1 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=30^{ \circ }$,$AD$是边$BC$上的高,$AE$平分$∠ BAC$,$∠ DAE=$$40^{ \circ }$,则$∠ ACB$的度数为.

1. $110°$

【分析】
要解决这个问题，我们可以利用直角三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理逐步推导。首先由AD是BC边上的高得到直角，结合已知的∠DAE求出∠AED；再利用三角形外角性质求出∠BAE；接着根据角平分线定义得到∠BAC；最后通过三角形内角和定理计算出∠ACB的度数。
【解析】
解：
∵AD是边BC上的高，
∴∠ADE=90°，
在△ADE中，∠DAE=40°，
∴∠AED=90° - ∠DAE=90° - 40°=50°，
又
∵∠AED是△ABE的外角，
∴∠AED=∠B + ∠BAE，
已知∠B=30°，
∴∠BAE=∠AED - ∠B=50° - 30°=20°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=2×20°=40°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∴∠ACB=180° - ∠BAC - ∠B=180° - 40° - 30°=110°。
【答案】
110°
【知识点】
三角形内角和定理、角平分线定义、直角三角形性质
【点评】
本题综合运用了三角形的多个基础性质，解题的关键是通过直角三角形和外角的性质逐步推导角的关系，再结合角平分线和内角和定理计算，需要学生熟练掌握三角形的相关性质，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5

2 新考向 探究题 如图,在$△ ABC$中,$∠ B＞∠ C$,$AD⊥ BC$于点$D$,$AE$平分$∠ BAC$.
(1) 设$∠ DAE=α$,利用角平分线定义、三角形的外角性质、直角三角形的性质,算算填填:
① 若$∠ B=80°$,$∠ C=40°$,则$α=$$°$;
② 若$∠ B=40°$,$∠ C=30°$,则$α=$$°$.
(2) 探究建模:寻找(1)中的规律,用$∠ B$,$∠ C$表示$α$:$α=$.
(3) 模型应用:若$∠ B-∠ C=30°$,求$∠ DAE$的度数.

2. (1) ① 20 ② 5 (2) $\frac{∠B-∠C}{2}$ (3) $\because ∠B-∠C=30°, \therefore ∠DAE=\frac{1}{2}(∠B-∠C)=\frac{1}{2}×30°=15°$

【分析】
本题需要结合三角形内角和定理、角平分线定义、直角三角形的性质推导∠DAE（即α）与∠B、∠C的关系。首先利用三角形内角和算出∠BAC，再由角平分线得到∠BAE的度数；接着在直角三角形ABD中求出∠BAD的度数，通过∠BAE与∠BAD的差得到α，进而总结规律并应用规律解题。
【解析】
(1) ① 在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 80° - 40° = 60°
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°
∵ AD⊥BC，在Rt△ABD中，∠BAD = 90° - ∠B = 90° - 80° = 10°
∴ α = ∠DAE = ∠BAE - ∠BAD = 30° - 10° = 20°
② 同理，∠BAC = 180° - 40° - 30° = 110°
∠BAE = $\frac{1}{2}$×110° = 55°，∠BAD = 90° - 40° = 50°
∴ α = 55° - 50° = 5°
(2) 推导一般规律：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C，故∠BAE = $\frac{1}{2}$(180° - ∠B - ∠C) = 90° - $\frac{∠B+∠C}{2}$
又∠BAD = 90° - ∠B，因此：
α = ∠BAE - ∠BAD = (90° - $\frac{∠B+∠C}{2}$) - (90° - ∠B) = $\frac{∠B - ∠C}{2}$
(3) 已知∠B - ∠C = 30°，代入(2)的结论：
∠DAE = $\frac{1}{2}$(∠B - ∠C) = $\frac{1}{2}$×30° = 15°
【答案】
(1) ①20；②5；(2)$\frac{∠B-∠C}{2}$；(3)15°
【知识点】
三角形内角和、角平分线性质、直角三角形性质
【点评】
本题为探究型题目，通过具体数值计算推导角度关系，再应用规律解决问题，重点考查三角形角度的计算与逻辑推导能力，是三角形相关知识的综合应用。
【难度系数】
0.5

3 小明在学习过程中,对一道习题做如下探究:
(1) 习题回顾: 如图①,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AE$是角平分线,$CD$是高,$AE$,$CD$相交于点$F$. 求证:$∠ CFE=∠ CEF$.
(2) 变式思考: 如图②,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD$是边$AB$上的高,$△ ABC$的外角$∠ BAG$的平分线交$CD$的延长线于点$F$,$AF$的反向延长线与$BC$的延长线交于点$E$. 若$∠ B=40°$,求$∠ CEF$和$∠ CFE$的度数.
(3) 探究延伸: 如图③,在$△ ABC$中,$AB$上存在一点$D$,使得$∠ ACD=∠ B$,角平分线$AE$交$CD$于点$F$,$△ ABC$的外角$∠ BAG$的平分线所在直线$MN$与$BC$的延长线交于点$M$. 若$∠ M=35°$,求$∠ CFE$的度数.

3. (1) $\because ∠ACB=90°,CD$ 是高, $\therefore ∠B+∠CAB=90°, ∠ACD+∠CAB=90°. \therefore ∠B=∠ACD. \because AE$ 是角平分线, $\therefore ∠CAF=∠DAF. \because ∠CFE=∠CAF+∠ACD,∠CEF=∠DAF+∠B, \therefore ∠CFE=∠CEF$ (2) $\because ∠B=40°, ∠ACB=90°, \therefore ∠BAG=∠B+∠ACB=40°+90°=130°. \because AF$ 平分$∠BAG, \therefore ∠GAF=∠DAF=\frac{1}{2}×130°=65°. \because CD$ 为边 $AB$ 上的高, $\therefore ∠ADC=90°. \therefore ∠CFE=90°-∠DAF=90°-65°=25°. 又\because ∠CAE=∠GAF=65°,∠ACB=90°,\therefore ∠CEF=90°-∠CAE=90°-65°=25°$ (3) $\because C,A,G$ 三点共线, $AE,AN$ 分别为 $∠BAC,∠BAG$ 的平分线, $\therefore ∠EAB=∠EAC=\frac{1}{2}∠BAC, ∠NAB=\frac{1}{2}∠BAG. \therefore ∠EAN=∠EAB+∠NAB=\frac{1}{2}(∠BAC+∠BAG)=90°. \therefore ∠EAM=180°-∠EAN=90°. \therefore ∠M+∠CEF=90°. \because ∠CEF=∠EAB+∠B, ∠CFE=∠EAC+∠ACD, ∠ACD=∠B, \therefore ∠CEF=∠CFE. \therefore ∠M+∠CFE=90°. \therefore ∠CFE=90°-∠M=90°-35°=55°$

【分析】
本题为三角形角度相关的递进式探究题，需结合直角三角形性质、角平分线定义、三角形外角性质逐步推导：
(1) 要证∠CFE=∠CEF，先利用直角三角形两锐角互余得∠B=∠ACD，再结合角平分线定义和三角形外角性质，分别表示两个角即可证明；
(2) 先由直角三角形外角求∠BAG，利用角平分线得相关角，再结合CD是高的直角条件计算两个角；
(3) 利用角平分线推出∠EAN=90°，得到∠M与∠CEF互余，再结合∠ACD=∠B推出∠CEF=∠CFE，最终计算∠CFE。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠ACB=90°，CD是高，
∴ ∠B + ∠CAB = 90°，∠ACD + ∠CAB = 90°，
∴ ∠B = ∠ACD。
∵ AE是角平分线，
∴ ∠CAF = ∠DAF。
又
∵ ∠CFE是△ACF的外角，
∴ ∠CFE = ∠CAF + ∠ACD；
∠CEF是△ABE的外角，
∴ ∠CEF = ∠DAF + ∠B，
∴ ∠CFE = ∠CEF。
(2) 解：
∵ ∠B=40°，∠ACB=90°，
∴ ∠BAG = ∠B + ∠ACB = 40° + 90° = 130°。
∵ AF平分∠BAG，
∴ ∠GAF = ∠DAF = $\frac{1}{2}$×130° = 65°。
∵ CD为AB边上的高，
∴ ∠ADC=90°，
∴ ∠CFE = 90° - ∠DAF = 90° - 65° = 25°。
又
∵ ∠CAE=∠GAF=65°，∠ACB=90°，
∴ ∠CEF = 90° - ∠CAE = 90° - 65° = 25°。
(3) 解：
∵ C、A、G三点共线，AE、AN分别为∠BAC、∠BAG的平分线，
∴ ∠EAB = ∠EAC = $\frac{1}{2}$∠BAC，∠NAB = $\frac{1}{2}$∠BAG，
∴ ∠EAN = ∠EAB + ∠NAB = $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠BAG) = 90°，
∴ ∠EAM = 180° - ∠EAN = 90°，
∴ ∠M + ∠CEF = 90°。
又
∵ ∠CEF是△ABE的外角，
∴ ∠CEF = ∠EAB + ∠B；
∠CFE是△ACF的外角，
∴ ∠CFE = ∠EAC + ∠ACD，
已知∠ACD=∠B，且∠EAB=∠EAC，
∴ ∠CEF = ∠CFE，
∴ ∠M + ∠CFE = 90°，
∴ ∠CFE = 90° - ∠M = 90° - 35° = 55°。
【答案】
(1) ∠CFE=∠CEF；
(2) ∠CEF=25°，∠CFE=25°；
(3) ∠CFE=55°
【知识点】
三角形外角性质、角平分线定义、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是几何角度的递进式探究题，从基础证明到角度计算再到综合应用，需熟练掌握三角形相关性质，逐步推导角的等量关系，考察几何推理能力，题型典型。
【难度系数】
0.5