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【典例1】四张长为a，宽为$b(a＞b)$的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为$(a+b)$的正方形，图中空白部分面积为$S_1$，阴影部分的面积为$S_2$，若$S_1=S_2$，则$a:b=$
3
。答案
解:$S_1=(a+b)^2-2(a+b)b$
$=a^2-b^2$,
$S_2=2(a+b)b=2ab+2b^2$,
$\therefore a^2-b^2=2ab+2b^2$,
$\therefore \frac{a}{b}=3.$
$=a^2-b^2$,
$S_2=2(a+b)b=2ab+2b^2$,
$\therefore a^2-b^2=2ab+2b^2$,
$\therefore \frac{a}{b}=3.$
解析
【分析】
解题时首先从整体入手，先计算边长为(a+b)的大正方形的总面积，再分别推导阴影部分面积S₂和空白部分面积S₁的代数式。根据题目给出的S₁=S₂的等量关系，将两个代数式代入等式，再通过整式运算、因式分解化简等式，结合a、b均为正数的隐含条件，即可求出a与b的比值。
【解析】
解：大正方形的边长为(a+b)，因此大正方形的总面积为：
$ S_{\mathrm{总}}=(a+b)^2 $
观察图形可得，阴影部分面积：
$ S_2=2b(a+b)=2ab+2b^2 $
空白部分面积等于大正方形面积减去阴影部分面积：
$ S_1=(a+b)^2 - S_2=(a+b)^2 - 2b(a+b) $
展开化简得：
$ S_1=a^2+2ab+b^2 - 2ab - 2b^2=a^2 - b^2 $
已知$ S_1=S_2 $，代入得：
$ a^2 - b^2=2ab + 2b^2 $
移项整理得：
$ a^2 - 2ab - 3b^2=0 $
将等式左边因式分解：
$ (a - 3b)(a + b)=0 $
因为a＞0，b＞0，所以a+b≠0，因此：
$ a - 3b=0 \implies a=3b $
所以$ a:b=3 $
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式，因式分解，面积的代数表示
【点评】
本题是整式乘法与几何面积结合的典型题型，解题的核心是准确用代数式表示出对应部分的面积，再结合等量关系转化为代数方程求解，注意要结合实际意义舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.6
解题时首先从整体入手，先计算边长为(a+b)的大正方形的总面积，再分别推导阴影部分面积S₂和空白部分面积S₁的代数式。根据题目给出的S₁=S₂的等量关系，将两个代数式代入等式，再通过整式运算、因式分解化简等式，结合a、b均为正数的隐含条件，即可求出a与b的比值。
【解析】
解：大正方形的边长为(a+b)，因此大正方形的总面积为：
$ S_{\mathrm{总}}=(a+b)^2 $
观察图形可得，阴影部分面积：
$ S_2=2b(a+b)=2ab+2b^2 $
空白部分面积等于大正方形面积减去阴影部分面积：
$ S_1=(a+b)^2 - S_2=(a+b)^2 - 2b(a+b) $
展开化简得：
$ S_1=a^2+2ab+b^2 - 2ab - 2b^2=a^2 - b^2 $
已知$ S_1=S_2 $，代入得：
$ a^2 - b^2=2ab + 2b^2 $
移项整理得：
$ a^2 - 2ab - 3b^2=0 $
将等式左边因式分解：
$ (a - 3b)(a + b)=0 $
因为a＞0，b＞0，所以a+b≠0，因此：
$ a - 3b=0 \implies a=3b $
所以$ a:b=3 $
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式，因式分解，面积的代数表示
【点评】
本题是整式乘法与几何面积结合的典型题型，解题的核心是准确用代数式表示出对应部分的面积，再结合等量关系转化为代数方程求解，注意要结合实际意义舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.6
【典例2】如图，以$a$，$b$，$x$，$y$作正方形或长方形，已知$ax-by=7$，$ay-bx=1$，
中阴影部分的面积为6.求中的阴影部分的面积.
中阴影部分的面积为6.求中的阴影部分的面积.答案
解:$\because(a+b)(a-b)=6,\therefore a^2-b^2=6$,
而$a(x+y)-b(x+y)=8$,
$(x+y)(a-b)=8$,
$a(x-y)+b(x-y)=6$,
$(x-y)(a+b)=6$,
$\therefore(x+y)(x-y)(a+b)(a-b)=48$,
$\therefore(x^2-y^2)(a^2-b^2)=48$,
$\therefore x^2-y^2=8,\therefore S_{阴影}=8.$
而$a(x+y)-b(x+y)=8$,
$(x+y)(a-b)=8$,
$a(x-y)+b(x-y)=6$,
$(x-y)(a+b)=6$,
$\therefore(x+y)(x-y)(a+b)(a-b)=48$,
$\therefore(x^2-y^2)(a^2-b^2)=48$,
$\therefore x^2-y^2=8,\therefore S_{阴影}=8.$
解析
【分析】
首先我们先明确两个图形阴影部分的面积表达式：图1的阴影面积可通过平方差公式表示为$a^2 - b^2$，题目已知其值为6；图2的阴影面积为$x^2 - y^2$，是我们要求的量。直接求解x、y的具体值难度较大，因此考虑对已知的两个等式$ax-by=7$和$ay-bx=1$进行加减变形，通过提公因式因式分解得到含$(a\pm b)$和$(x\pm y)$的式子，再将变形后的式子相乘，结合平方差公式凑出$(a^2 - b^2)$和$(x^2 - y^2)$的乘积，最后整体代入$a^2 - b^2=6$即可求出结果。
【解析】
解：由图1阴影部分面积为6，可得：
$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2=6$
已知$ax-by=7$①，$ay-bx=1$②，
①+②得：$ax-by+ay-bx=7+1=8$
整理左边，提取公因式得：$a(x+y)-b(x+y)=(a-b)(x+y)=8$ ③
①-②得：$ax-by-(ay-bx)=7-1=6$
展开并整理左边，提取公因式得：$ax-by-ay+bx=a(x-y)+b(x-y)=(a+b)(x-y)=6$ ④
将③×④得：$(a-b)(x+y)·(a+b)(x-y)=8×6=48$
利用乘法交换律和平方差公式变形得：$(a^2 - b^2)(x^2 - y^2)=48$
把$a^2 - b^2=6$代入上式得：$6×(x^2 - y^2)=48$
解得$x^2 - y^2=8$
又因为图2阴影部分面积为$x^2 - y^2$，故图2阴影面积为8。
【答案】
$\boxed{8}$
【知识点】
平方差公式，提公因式法因式分解，整体代入求值
【点评】
本题结合几何图形面积考查代数式的变形与运算，解题的核心是通过对已知等式进行加减变形，结合因式分解和乘法公式建立已知条件和所求量之间的联系，体现了整体思想在代数运算中的应用。
【难度系数】
0.6
首先我们先明确两个图形阴影部分的面积表达式：图1的阴影面积可通过平方差公式表示为$a^2 - b^2$，题目已知其值为6；图2的阴影面积为$x^2 - y^2$，是我们要求的量。直接求解x、y的具体值难度较大，因此考虑对已知的两个等式$ax-by=7$和$ay-bx=1$进行加减变形，通过提公因式因式分解得到含$(a\pm b)$和$(x\pm y)$的式子，再将变形后的式子相乘，结合平方差公式凑出$(a^2 - b^2)$和$(x^2 - y^2)$的乘积，最后整体代入$a^2 - b^2=6$即可求出结果。
【解析】
解：由图1阴影部分面积为6，可得：
$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2=6$
已知$ax-by=7$①，$ay-bx=1$②，
①+②得：$ax-by+ay-bx=7+1=8$
整理左边，提取公因式得：$a(x+y)-b(x+y)=(a-b)(x+y)=8$ ③
①-②得：$ax-by-(ay-bx)=7-1=6$
展开并整理左边，提取公因式得：$ax-by-ay+bx=a(x-y)+b(x-y)=(a+b)(x-y)=6$ ④
将③×④得：$(a-b)(x+y)·(a+b)(x-y)=8×6=48$
利用乘法交换律和平方差公式变形得：$(a^2 - b^2)(x^2 - y^2)=48$
把$a^2 - b^2=6$代入上式得：$6×(x^2 - y^2)=48$
解得$x^2 - y^2=8$
又因为图2阴影部分面积为$x^2 - y^2$，故图2阴影面积为8。
【答案】
$\boxed{8}$
【知识点】
平方差公式，提公因式法因式分解，整体代入求值
【点评】
本题结合几何图形面积考查代数式的变形与运算，解题的核心是通过对已知等式进行加减变形，结合因式分解和乘法公式建立已知条件和所求量之间的联系，体现了整体思想在代数运算中的应用。
【难度系数】
0.6
【典例3】如图，分别以$a$，$b$，$m$，$n$为边长作正方形，已知$m＞n$且满足$am-bn=2$，$an+bm=4$。若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是
$\frac{5}{3}$
。答案
解:由题意可得$a^2+b^2=3$,
$\frac{1}{2}(m+n)(m+n)=5$,
$\therefore(m+n)^2=10.$
$\because am-bn=2,an+bm=4$,
$\therefore$将两式分别平方并整理可得:
$a^2m^2-2abmn+b^2n^2=4\quad①$,
$a^2n^2+2abmn+b^2m^2=16\quad②$,
①+②整理得:$(a^2+b^2)(m^2+n^2)=20$,
$\because a^2+b^2=3$,
$\therefore m^2+n^2=\frac{20}{3}.$
$\because(m+n)^2=10$,
$\therefore(m+n)^2-(m^2+n^2)=10-\frac{20}{3}$,
整理得:$2mn=\frac{10}{3},即mn=\frac{5}{3}.$
$\therefore S_{阴}=\frac{(m+n)^2}{2}-\frac{m^2}{2}-\frac{n^2}{2}=mn=\frac{5}{3}.$
$\frac{1}{2}(m+n)(m+n)=5$,
$\therefore(m+n)^2=10.$
$\because am-bn=2,an+bm=4$,
$\therefore$将两式分别平方并整理可得:
$a^2m^2-2abmn+b^2n^2=4\quad①$,
$a^2n^2+2abmn+b^2m^2=16\quad②$,
①+②整理得:$(a^2+b^2)(m^2+n^2)=20$,
$\because a^2+b^2=3$,
$\therefore m^2+n^2=\frac{20}{3}.$
$\because(m+n)^2=10$,
$\therefore(m+n)^2-(m^2+n^2)=10-\frac{20}{3}$,
整理得:$2mn=\frac{10}{3},即mn=\frac{5}{3}.$
$\therefore S_{阴}=\frac{(m+n)^2}{2}-\frac{m^2}{2}-\frac{n^2}{2}=mn=\frac{5}{3}.$
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先从已知图形面积提取代数关系，图1阴影是两个正方形面积和，直接可得$a^2+b^2=3$；图2四边形ABCD是直角梯形，用梯形面积公式可推出$(m+n)^2=10$。第二步处理已知的两个等式$am-bn=2$和$an+bm=4$，观察式子结构，将两式分别平方后相加，抵消交叉项后整理可得含$(a^2+b^2)$和$(m^2+n^2)$的式子，整体代入$a^2+b^2=3$即可求出$m^2+n^2$的值。第三步计算阴影面积，阴影面积等于梯形ABCD的面积减去两个空白直角三角形的面积，代入已求的$m^2+n^2$计算即可。
【解析】
解：由图1阴影部分为边长为a、b的正方形面积和，得：
$a^2 + b^2 = 3$
图2中四边形ABCD为直角梯形，上底$CD=n$，下底$AB=m$，高$BC=m+n$，根据梯形面积公式：
$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(m+n)(m+n)=5$
$\therefore (m+n)^2=10$
已知$am-bn=2$，$an+bm=4$，将两式分别平方得：
$a^2m^2 - 2abmn + b^2n^2=4$ ①
$a^2n^2 + 2abmn + b^2m^2=16$ ②
①+②消去$abmn$项，整理得：
$a^2(m^2+n^2) + b^2(m^2+n^2) = 20$
即$(a^2 + b^2)(m^2 + n^2) = 20$
将$a^2 + b^2=3$代入，得$3(m^2 + n^2)=20$，解得$m^2 + n^2=\frac{20}{3}$
图2阴影部分面积 = 四边形ABCD面积 - 两个空白直角三角形面积：
$S_{阴}=5 - \frac{1}{2}m^2 - \frac{1}{2}n^2 = 5 - \frac{1}{2}(m^2 + n^2)$
代入$m^2 + n^2=\frac{20}{3}$，得：
$S_{阴}=5 - \frac{1}{2}×\frac{20}{3}=\frac{5}{3}$
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
完全平方公式，整式化简，面积计算
【点评】
本题是代数与几何的综合题，需要熟练掌握完全平方公式的变形技巧，结合数形结合和整体代入思想求解，既考查了图形面积的计算能力，也考查了整式运算的推导能力。
【难度系数】
0.4
解题思路分为三步：第一步先从已知图形面积提取代数关系，图1阴影是两个正方形面积和，直接可得$a^2+b^2=3$；图2四边形ABCD是直角梯形，用梯形面积公式可推出$(m+n)^2=10$。第二步处理已知的两个等式$am-bn=2$和$an+bm=4$，观察式子结构，将两式分别平方后相加，抵消交叉项后整理可得含$(a^2+b^2)$和$(m^2+n^2)$的式子，整体代入$a^2+b^2=3$即可求出$m^2+n^2$的值。第三步计算阴影面积，阴影面积等于梯形ABCD的面积减去两个空白直角三角形的面积，代入已求的$m^2+n^2$计算即可。
【解析】
解：由图1阴影部分为边长为a、b的正方形面积和，得：
$a^2 + b^2 = 3$
图2中四边形ABCD为直角梯形，上底$CD=n$，下底$AB=m$，高$BC=m+n$，根据梯形面积公式：
$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(m+n)(m+n)=5$
$\therefore (m+n)^2=10$
已知$am-bn=2$，$an+bm=4$，将两式分别平方得：
$a^2m^2 - 2abmn + b^2n^2=4$ ①
$a^2n^2 + 2abmn + b^2m^2=16$ ②
①+②消去$abmn$项，整理得：
$a^2(m^2+n^2) + b^2(m^2+n^2) = 20$
即$(a^2 + b^2)(m^2 + n^2) = 20$
将$a^2 + b^2=3$代入，得$3(m^2 + n^2)=20$，解得$m^2 + n^2=\frac{20}{3}$
图2阴影部分面积 = 四边形ABCD面积 - 两个空白直角三角形面积：
$S_{阴}=5 - \frac{1}{2}m^2 - \frac{1}{2}n^2 = 5 - \frac{1}{2}(m^2 + n^2)$
代入$m^2 + n^2=\frac{20}{3}$，得：
$S_{阴}=5 - \frac{1}{2}×\frac{20}{3}=\frac{5}{3}$
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
完全平方公式，整式化简，面积计算
【点评】
本题是代数与几何的综合题，需要熟练掌握完全平方公式的变形技巧，结合数形结合和整体代入思想求解，既考查了图形面积的计算能力，也考查了整式运算的推导能力。
【难度系数】
0.4
变式.已知实数$a,b,x,y$满足$ax+by=3,ay-bx=5$,求$(a^2+b^2)(x^2+y^2)$的值.
答案
解:$\because ax+by=3\quad①$,
$ay-bx=5\quad②$,
$\therefore(ax+by)^2=9$,
即$a^2x^2+b^2y^2+2abxy=9\quad③$,
$\therefore(ay-bx)^2=25,即a^2y^2+b^2x^2-2abxy=25\quad④$,
③+④:$a^2x^2+b^2y^2+a^2y^2+b^2x^2=34$,
$\therefore(a^2+b^2)(x^2+y^2)=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2=34.$
$ay-bx=5\quad②$,
$\therefore(ax+by)^2=9$,
即$a^2x^2+b^2y^2+2abxy=9\quad③$,
$\therefore(ay-bx)^2=25,即a^2y^2+b^2x^2-2abxy=25\quad④$,
③+④:$a^2x^2+b^2y^2+a^2y^2+b^2x^2=34$,
$\therefore(a^2+b^2)(x^2+y^2)=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2=34.$
解析
【分析】
首先观察待求式$(a^2+b^2)(x^2+y^2)$，将其展开后可得$a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2$，是四个平方项的和。再看已知的两个等式$ax+by=3$和$ay-bx=5$，我们可以对两个等式分别平方，平方后得到的式子中刚好包含这四个平方项，且交叉项$2abxy$和$-2abxy$互为相反数，相加后可抵消，最终就能得到待求式的值。解题时不需要单独求出a、b、x、y的具体数值，利用整体运算即可。
【解析】
已知$ax+by=3 \quad ①$，$ay-bx=5 \quad ②$，
将①两边平方得：$(ax+by)^2=9$，
展开得：$a^2x^2+b^2y^2+2abxy=9 \quad ③$，
将②两边平方得：$(ay-bx)^2=25$，
展开得：$a^2y^2+b^2x^2-2abxy=25 \quad ④$，
由③+④得：$a^2x^2+b^2y^2+2abxy+a^2y^2+b^2x^2-2abxy=9+25$，
化简得：$a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2=34$，
又因为$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2$，
所以$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=34$。
【答案】
34
【知识点】
完全平方公式；整式的运算；代数式求值
【点评】
本题侧重考查乘法公式的灵活运用与整体思想，解题核心是通过对已知等式平方消去交叉项，直接得到与待求式结构匹配的代数式，无需单独求解每个字母的取值，简化了运算过程。
【难度系数】
0.6
首先观察待求式$(a^2+b^2)(x^2+y^2)$，将其展开后可得$a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2$，是四个平方项的和。再看已知的两个等式$ax+by=3$和$ay-bx=5$，我们可以对两个等式分别平方，平方后得到的式子中刚好包含这四个平方项，且交叉项$2abxy$和$-2abxy$互为相反数，相加后可抵消，最终就能得到待求式的值。解题时不需要单独求出a、b、x、y的具体数值，利用整体运算即可。
【解析】
已知$ax+by=3 \quad ①$，$ay-bx=5 \quad ②$，
将①两边平方得：$(ax+by)^2=9$，
展开得：$a^2x^2+b^2y^2+2abxy=9 \quad ③$，
将②两边平方得：$(ay-bx)^2=25$，
展开得：$a^2y^2+b^2x^2-2abxy=25 \quad ④$，
由③+④得：$a^2x^2+b^2y^2+2abxy+a^2y^2+b^2x^2-2abxy=9+25$，
化简得：$a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2=34$，
又因为$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2$，
所以$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=34$。
【答案】
34
【知识点】
完全平方公式；整式的运算；代数式求值
【点评】
本题侧重考查乘法公式的灵活运用与整体思想，解题核心是通过对已知等式平方消去交叉项，直接得到与待求式结构匹配的代数式，无需单独求解每个字母的取值，简化了运算过程。
【难度系数】
0.6
