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1. (2026·盐城期中)下列方程中,是关于$x$的一元二次方程的是（
A.$(x-2)(x+3)=x-6$
B.$ax^2-bxy+c=0$($a,b,c$为常数,$a≠0$)
C.$x^3-3x+2=0$
D.$x^2+\dfrac{2}{x}+1=0$
A
）A.$(x-2)(x+3)=x-6$
B.$ax^2-bxy+c=0$($a,b,c$为常数,$a≠0$)
C.$x^3-3x+2=0$
D.$x^2+\dfrac{2}{x}+1=0$
答案
1. A 解析:A. 化简得$x^2=0$,是一元二次方程;B. 有x,y两个未知数,不是一元二次方程;C. 最高次数为3,不是一元二次方程;D. 不是整式方程,不是一元二次方程.故选A.
解析
【分析】要判断一个方程是否为一元二次方程，需依据其定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，同时是整式方程。解题时，先明确该定义，再逐一分析每个选项是否满足这三个条件，排除不符合的选项即可得出答案。
【解析】根据一元二次方程的定义逐一分析：
选项A：将左边展开并整理，$(x-2)(x+3)=x^2 + x -6$，原方程变为$x^2 + x -6 = x -6$，移项化简得$x^2=0$，满足“一个未知数、最高次数2、整式方程”，是一元二次方程；
选项B：方程中含有$x$和$y$两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元二次方程；
选项C：未知数$x$的最高次数是3，属于一元三次方程，不符合要求；
选项D：方程中$\frac{2}{x}$是分式，该方程不是整式方程，不符合要求。
综上，只有选项A是一元二次方程。
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义
【点评】本题考查一元二次方程的基本概念，核心是准确把握定义的三个关键要素，属于基础题型，需注意区分整式方程、多个未知数、高次方程等易混淆的情况。
【难度系数】0.8
【解析】根据一元二次方程的定义逐一分析：
选项A：将左边展开并整理，$(x-2)(x+3)=x^2 + x -6$，原方程变为$x^2 + x -6 = x -6$，移项化简得$x^2=0$，满足“一个未知数、最高次数2、整式方程”，是一元二次方程；
选项B：方程中含有$x$和$y$两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元二次方程；
选项C：未知数$x$的最高次数是3，属于一元三次方程，不符合要求；
选项D：方程中$\frac{2}{x}$是分式，该方程不是整式方程，不符合要求。
综上，只有选项A是一元二次方程。
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义
【点评】本题考查一元二次方程的基本概念，核心是准确把握定义的三个关键要素，属于基础题型，需注意区分整式方程、多个未知数、高次方程等易混淆的情况。
【难度系数】0.8
2. 把方程$-3x^{2}+x=2(x-2)$化成一元二次方程的一般形式,二次项系数为3,则一次项系数和常数项分别是（
A.1,-4
B.-1,4
C.-1,-4
D.4,-1
A
）A.1,-4
B.-1,4
C.-1,-4
D.4,-1
答案
2. A 解析:$-3x^{2}+x=2(x-2)$化成一元二次方程的一般形式为$3x^{2}+x-4=0$,则一次项系数为1,常数项为-4.故选A.
解析
【分析】首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，本题要求将给定方程化为一般形式且二次项系数为3，需按去括号、移项、合并同类项、调整二次项系数的步骤操作，最终确定一次项系数和常数项。
【解析】对原方程去括号：$-3x^2+x=2x-4$；移项（将右边项移到左边，注意变号）：$-3x^2+x-2x+4=0$；合并同类项得：$-3x^2 -x +4=0$；根据题目要求，二次项系数需为3，两边同时乘以$-1$，得到一般形式：$3x^2+x-4=0$；因此一次项系数为1，常数项为-4，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程一般形式，一元二次方程的系数
【点评】本题考查一元二次方程一般形式的转化，核心是移项时的符号处理，以及根据题目要求调整二次项系数，属于基础题型，需注意细节避免符号错误。
【难度系数】0.7
【解析】对原方程去括号：$-3x^2+x=2x-4$；移项（将右边项移到左边，注意变号）：$-3x^2+x-2x+4=0$；合并同类项得：$-3x^2 -x +4=0$；根据题目要求，二次项系数需为3，两边同时乘以$-1$，得到一般形式：$3x^2+x-4=0$；因此一次项系数为1，常数项为-4，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程一般形式，一元二次方程的系数
【点评】本题考查一元二次方程一般形式的转化，核心是移项时的符号处理，以及根据题目要求调整二次项系数，属于基础题型，需注意细节避免符号错误。
【难度系数】0.7
3. 教材变式 (2025·黑龙江中考改编)某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8 000辆增加到三月份的12 000辆,设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为$x$,则可列方程为（
A.$8\ 000(1+2x)=12\ 000$
B.$8\ 000(1+x)^{2}=12\ 000$
C.$8\ 000+8\ 000(1+x)+8\ 000(1+x)^{2}=12\ 000$
D.$8\ 000×2(1+x)=12\ 000$
B
）A.$8\ 000(1+2x)=12\ 000$
B.$8\ 000(1+x)^{2}=12\ 000$
C.$8\ 000+8\ 000(1+x)+8\ 000(1+x)^{2}=12\ 000$
D.$8\ 000×2(1+x)=12\ 000$
答案
3. B 解析:设一月至三月销售量平均每月增长率为x,则二月份销售量为8 000(1+x),三月份销售量为8 000$(1+x)^2$.根据题意,三月份销售量为12 000辆,可得方程为$8\ 000(1+x)^2=12\ 000$.故选B.
解析
【分析】
要解决这个问题，需掌握平均增长率问题的数量关系：若初始量为$a$，平均每月增长率为$x$，经过$n$个月后的量为$a(1+x)^n$。本题中，一月份销量是初始量8000辆，从一月到三月经过了2个月（二月、三月各增长1次），因此三月份销量是初始量经过两次增长后的结果，据此可列出方程，再对应选项选出正确答案。
【解析】
设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为$x$：
1. 二月份的销售量是在一月份8000辆的基础上增长，即：$8000(1+x)$辆；
2. 三月份的销售量是在二月份销售量的基础上再次增长，即：$8000(1+x)×(1+x)=8000(1+x)^2$辆；
3. 已知三月份销售量为12000辆，因此可列方程：$8000(1+x)^2=12000$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；增长率问题
【点评】
本题为教材变式题，核心考查平均增长率问题的基本模型，关键在于明确从一月到三月经过了2次增长，避免误算增长次数或混淆各月销量关系，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需掌握平均增长率问题的数量关系：若初始量为$a$，平均每月增长率为$x$，经过$n$个月后的量为$a(1+x)^n$。本题中，一月份销量是初始量8000辆，从一月到三月经过了2个月（二月、三月各增长1次），因此三月份销量是初始量经过两次增长后的结果，据此可列出方程，再对应选项选出正确答案。
【解析】
设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为$x$：
1. 二月份的销售量是在一月份8000辆的基础上增长，即：$8000(1+x)$辆；
2. 三月份的销售量是在二月份销售量的基础上再次增长，即：$8000(1+x)×(1+x)=8000(1+x)^2$辆；
3. 已知三月份销售量为12000辆，因此可列方程：$8000(1+x)^2=12000$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；增长率问题
【点评】
本题为教材变式题，核心考查平均增长率问题的基本模型，关键在于明确从一月到三月经过了2次增长，避免误算增长次数或混淆各月销量关系，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.6
4. (1) (2025·达州中考) 已知关于 $x$ 的方程 $x^2+mx-3=0$ 的一个根是 1, 则 $m$ 的值为
(2) 若 $x=m$ 是一元二次方程 $x^2+3x+1=0$ 的解,则 $2026-4m^2-12m$ 的值为
2
.(2) 若 $x=m$ 是一元二次方程 $x^2+3x+1=0$ 的解,则 $2026-4m^2-12m$ 的值为
2 030
.答案
4. (1)2 解析:
∵关于x的方程$x^2+mx-3=0$的一个根是1,
∴1+m-3=0,解得m=2.
(2)2 030 解析:
∵x=m是一元二次方程$x^2+3x+1=0$的解,
∴$m^2+3m+1=0$,
∴$m^2+3m=-1$,
∴$2\ 026-4m^2-12m=2\ 026-4(m^2+3m)=2\ 030$.
∵关于x的方程$x^2+mx-3=0$的一个根是1,
∴1+m-3=0,解得m=2.
(2)2 030 解析:
∵x=m是一元二次方程$x^2+3x+1=0$的解,
∴$m^2+3m+1=0$,
∴$m^2+3m=-1$,
∴$2\ 026-4m^2-12m=2\ 026-4(m^2+3m)=2\ 030$.
解析
【分析】
第(1)问利用一元二次方程根的定义，将已知根代入方程即可求解参数m；第(2)问先根据方程根的定义得到关于m的等式，再通过代数式变形，采用整体代入法计算所求代数式的值。
【解析】
(1) 因为x=1是方程$x^2+mx-3=0$的根，将x=1代入方程得：
$1^2 + m×1 - 3 = 0$，即$1 + m - 3 = 0$，解得$m=2$。
(2) 因为x=m是方程$x^2+3x+1=0$的根，将x=m代入方程得：
$m^2 + 3m + 1 = 0$，移项得$m^2 + 3m = -1$。
对$2026 - 4m^2 -12m$变形为$2026 - 4(m^2 + 3m)$，将$m^2 + 3m = -1$代入得：
$2026 - 4×(-1) = 2026 + 4 = 2030$。
【答案】
(1)2；(2)2030
【知识点】
一元二次方程的根，代数式求值（整体代入法）
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义及代数式的整体代入求值，属于基础题型，解题关键是熟练运用方程根的定义和整体变形技巧，难度较低。
【难度系数】
0.8
第(1)问利用一元二次方程根的定义，将已知根代入方程即可求解参数m；第(2)问先根据方程根的定义得到关于m的等式，再通过代数式变形，采用整体代入法计算所求代数式的值。
【解析】
(1) 因为x=1是方程$x^2+mx-3=0$的根，将x=1代入方程得：
$1^2 + m×1 - 3 = 0$，即$1 + m - 3 = 0$，解得$m=2$。
(2) 因为x=m是方程$x^2+3x+1=0$的根，将x=m代入方程得：
$m^2 + 3m + 1 = 0$，移项得$m^2 + 3m = -1$。
对$2026 - 4m^2 -12m$变形为$2026 - 4(m^2 + 3m)$，将$m^2 + 3m = -1$代入得：
$2026 - 4×(-1) = 2026 + 4 = 2030$。
【答案】
(1)2；(2)2030
【知识点】
一元二次方程的根，代数式求值（整体代入法）
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义及代数式的整体代入求值，属于基础题型，解题关键是熟练运用方程根的定义和整体变形技巧，难度较低。
【难度系数】
0.8
5. (2026·扬州期中) 关于 $x$ 的一元二次方程
$(m-1)x^{2}+m^{2}x = x+5$ 化为一般形式后不含一次项，则 $m$ 的值为
$(m-1)x^{2}+m^{2}x = x+5$ 化为一般形式后不含一次项，则 $m$ 的值为
-1
.答案
5. -1 解析:原方程$(m-1)x^2+m^2x=x+5$化为一般形式为$(m-1)x^2+m^2x-x-5=0$,即$(m-1)x^2+(m^2-1)x-5=0$,由于不含一次项,则一次项系数$m^2-1=0$,且二次项系数$m-1≠0$.解$m^2-1=0$,得$m=±1$.由$m-1≠0$,得$m≠1$,故$m=-1$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）；根据“不含一次项”的条件，可知一次项系数$b=0$，同时需满足一元二次方程的定义：二次项系数$a≠0$，据此列出关于$m$的方程和不等式，求解即可。
【解析】
解：先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
移项得：$(m-1)x^2 + m^2x - x - 5 = 0$，
合并同类项得：$(m-1)x^2 + (m^2 - 1)x - 5 = 0$。
因为方程不含一次项，所以一次项系数为0，且二次项系数不为0：
即$\begin{cases} m^2 - 1 = 0 \\ m - 1 ≠ 0 \end{cases}$，
解$m^2 - 1 = 0$得：$m = ±1$；
解$m - 1 ≠ 0$得：$m ≠ 1$；
综上，$m = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的一般形式及定义，关键在于明确“不含一次项”即一次项系数为0，同时需牢记一元二次方程的二次项系数不能为0，避免因忽略该条件出错，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）；根据“不含一次项”的条件，可知一次项系数$b=0$，同时需满足一元二次方程的定义：二次项系数$a≠0$，据此列出关于$m$的方程和不等式，求解即可。
【解析】
解：先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
移项得：$(m-1)x^2 + m^2x - x - 5 = 0$，
合并同类项得：$(m-1)x^2 + (m^2 - 1)x - 5 = 0$。
因为方程不含一次项，所以一次项系数为0，且二次项系数不为0：
即$\begin{cases} m^2 - 1 = 0 \\ m - 1 ≠ 0 \end{cases}$，
解$m^2 - 1 = 0$得：$m = ±1$；
解$m - 1 ≠ 0$得：$m ≠ 1$；
综上，$m = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的一般形式及定义，关键在于明确“不含一次项”即一次项系数为0，同时需牢记一元二次方程的二次项系数不能为0，避免因忽略该条件出错，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
6. (2026·南昌期中) 若在方程 $ax^2+bx+c=0$($a ≠ 0$) 中, $a,b,c$ 满足 $a+b+c=0$ 和 $4a-2b+c=0$,则方程的根是
1和-2
.答案
6. 1和-2 解析:
∵$ax^2+bx+c=0(a≠0)$,把x=1代入得a+b+c=0,即方程的一个根是x=1,把x=-2代入得4a-2b+c=0,即方程的另一个根是x=-2.
∵$ax^2+bx+c=0(a≠0)$,把x=1代入得a+b+c=0,即方程的一个根是x=1,把x=-2代入得4a-2b+c=0,即方程的另一个根是x=-2.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的定义，解题思路是：若一个数代入一元二次方程后等式成立，则这个数就是该方程的根。题目给出的两个等式$a+b+c=0$和$4a-2b+c=0$，分别对应将$x=1$和$x=-2$代入方程$ax^2+bx+c=0$的结果，因此可直接确定方程的根。
【解析】
根据一元二次方程根的定义：
1. 将$x=1$代入方程$ax^2+bx+c=0$，左边为$a·1^2 + b·1 + c = a+b+c$，已知$a+b+c=0$，因此$x=1$是方程的一个根；
2. 将$x=-2$代入方程$ax^2+bx+c=0$，左边为$a·(-2)^2 + b·(-2) + c = 4a - 2b + c$，已知$4a-2b+c=0$，因此$x=-2$是方程的另一个根。
综上，方程的根为1和-2。
【答案】
1和-2
【知识点】
一元二次方程的根的定义
【点评】
本题直接利用一元二次方程根的基本定义即可求解，无需复杂计算，侧重考查对基础概念的理解，属于基础题。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的定义，解题思路是：若一个数代入一元二次方程后等式成立，则这个数就是该方程的根。题目给出的两个等式$a+b+c=0$和$4a-2b+c=0$，分别对应将$x=1$和$x=-2$代入方程$ax^2+bx+c=0$的结果，因此可直接确定方程的根。
【解析】
根据一元二次方程根的定义：
1. 将$x=1$代入方程$ax^2+bx+c=0$，左边为$a·1^2 + b·1 + c = a+b+c$，已知$a+b+c=0$，因此$x=1$是方程的一个根；
2. 将$x=-2$代入方程$ax^2+bx+c=0$，左边为$a·(-2)^2 + b·(-2) + c = 4a - 2b + c$，已知$4a-2b+c=0$，因此$x=-2$是方程的另一个根。
综上，方程的根为1和-2。
【答案】
1和-2
【知识点】
一元二次方程的根的定义
【点评】
本题直接利用一元二次方程根的基本定义即可求解，无需复杂计算，侧重考查对基础概念的理解，属于基础题。
【难度系数】
0.8
7. 教材变式 用方程描述下列问题中的数量关系.
(1) 已知两个连续偶数的积为 24, 求其中较小的偶数；
(2) 用一条长 40 cm 的绳子围成一个面积为$64\ \mathrm{cm}^2$的矩形, 求矩形的宽；
(3) 在某场篮球邀请赛中, 参赛的每两个队之间都要比赛一场, 共比赛 36 场. 求参赛的队数.
(1) 已知两个连续偶数的积为 24, 求其中较小的偶数；
(2) 用一条长 40 cm 的绳子围成一个面积为$64\ \mathrm{cm}^2$的矩形, 求矩形的宽；
(3) 在某场篮球邀请赛中, 参赛的每两个队之间都要比赛一场, 共比赛 36 场. 求参赛的队数.
答案
7. (1)设较小的偶数为x,则另一个偶数为x+2,根据题意,得$x(x+2)=24$.
(2)设矩形的宽为x cm,则矩形的长为(40÷2-x)cm.根据题意,得$x(40÷2-x)=64$.
(3)设有x个队参赛,根据题意,得$\dfrac{1}{2}x(x-1)=36$.
(2)设矩形的宽为x cm,则矩形的长为(40÷2-x)cm.根据题意,得$x(40÷2-x)=64$.
(3)设有x个队参赛,根据题意,得$\dfrac{1}{2}x(x-1)=36$.
解析
【分析】
本题是用一元二次方程描述实际问题的数量关系，需先明确各问题的等量关系，再合理设未知数：
(1) 连续偶数相差2，设较小偶数为$x$，则较大偶数为$x+2$，等量关系是两数之积为24，据此列方程；
(2) 绳子长度为矩形周长，矩形周长=2×(长+宽)，因此长=周长÷2 - 宽，设宽为$x\ \mathrm{cm}$，则长为$(40÷2 -x)\ \mathrm{cm}$，等量关系是矩形面积为$64\ \mathrm{cm}^2$，据此列方程；
(3) 单循环比赛中，每两队仅赛一场，总场次公式为$\frac{1}{2}×$队数×(队数-1)，设参赛队数为$x$，等量关系是总场次为36场，据此列方程。
【解析】
(1) 设较小的偶数为$x$，则另一个偶数为$x+2$，根据两数之积为24，得方程：$x(x+2)=24$；
(2) 设矩形的宽为$x\ \mathrm{cm}$，则矩形的长为$(40÷2 -x)\ \mathrm{cm}$，根据矩形面积为$64\ \mathrm{cm}^2$，得方程：$x(40÷2 -x)=64$；
(3) 设参赛的队数为$x$，根据单循环比赛总场次为36场，得方程：$\dfrac{1}{2}x(x-1)=36$。
【答案】
7. (1)设较小的偶数为$x$,则另一个偶数为$x+2$,根据题意,得$x(x+2)=24$.(2)设矩形的宽为$x\ \mathrm{cm}$,则矩形的长为$(40÷2-x)\mathrm{cm}$.根据题意,得$x(40÷2-x)=64$.(3)设有$x$个队参赛,根据题意,得$\dfrac{1}{2}x(x-1)=36$.
【知识点】
一元二次方程的应用，实际问题建模
【点评】
本题为教材变式题，聚焦一元二次方程在三类常见实际问题中的应用：连续偶数的数量关系、矩形周长与面积的应用、单循环比赛场次的计算，解题核心是找准等量关系并合理设未知数，难度适中，可巩固一元二次方程的建模方法。
【难度系数】
0.6
本题是用一元二次方程描述实际问题的数量关系，需先明确各问题的等量关系，再合理设未知数：
(1) 连续偶数相差2，设较小偶数为$x$，则较大偶数为$x+2$，等量关系是两数之积为24，据此列方程；
(2) 绳子长度为矩形周长，矩形周长=2×(长+宽)，因此长=周长÷2 - 宽，设宽为$x\ \mathrm{cm}$，则长为$(40÷2 -x)\ \mathrm{cm}$，等量关系是矩形面积为$64\ \mathrm{cm}^2$，据此列方程；
(3) 单循环比赛中，每两队仅赛一场，总场次公式为$\frac{1}{2}×$队数×(队数-1)，设参赛队数为$x$，等量关系是总场次为36场，据此列方程。
【解析】
(1) 设较小的偶数为$x$，则另一个偶数为$x+2$，根据两数之积为24，得方程：$x(x+2)=24$；
(2) 设矩形的宽为$x\ \mathrm{cm}$，则矩形的长为$(40÷2 -x)\ \mathrm{cm}$，根据矩形面积为$64\ \mathrm{cm}^2$，得方程：$x(40÷2 -x)=64$；
(3) 设参赛的队数为$x$，根据单循环比赛总场次为36场，得方程：$\dfrac{1}{2}x(x-1)=36$。
【答案】
7. (1)设较小的偶数为$x$,则另一个偶数为$x+2$,根据题意,得$x(x+2)=24$.(2)设矩形的宽为$x\ \mathrm{cm}$,则矩形的长为$(40÷2-x)\mathrm{cm}$.根据题意,得$x(40÷2-x)=64$.(3)设有$x$个队参赛,根据题意,得$\dfrac{1}{2}x(x-1)=36$.
【知识点】
一元二次方程的应用，实际问题建模
【点评】
本题为教材变式题，聚焦一元二次方程在三类常见实际问题中的应用：连续偶数的数量关系、矩形周长与面积的应用、单循环比赛场次的计算，解题核心是找准等量关系并合理设未知数，难度适中，可巩固一元二次方程的建模方法。
【难度系数】
0.6
8. 一题多变 (1) 已知 $a$ 是方程 $x^2-3x=4$ 的一个根,求 $(a^3-3a^2)(3-a-\dfrac{5}{a})$ 的值；
(2) (遂宁中考改编) 已知 $m$ 为方程 $x^2+3x-2024=0$ 的一个根, 求 $m^3+2m^2-2027m+2024$ 的值；
(3) 已知 $k$ 是方程 $x^2-x-1=0$ 的一个根, 求 $k^4-3k-2$ 的值.
(2) (遂宁中考改编) 已知 $m$ 为方程 $x^2+3x-2024=0$ 的一个根, 求 $m^3+2m^2-2027m+2024$ 的值；
(3) 已知 $k$ 是方程 $x^2-x-1=0$ 的一个根, 求 $k^4-3k-2$ 的值.
答案
8. (1)
∵a是方程$x^2-3x=4$的一个根,
∴$a^2-3a=4$,$3a-a^2=-4$,
∴$(a^3-3a^2)(3-a-\dfrac{5}{a})=a(a^2-3a)(3-a-\dfrac{5}{a})=4a(3-a-\dfrac{5}{a})=4(3a-a^2-5)=4×(-4-5)=-36$.
(2)
∵m为$x^2+3x-2\ 024=0$的一个根,
∴$m^2+3m-2\ 024=0$,且m≠0,
∴$m^3+3m^2-2\ 024m=0$,则原式=$(m^3+3m^2-2\ 024m)-(m^2+3m-2\ 024)=0-0=0$.
(3)由题意,把x=k代入方程,可得$k^2-k-1=0$,即$k^2=k+1$,
∴$k^4-3k-2=(k^2)^2-3k-2=(k+1)^2-3k-2=k^2-k-1=0$.
∵a是方程$x^2-3x=4$的一个根,
∴$a^2-3a=4$,$3a-a^2=-4$,
∴$(a^3-3a^2)(3-a-\dfrac{5}{a})=a(a^2-3a)(3-a-\dfrac{5}{a})=4a(3-a-\dfrac{5}{a})=4(3a-a^2-5)=4×(-4-5)=-36$.
(2)
∵m为$x^2+3x-2\ 024=0$的一个根,
∴$m^2+3m-2\ 024=0$,且m≠0,
∴$m^3+3m^2-2\ 024m=0$,则原式=$(m^3+3m^2-2\ 024m)-(m^2+3m-2\ 024)=0-0=0$.
(3)由题意,把x=k代入方程,可得$k^2-k-1=0$,即$k^2=k+1$,
∴$k^4-3k-2=(k^2)^2-3k-2=(k+1)^2-3k-2=k^2-k-1=0$.
解析
【分析】本题的三个小题均围绕一元二次方程根的性质展开，解题思路是：根据“方程的根满足方程”，将根代入方程得到等式，再对所求代数式进行因式分解、降次变形，把高次幂转化为可利用已知等式的低次形式，通过整体代入的方法简化计算，无需直接求解方程的根，从而快速得到结果。
【解析】
(1) 因为$a$是方程$x^2 - 3x = 4$的一个根，所以将$x=a$代入方程得：$a^2 - 3a = 4$，变形得$3a - a^2 = -4$。
$\begin{aligned}&(a^3 - 3a^2)(3 - a - \frac{5}{a})\\=&a(a^2 - 3a)(3 - a - \frac{5}{a})\\=&4a(3 - a - \frac{5}{a})\\=&4(3a - a^2 - 5)\\=&4×(-4 -5)\\=&-36\end{aligned}$
(2) 因为$m$是方程$x^2 + 3x - 2024 = 0$的一个根，所以代入得：$m^2 + 3m - 2024 = 0$，两边同乘$m$（$m≠0$，否则方程左边为$-2024≠0$）得：$m^3 + 3m^2 - 2024m = 0$。
$\begin{aligned}&m^3 + 2m^2 - 2027m + 2024\\=&(m^3 + 3m^2 - 2024m) - (m^2 + 3m - 2024)\\=&0 - 0\\=&0\end{aligned}$
(3) 因为$k$是方程$x^2 - x -1 =0$的一个根，所以代入得：$k^2 -k -1=0$，即$k^2 =k +1$。
$\begin{aligned}&k^4 -3k -2\\=&(k^2)^2 -3k -2\\=&(k +1)^2 -3k -2\\=&k^2 +2k +1 -3k -2\\=&k^2 -k -1\\=&0\end{aligned}$
【答案】(1)$-36$；(2)$0$；(3)$0$
【知识点】一元二次方程根的定义，代数式化简求值，整体代入法
【点评】本题为“一题多变”题型，核心考查一元二次方程根的性质及代数式的降次、整体代入技巧，通过将高次幂转化为低次幂，利用已知方程的等式简化计算，避免直接求根的复杂运算，是一元二次方程相关求值题的典型考法，需熟练掌握降次和整体代入的方法。
【难度系数】0.5
【解析】
(1) 因为$a$是方程$x^2 - 3x = 4$的一个根，所以将$x=a$代入方程得：$a^2 - 3a = 4$，变形得$3a - a^2 = -4$。
$\begin{aligned}&(a^3 - 3a^2)(3 - a - \frac{5}{a})\\=&a(a^2 - 3a)(3 - a - \frac{5}{a})\\=&4a(3 - a - \frac{5}{a})\\=&4(3a - a^2 - 5)\\=&4×(-4 -5)\\=&-36\end{aligned}$
(2) 因为$m$是方程$x^2 + 3x - 2024 = 0$的一个根，所以代入得：$m^2 + 3m - 2024 = 0$，两边同乘$m$（$m≠0$，否则方程左边为$-2024≠0$）得：$m^3 + 3m^2 - 2024m = 0$。
$\begin{aligned}&m^3 + 2m^2 - 2027m + 2024\\=&(m^3 + 3m^2 - 2024m) - (m^2 + 3m - 2024)\\=&0 - 0\\=&0\end{aligned}$
(3) 因为$k$是方程$x^2 - x -1 =0$的一个根，所以代入得：$k^2 -k -1=0$，即$k^2 =k +1$。
$\begin{aligned}&k^4 -3k -2\\=&(k^2)^2 -3k -2\\=&(k +1)^2 -3k -2\\=&k^2 +2k +1 -3k -2\\=&k^2 -k -1\\=&0\end{aligned}$
【答案】(1)$-36$；(2)$0$；(3)$0$
【知识点】一元二次方程根的定义，代数式化简求值，整体代入法
【点评】本题为“一题多变”题型，核心考查一元二次方程根的性质及代数式的降次、整体代入技巧，通过将高次幂转化为低次幂，利用已知方程的等式简化计算，避免直接求根的复杂运算，是一元二次方程相关求值题的典型考法，需熟练掌握降次和整体代入的方法。
【难度系数】0.5
