【典例1】(2026·荆门)(1)图1是由四个全等的直角三角形(边长分别为a,b,c,且a＜b＜c)和一个小正方形拼成的大正方形,利用图1验证公式的方法求出a,b,c满足的等量关系式；
(2)如图1,在(1)的条件下,若a+b=7,c=5,求阴影部分的面积；
(3)如图2,以(1)中a,b,c为边作三个正方形,并将以a,b为边的两个小正方形放置于以c为边长的大正方形内,若阴影部分的面积为1,求四边形ABCD的面积.

(1)
∵从构成看,大正方形由四个直角三角形和一个小正方形组成,
∴大正方形面积可表示为:$\frac{1}{2}ab×4+(b-a)^2$,
∴$\frac{1}{2}ab×4+(b-a)^2=c^2$,
∴$a^2+b^2=c^2$;
(2)
∵$c=5$,
∴$c^2=25$,
∴$a^2+b^2=25$,
∵$a+b=7$,
∴$(a+b)^2=49$,
∴$25+2ab=49$,
∴$2ab=24$,
∵$S_{阴影}=(b-a)^2=a^2+b^2-2ab$,
∴$S_{阴影}=25-24=1$;
(3)
∵图2中两个长方形的边长均为$c-a$和$c-b$,
∴两个长方形的面积相等,
∴$S_{阴影}=a^2+b^2+2×S_{四边形ABCD}-c^2$,
∵$a^2+b^2=c^2$,$S_{阴影}=1$,
∴$2S_{四边形ABCD}=1$,
∴$S_{四边形ABCD}=0.5$.

【分析】
(1) 解决本问可采用面积法：分别从整体和部分两个角度表示大正方形的面积，利用两种表示的面积相等建立等式，化简后即可得到a、b、c的等量关系。
(2) 阴影部分是边长为(b-a)的正方形，面积可表示为(b-a)²，结合(1)的结论a²+b²=c²，再利用完全平方公式将已知条件a+b=7两边平方，代入已知c=5即可求出2ab的值，最后代入阴影面积公式计算即可。
(3) 观察图2的面积构成：大正方形面积为c²，两个小正方形面积和为a²+b²，两个小正方形叠放在大正方形内时，重叠区域为2个四边形ABCD，阴影部分为空白区域，根据面积的和差关系建立等式，结合a²+b²=c²和阴影面积为1，即可求出四边形ABCD的面积。
【解析】
(1)
∵从构成看，大正方形由四个直角三角形和一个小正方形组成，
∴大正方形面积可表示为：$\frac{1}{2}ab×4+(b-a)^2$，
又
∵大正方形边长为c，面积也可表示为$c^2$，
∴$\frac{1}{2}ab×4+(b-a)^2=c^2$，
化简得：$2ab+a^2-2ab+b^2=c^2$，
∴$a^2+b^2=c^2$；
(2)
∵$c=5$，
∴$c^2=25$，
由(1)得$a^2+b^2=25$，
∵$a+b=7$，
∴$(a+b)^2=49$，即$a^2+2ab+b^2=49$，
代入$a^2+b^2=25$得：$25+2ab=49$，
∴$2ab=24$，
∵$S_{阴影}=(b-a)^2=a^2+b^2-2ab$，
∴$S_{阴影}=25-24=1$；
(3)
∵图2中两个长方形的边长均为$c-a$和$c-b$，
∴两个长方形的面积相等，
根据面积和差关系可得：$S_{阴影}=a^2+b^2+2×S_{四边形ABCD}-c^2$，
∵$a^2+b^2=c^2$，$S_{阴影}=1$，
代入得：$1=c^2+2S_{四边形ABCD}-c^2$，
∴$2S_{四边形ABCD}=1$，
∴$S_{四边形ABCD}=0.5$.
【答案】
(1)$a^2+b^2=c^2$；(2)阴影部分的面积为1；(3)四边形ABCD的面积为0.5
【知识点】
勾股定理的验证、完全平方公式、面积法求图形面积
【点评】
本题以经典几何拼接图形为载体，将代数运算与几何面积计算相结合，考查数形结合思想的应用，解题的核心是灵活利用图形面积的不同表示方式建立等量关系。
【难度系数】
0.7

【典例2】(1)写出图1中所表示的数学等式;

(1)$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$

【分析】
要推导图中对应的数学等式，可采用等面积法，通过两种不同方式计算大正方形的面积，二者结果相等即可得到对应的恒等式。第一步先确定大正方形的边长，算出整体的面积；第二步将大正方形分割为若干个小正方形和小长方形，分别计算各部分面积再求和；最后令两次计算的面积相等，整理即可得到等式。
【解析】
解：观察图形可知，大正方形的边长为$a+b+c$，
因此大正方形的面积可表示为：$S=(a+b+c)^2$。
将大正方形分割后，包含3个小正方形和6个小长方形：
3个小正方形的面积分别为$a^2$、$b^2$、$c^2$；
长为$a$宽为$b$的长方形共2个，总面积为$2ab$；
长为$a$宽为$c$的长方形共2个，总面积为$2ac$；
长为$b$宽为$c$的长方形共2个，总面积为$2bc$。
因此分割后各部分面积之和为：$S=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$。
因为两种方式计算的是同一个大正方形的面积，所以可得对应等式。
【答案】
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$
【知识点】
等面积法，完全平方公式拓展，矩形面积计算
【点评】
本题考查数形结合思想在代数恒等式推导中的应用，通过几何图形面积的两种不同表示方法建立等量关系，是推导乘法公式的常用方法，熟练掌握等面积法的思路是解题的关键。
【难度系数】
0.7

(2)利用(1)中得到的结论,解决问题:若$a+b+c=8$,$ab+bc+ac=25$,求$a^2+b^2+c^2$的值.
(3)如图,在长方形ABCD中,$AB=10$,$BC=6$,$E$,$F$是$BC$,$CD$上的点,且$BE=DF=x$,分别以$FC$,$CE$为边在长方形ABCD外侧作正方形$CFGH$和$CEMN$,若长方形CEPF的面积为40,求图中阴影部分的面积和.

(2)由(1)知$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$,
∵$a+b+c=8$,$ab+bc+ac=25$,
∴$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2ab-2bc-2ac=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=8^2-2×25=14$,
∴$a^2+b^2+c^2$的值为14;
(3)
∵$AB=10$,$BC=6$,$BE=DF=x$,
∴$FC=AB-DF=10-x$,
$EC=BC-BE=6-x$,
∵长方形CEPF的面积为40,
即有$(10-x)(6-x)=40$,
设$10-x=m$,$6-x=n$,
则$m-n=(10-x)-(6-x)=4$,$mn=40$,
∴$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2=16$,
∴$m^2+n^2=16+2mn=16+2×40=96$,
∴图中阴影部分的面积和是$(10-x)^2+(6-x)^2=m^2+n^2=96$.

【分析】
(2)问：借助三个数和的完全平方公式，将公式变形后，把已知的$a+b+c$、$ab+bc+ac$的值直接代入，即可求出$a^2+b^2+c^2$的值，无需单独求解a、b、c的数值。
(3)问：首先根据长方形边长和已知的$BE=DF=x$，表示出两个阴影正方形的边长，可知阴影面积和为两个边长的平方和；再结合长方形CEPF的面积可得两个边长的乘积，同时可求出两个边长的差为固定值，最后利用完全平方差公式的变形整体代入计算即可，不需要求解x的值，能简化计算过程。
【解析】
(2) 由三个数和的完全平方公式可得：$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$，
将公式变形得：$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)$，
把$a+b+c=8$，$ab+bc+ac=25$代入得：
$a^2+b^2+c^2=8^2 - 2×25 = 64 - 50 = 14$。
(3) 已知长方形ABCD中$AB=10$，$BC=6$，$BE=DF=x$，
因此$FC=CD-DF=AB-DF=10-x$，$CE=BC-BE=6-x$，
阴影部分为两个正方形，面积和为$(10-x)^2+(6-x)^2$。
由长方形CEPF的面积为40，可得$(10-x)(6-x)=40$，
设$m=10-x$，$n=6-x$，则$m-n=(10-x)-(6-x)=4$，$mn=40$，
根据完全平方差公式：$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，
变形得$m^2+n^2=(m-n)^2+2mn$，
代入数值计算：$m^2+n^2=4^2+2×40=16+80=96$，
即阴影部分的面积和为96。
【答案】
(2) $\boxed{14}$；(3) $\boxed{96}$
【知识点】
完全平方公式，图形面积计算，整体代入法
【点评】
本题将乘法公式和图形面积、代数式求值相结合，核心是熟练掌握完全平方公式的变形技巧，通过整体代入的方法可以避免不必要的计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.6