3、4、5、8。
【答案】
（1）$a+b=6$；（2）符合条件的整数x为-4、-1、0、1、3、4、5、8。
【知识点】
分式无意义的条件，分式值为0的条件，分式的值为整数的条件
【点评】
本题考查分式的核心性质，需准确掌握分式有意义、无意义、值为0的判定条件，以及分式值为整数时分母与分子的约数关系，解题时需注意分母不能为0的隐含条件，避免漏解。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，（1）需利用分式无意义和值为0的条件求解：分式无意义时分母为0，值为0时分子为0且分母不为0，据此分别求出a、b的值，再计算a+b；（2）要使分式的值为整数，需让分母是分子的整数约数，先找出分子6的所有整数约数，再结合分母不为0的条件求出对应的整数x。
【解析】
（1）对于分式$\frac{x-b}{x+a}$：
分式无意义的条件是分母为0，已知当$x=-2$时分式无意义，因此$x+a=0$，代入$x=-2$得：$-2+a=0$，解得$a=2$；
分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，已知当$x=4$时分式值为0，因此$x-b=0$，代入$x=4$得：$4-b=0$，解得$b=4$；此时分母$x+a=4+2=6≠0$，符合条件；
故$a+b=2+4=6$。
（2）对于分式$\frac{6}{x-2}$，要使其值为整数，则分母$x-2$必须是分子6的整数约数，6的所有整数约数为$\pm1、\pm2、\pm3、\pm6$，分别计算：
当$x-2=1$时，$x=3$；
当$x-2=-1$时，$x=1$；
当$x-2=2$时，$x=4$；
当$x-2=-2$时，$x=0$；
当$x-2=3$时，$x=5$；
当$x-2=-3$时，$x=-1$；
当$x-2=6$时，$x=8$；
当$x-2=-6$时，$x=-4$；
以上x均满足$x-2≠0$（即$x≠2$），故符合条件的整数x为-4、-1、0、1、3、4、5、8。
【答案】
（1）$a+b=6$；（2）符合条件的整数x为-4、-1、0、1、3、4、5、8。
【知识点】
分式无意义的条件，分式值为0的条件，分式的值为整数的条件
【点评】
本题考查分式的核心性质，需准确掌握分式有意义、无意义、值为0的判定条件，以及分式值为整数时分母与分子的约数关系，解题时需注意分母不能为0的隐含条件，避免漏解。
【难度系数】
0.5
7. (1) 已知$x+\dfrac{1}{x}=\sqrt{5}$，求$x-\dfrac{1}{x}$的值；
(2) 已知实数$m,n$满足$m^2 - 10mn + 26n^2 + 4n + 4 = 0$，求$m^n$的值。
(2) 已知实数$m,n$满足$m^2 - 10mn + 26n^2 + 4n + 4 = 0$，求$m^n$的值。
答案
(1) $\pm1$；(2) $\dfrac{1}{100}$
解析
【分析】
第一问：已知$x+\frac{1}{x}$的值，要求$x-\frac{1}{x}$，可利用完全平方公式的变形，通过两者平方的关系建立等式求解；第二问：给定二元二次方程，需用配方法将其转化为完全平方的和，结合平方的非负性求出$m$、$n$的值，再计算$m^n$。
【解析】
(1) 根据完全平方公式：
$(x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2· x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$
$(x-\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2· x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$
两式相减得：$(x+\frac{1}{x})^2 - (x-\frac{1}{x})^2 = 4$，因此：
$(x-\frac{1}{x})^2 = (x+\frac{1}{x})^2 - 4$
代入$x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}$，得：
$(x-\frac{1}{x})^2 = (\sqrt{5})^2 - 4 = 5 - 4 = 1$
故$x-\frac{1}{x} = \pm\sqrt{1} = \pm1$
(2) 对等式$m^2 -10mn +26n^2 +4n +4 =0$配方：
将$26n^2$拆分为$25n^2 +n^2$，原式变形为：
$m^2 -10mn +25n^2 +n^2 +4n +4 =0$
前三项组成完全平方$(m-5n)^2$，后三项组成完全平方$(n+2)^2$，因此：
$(m-5n)^2 + (n+2)^2 =0$
因为平方数非负，要使和为0，需每个平方项为0：
$n+2=0 \implies n=-2$
$m-5n=0 \implies m=5×(-2)=-10$
故$m^n = (-10)^{-2} = \frac{1}{(-10)^2} = \frac{1}{100}$
【答案】
(1) $\pm1$；(2) $\frac{1}{100}$
【知识点】
完全平方公式、配方法、非负数的性质
【点评】
本题综合考查完全平方公式的变形应用与配方法的运用，需熟练掌握公式结构和平方的非负性，通过配方简化方程是解题关键，难度适中。
【难度系数】
0.3
第一问：已知$x+\frac{1}{x}$的值，要求$x-\frac{1}{x}$，可利用完全平方公式的变形，通过两者平方的关系建立等式求解；第二问：给定二元二次方程，需用配方法将其转化为完全平方的和，结合平方的非负性求出$m$、$n$的值，再计算$m^n$。
【解析】
(1) 根据完全平方公式：
$(x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2· x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$
$(x-\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2· x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$
两式相减得：$(x+\frac{1}{x})^2 - (x-\frac{1}{x})^2 = 4$，因此：
$(x-\frac{1}{x})^2 = (x+\frac{1}{x})^2 - 4$
代入$x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}$，得：
$(x-\frac{1}{x})^2 = (\sqrt{5})^2 - 4 = 5 - 4 = 1$
故$x-\frac{1}{x} = \pm\sqrt{1} = \pm1$
(2) 对等式$m^2 -10mn +26n^2 +4n +4 =0$配方：
将$26n^2$拆分为$25n^2 +n^2$，原式变形为：
$m^2 -10mn +25n^2 +n^2 +4n +4 =0$
前三项组成完全平方$(m-5n)^2$，后三项组成完全平方$(n+2)^2$，因此：
$(m-5n)^2 + (n+2)^2 =0$
因为平方数非负，要使和为0，需每个平方项为0：
$n+2=0 \implies n=-2$
$m-5n=0 \implies m=5×(-2)=-10$
故$m^n = (-10)^{-2} = \frac{1}{(-10)^2} = \frac{1}{100}$
【答案】
(1) $\pm1$；(2) $\frac{1}{100}$
【知识点】
完全平方公式、配方法、非负数的性质
【点评】
本题综合考查完全平方公式的变形应用与配方法的运用，需熟练掌握公式结构和平方的非负性，通过配方简化方程是解题关键，难度适中。
【难度系数】
0.3
8. 先阅读材料，再解答问题.
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如$\frac{x-2}{x+1}＞0,\frac{3x+6}{x-1}＜0$等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为：①若$a＞0,b＞0$，则$\frac{a}{b}＞0$，若$a＜0,b＜0$，则$\frac{a}{b}＞0$；②若$a＞0,b＜0$，则$\frac{a}{b}＜0$，若$a＜0,b＞0$，则$\frac{a}{b}＜0$.
（1）①若$\frac{a}{b}＞0$，则$\begin{cases} a＜0, \\ b＜0 \end{cases}$或________；
②若$\frac{a}{b}＜0$，则________或________.
（2）根据上述规律，求解分式不等式$\frac{3x+6}{x-1}＜0$的解集.
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如$\frac{x-2}{x+1}＞0,\frac{3x+6}{x-1}＜0$等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为：①若$a＞0,b＞0$，则$\frac{a}{b}＞0$，若$a＜0,b＜0$，则$\frac{a}{b}＞0$；②若$a＞0,b＜0$，则$\frac{a}{b}＜0$，若$a＜0,b＞0$，则$\frac{a}{b}＜0$.
（1）①若$\frac{a}{b}＞0$，则$\begin{cases} a＜0, \\ b＜0 \end{cases}$或________；
②若$\frac{a}{b}＜0$，则________或________.
（2）根据上述规律，求解分式不等式$\frac{3x+6}{x-1}＜0$的解集.
答案
（1）①$\begin{cases} a＞0, \\ b＞0 \end{cases}$；②$\begin{cases} a＞0, \\ b＜0 \end{cases}$，$\begin{cases} a＜0, \\ b＞0 \end{cases}$；（2）$-2＜x＜1$
解析
【分析】
本题解题思路为：先依据有理数除法“同号得正、异号得负”的法则，对应分式分子分母的符号关系解决第（1）问的填空；再利用该法则将分式不等式转化为整式不等式组，分别求解后取并集，同时注意分母不为0的隐含条件，最终得到第（2）问的解集。
【解析】
（1）①根据“两数相除，同号得正”，若$\frac{a}{b}＞0$，则分子分母同号，即$\begin{cases} a＞0 \\ b＞0 \end{cases}$或$\begin{cases} a＜0 \\ b＜0 \end{cases}$，故此处填$\begin{cases} a＞0 \\ b＞0 \end{cases}$；
②根据“两数相除，异号得负”，若$\frac{a}{b}＜0$，则分子分母异号，即$\begin{cases} a＞0 \\ b＜0 \end{cases}$或$\begin{cases} a＜0 \\ b＞0 \end{cases}$；
（2）对于分式不等式$\frac{3x+6}{x-1}＜0$，依据“异号得负”转化为两个不等式组：
不等式组一：$\begin{cases} 3x+6＞0 \\ x-1＜0 \end{cases}$，解$3x+6＞0$得$x＞-2$，解$x-1＜0$得$x＜1$，解集为$-2＜x＜1$；
不等式组二：$\begin{cases} 3x+6＜0 \\ x-1＞0 \end{cases}$，解$3x+6＜0$得$x＜-2$，解$x-1＞0$得$x＞1$，该不等式组无解；
因此原不等式的解集为$-2＜x＜1$。
【答案】
（1）①$\begin{cases} a＞0 \\ b＞0 \end{cases}$；②$\begin{cases} a＞0 \\ b＜0 \end{cases}$，$\begin{cases} a＜0 \\ b＞0 \end{cases}$；（2）$-2＜x＜1$
【知识点】
分式不等式的解法，有理数除法法则，一元一次不等式组的解法
【点评】
本题通过材料给出分式不等式的解法，核心是利用除法符号法则转化问题，体现转化思想，难度适中，考察学生对法则的理解与应用能力。
【难度系数】
0.7
本题解题思路为：先依据有理数除法“同号得正、异号得负”的法则，对应分式分子分母的符号关系解决第（1）问的填空；再利用该法则将分式不等式转化为整式不等式组，分别求解后取并集，同时注意分母不为0的隐含条件，最终得到第（2）问的解集。
【解析】
（1）①根据“两数相除，同号得正”，若$\frac{a}{b}＞0$，则分子分母同号，即$\begin{cases} a＞0 \\ b＞0 \end{cases}$或$\begin{cases} a＜0 \\ b＜0 \end{cases}$，故此处填$\begin{cases} a＞0 \\ b＞0 \end{cases}$；
②根据“两数相除，异号得负”，若$\frac{a}{b}＜0$，则分子分母异号，即$\begin{cases} a＞0 \\ b＜0 \end{cases}$或$\begin{cases} a＜0 \\ b＞0 \end{cases}$；
（2）对于分式不等式$\frac{3x+6}{x-1}＜0$，依据“异号得负”转化为两个不等式组：
不等式组一：$\begin{cases} 3x+6＞0 \\ x-1＜0 \end{cases}$，解$3x+6＞0$得$x＞-2$，解$x-1＜0$得$x＜1$，解集为$-2＜x＜1$；
不等式组二：$\begin{cases} 3x+6＜0 \\ x-1＞0 \end{cases}$，解$3x+6＜0$得$x＜-2$，解$x-1＞0$得$x＞1$，该不等式组无解；
因此原不等式的解集为$-2＜x＜1$。
【答案】
（1）①$\begin{cases} a＞0 \\ b＞0 \end{cases}$；②$\begin{cases} a＞0 \\ b＜0 \end{cases}$，$\begin{cases} a＜0 \\ b＞0 \end{cases}$；（2）$-2＜x＜1$
【知识点】
分式不等式的解法，有理数除法法则，一元一次不等式组的解法
【点评】
本题通过材料给出分式不等式的解法，核心是利用除法符号法则转化问题，体现转化思想，难度适中，考察学生对法则的理解与应用能力。
【难度系数】
0.7
