登录
【典例1】【问题呈现】借助几何直观探究数量关系，是数形结合的常见方法，图1，图2是用边长为$a,b$的两个正方形和边长为$a,b$的两个长方形拼成的一个大正方形，图3是用边长为$a,b$的四个长方形拼成的一个大正方形，图4是用上底为$b$，下底为$a$的4个等腰梯形拼成两个图形，上述4个图形可以推导出$a,b$关系式：
图1：
图3：
【解决问题】
(1)直接写出结果：
①若$mn=4,m^2+n^2=25$，则$(m+n)^2=$
②若$x+y=6,x^2+y^2=28$，则$xy=$
(2)若$3a+2b=8,ab=2$，求$a,b$.
【拓展延伸】如图5，以$\mathrm{Rt}△ ABC$的直角边$AB,BC$为边作正方形$ABFG$和正方形$BCDE$.若$△ ABC$的面积为$6,CF=1$，求$(AB+BC)^2$的值.
图1：
$a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2$
； 图2：$(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$
；图3：
$(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$
； 图4：$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
.【解决问题】
(1)直接写出结果：
①若$mn=4,m^2+n^2=25$，则$(m+n)^2=$
33
；②若$x+y=6,x^2+y^2=28$，则$xy=$
4
.(2)若$3a+2b=8,ab=2$，求$a,b$.
【拓展延伸】如图5，以$\mathrm{Rt}△ ABC$的直角边$AB,BC$为边作正方形$ABFG$和正方形$BCDE$.若$△ ABC$的面积为$6,CF=1$，求$(AB+BC)^2$的值.
答案
图1：$a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2$
图2：$(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$
图3：$(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$
图4：$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
(1)①33 ②4
(2)解：$(3a+2b)^2=64$，
$9a^2+4b^2=40$，
$\therefore (3a-2b)^2=16$，
$\therefore 3a-2b=4$ 或$-4$，
$\therefore a=2,b=1$ 或 $a=\frac{2}{3},b=3$；
【拓展延伸】设$BC=x,AB=y$，
$\frac{1}{2}xy=6,xy=12$，
$(y-x)^2=1,\therefore x^2+y^2-2xy=1$，
$x^2+y^2=25$，
$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=49$.
图2：$(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$
图3：$(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$
图4：$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
(1)①33 ②4
(2)解：$(3a+2b)^2=64$，
$9a^2+4b^2=40$，
$\therefore (3a-2b)^2=16$，
$\therefore 3a-2b=4$ 或$-4$，
$\therefore a=2,b=1$ 或 $a=\frac{2}{3},b=3$；
【拓展延伸】设$BC=x,AB=y$，
$\frac{1}{2}xy=6,xy=12$，
$(y-x)^2=1,\therefore x^2+y^2-2xy=1$，
$x^2+y^2=25$，
$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=49$.
解析
【分析】
本题通过面积法推导乘法公式，再运用公式变形解决代数和几何综合问题，解题思路如下：
1. 图形推导公式部分：对每个图形，分别用“整体法（直接算大图形面积）”和“分割法（各部分面积相加）”计算面积，两个面积相等即可得到对应乘法公式。
2. 解决问题部分：利用完全平方公式的变形：$(m+n)^2=m^2+n^2+2mn$、$(m-n)^2=m^2+n^2-2mn$，将已知条件代入即可求值；对于含$3a、2b$的式子，把$3a、2b$看作整体套用完全平方公式，再联立方程求解。
3. 拓展延伸部分：设$AB、BC$的长为未知数，将三角形面积、$CF$的长度转化为含未知数的代数式，再套用完全平方公式变形计算$(AB+BC)^2$。
【解析】
公式推导（图1-图4）
图1：大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；分割为2个正方形、2个长方形，面积和为$a^2+b^2+2ab$，因此$a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2$。
图2：空白部分是边长为$a-b$的正方形，面积为$(a-b)^2$；空白面积也等于大正方形面积减去两个长方形和小正方形面积：$a^2 - 2ab + b^2$，因此$(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$。
图3：大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；中间空白小正方形边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$，四个长方形面积和为$4ab$，因此$(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$。
图4：四个等腰梯形拼成的大正方形挖去中间小正方形的面积为$a^2-b^2$，也等于4个梯形面积和$(a+b)(a-b)$，因此$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$。
解决问题
(1) ① 由完全平方公式得：$(m+n)^2=m^2+n^2+2mn$，代入$mn=4，m^2+n^2=25$，得$(m+n)^2=25+2×4=33$。
② 由完全平方公式变形得：$xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{2}$，代入$x+y=6，x^2+y^2=28$，得$xy=\frac{6^2-28}{2}=\frac{36-28}{2}=4$。
(2) 已知$3a+2b=8$，两边平方得：
$(3a+2b)^2=8^2=64$，
展开得$9a^2+12ab+4b^2=64$，
将$ab=2$代入得$9a^2+4b^2=64-12×2=40$，
因此$(3a-2b)^2=9a^2-12ab+4b^2=40-12×2=16$，
开方得$3a-2b=4$或$3a-2b=-4$。
联立方程：
当$\begin{cases}3a+2b=8\\3a-2b=4\end{cases}$时，解得$\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}$；
当$\begin{cases}3a+2b=8\\3a-2b=-4\end{cases}$时，解得$\begin{cases}a=\frac{2}{3}\\b=3\end{cases}$。
拓展延伸
设$BC=x，AB=y$，
$\because Rt△ABC$面积为6，$\therefore \frac{1}{2}xy=6$，即$xy=12$，
由图可知$CF=|y-x|=1$，$\therefore (y-x)^2=1$，
展开得$x^2+y^2-2xy=1$，代入$xy=12$得$x^2+y^2=1+2×12=25$，
因此$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=25+2×12=49$。
【答案】
图1：$a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2$；图2：$(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$；
图3：$(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$；图4：$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
(1) ①$\boxed{33}$；②$\boxed{4}$
(2) $\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}$或$\begin{cases}a=\frac{2}{3}\\b=3\end{cases}$
【拓展延伸】$\boxed{49}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，乘法公式的应用
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过图形面积推导乘法公式，再灵活运用公式变形解决代数计算、几何综合问题，既考查对公式本质的理解，又考查公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
本题通过面积法推导乘法公式，再运用公式变形解决代数和几何综合问题，解题思路如下：
1. 图形推导公式部分：对每个图形，分别用“整体法（直接算大图形面积）”和“分割法（各部分面积相加）”计算面积，两个面积相等即可得到对应乘法公式。
2. 解决问题部分：利用完全平方公式的变形：$(m+n)^2=m^2+n^2+2mn$、$(m-n)^2=m^2+n^2-2mn$，将已知条件代入即可求值；对于含$3a、2b$的式子，把$3a、2b$看作整体套用完全平方公式，再联立方程求解。
3. 拓展延伸部分：设$AB、BC$的长为未知数，将三角形面积、$CF$的长度转化为含未知数的代数式，再套用完全平方公式变形计算$(AB+BC)^2$。
【解析】
公式推导（图1-图4）
图1：大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；分割为2个正方形、2个长方形，面积和为$a^2+b^2+2ab$，因此$a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2$。
图2：空白部分是边长为$a-b$的正方形，面积为$(a-b)^2$；空白面积也等于大正方形面积减去两个长方形和小正方形面积：$a^2 - 2ab + b^2$，因此$(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$。
图3：大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；中间空白小正方形边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$，四个长方形面积和为$4ab$，因此$(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$。
图4：四个等腰梯形拼成的大正方形挖去中间小正方形的面积为$a^2-b^2$，也等于4个梯形面积和$(a+b)(a-b)$，因此$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$。
解决问题
(1) ① 由完全平方公式得：$(m+n)^2=m^2+n^2+2mn$，代入$mn=4，m^2+n^2=25$，得$(m+n)^2=25+2×4=33$。
② 由完全平方公式变形得：$xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{2}$，代入$x+y=6，x^2+y^2=28$，得$xy=\frac{6^2-28}{2}=\frac{36-28}{2}=4$。
(2) 已知$3a+2b=8$，两边平方得：
$(3a+2b)^2=8^2=64$，
展开得$9a^2+12ab+4b^2=64$，
将$ab=2$代入得$9a^2+4b^2=64-12×2=40$，
因此$(3a-2b)^2=9a^2-12ab+4b^2=40-12×2=16$，
开方得$3a-2b=4$或$3a-2b=-4$。
联立方程：
当$\begin{cases}3a+2b=8\\3a-2b=4\end{cases}$时，解得$\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}$；
当$\begin{cases}3a+2b=8\\3a-2b=-4\end{cases}$时，解得$\begin{cases}a=\frac{2}{3}\\b=3\end{cases}$。
拓展延伸
设$BC=x，AB=y$，
$\because Rt△ABC$面积为6，$\therefore \frac{1}{2}xy=6$，即$xy=12$，
由图可知$CF=|y-x|=1$，$\therefore (y-x)^2=1$，
展开得$x^2+y^2-2xy=1$，代入$xy=12$得$x^2+y^2=1+2×12=25$，
因此$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=25+2×12=49$。
【答案】
图1：$a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2$；图2：$(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$；
图3：$(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$；图4：$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
(1) ①$\boxed{33}$；②$\boxed{4}$
(2) $\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}$或$\begin{cases}a=\frac{2}{3}\\b=3\end{cases}$
【拓展延伸】$\boxed{49}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，乘法公式的应用
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过图形面积推导乘法公式，再灵活运用公式变形解决代数计算、几何综合问题，既考查对公式本质的理解，又考查公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
【典例2】(2026·江汉)如图,已知E,F分别是正方形ABCD的边AD,DC上的点,且AE=2,CF=5,长方形DEMF的面积是20,分别以MF,DF为边长作正方形MFRN和正方形DHGF,直接写出阴影部分的面积.
答案
【典例2】解：设$MF=x,DF=y$，
$x+2=y+5,\therefore x-y=3$，
$\therefore x^2+y^2-2xy=9$，
又$\because xy=20,\therefore x^2+y^2=49$，
$\therefore (x+y)^2=49+40=89$，
$\therefore S_{阴}=x^2-y^2=(x+y)(x-y)=3\sqrt{89}$.
$x+2=y+5,\therefore x-y=3$，
$\therefore x^2+y^2-2xy=9$，
又$\because xy=20,\therefore x^2+y^2=49$，
$\therefore (x+y)^2=49+40=89$，
$\therefore S_{阴}=x^2-y^2=(x+y)(x-y)=3\sqrt{89}$.
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影是正方形MFRN与正方形DHGF的面积差，即$S_{阴}=MF^2-DF^2$，可借助平方差公式转化为求$(MF+DF)(MF-DF)$的值。首先利用正方形ABCD的边长相等，推导得出MF和DF的差；再结合长方形DEMF的面积得到MF与DF的乘积；最后利用完全平方公式求出MF与DF的和，代入计算即可得到阴影部分的面积。
【解析】
设$MF=x$，$DF=y$。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 边长$AD=DC$。
∵ 四边形DEMF是长方形，
∴ $ED=MF=x$，
则$AD=AE+ED=2+x$，$DC=DF+CF=y+5$，
∴ $2+x=y+5$，整理得$x-y=3$。
∵ 长方形DEMF的面积为20，
∴ $xy=20$。
对$x-y=3$两边同时平方，由完全平方公式得：
$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=9$，
将$xy=20$代入上式，得$x^2+y^2=9+2×20=49$。
再由完全平方公式可得：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=49+2×20=89$。
∵ $x$、$y$为线段长度，均为正数，
∴ $x+y=\sqrt{89}$。
阴影部分面积为正方形MFRN与正方形DHGF的面积差，即$S_{阴}=x^2-y^2$，
由平方差公式得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，
将$x-y=3$、$x+y=\sqrt{89}$代入，得$S_{阴}=3×\sqrt{89}=3\sqrt{89}$。
【答案】
$3\sqrt{89}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，正方形的性质
【点评】
本题将乘法公式与图形面积计算相结合，解题的核心是通过正方形边长相等建立未知量的数量关系，再灵活运用乘法公式变形求解，能够有效考查对乘法公式的理解和综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影是正方形MFRN与正方形DHGF的面积差，即$S_{阴}=MF^2-DF^2$，可借助平方差公式转化为求$(MF+DF)(MF-DF)$的值。首先利用正方形ABCD的边长相等，推导得出MF和DF的差；再结合长方形DEMF的面积得到MF与DF的乘积；最后利用完全平方公式求出MF与DF的和，代入计算即可得到阴影部分的面积。
【解析】
设$MF=x$，$DF=y$。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 边长$AD=DC$。
∵ 四边形DEMF是长方形，
∴ $ED=MF=x$，
则$AD=AE+ED=2+x$，$DC=DF+CF=y+5$，
∴ $2+x=y+5$，整理得$x-y=3$。
∵ 长方形DEMF的面积为20，
∴ $xy=20$。
对$x-y=3$两边同时平方，由完全平方公式得：
$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=9$，
将$xy=20$代入上式，得$x^2+y^2=9+2×20=49$。
再由完全平方公式可得：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=49+2×20=89$。
∵ $x$、$y$为线段长度，均为正数，
∴ $x+y=\sqrt{89}$。
阴影部分面积为正方形MFRN与正方形DHGF的面积差，即$S_{阴}=x^2-y^2$，
由平方差公式得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，
将$x-y=3$、$x+y=\sqrt{89}$代入，得$S_{阴}=3×\sqrt{89}=3\sqrt{89}$。
【答案】
$3\sqrt{89}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，正方形的性质
【点评】
本题将乘法公式与图形面积计算相结合，解题的核心是通过正方形边长相等建立未知量的数量关系，再灵活运用乘法公式变形求解，能够有效考查对乘法公式的理解和综合运用能力。
【难度系数】
0.6
