【例1】若$(m+1)x^{m^{2}+1}-2x-5=0$是关于$x$的一元二次方程,则$m=$.

1

【分析】要确定m的值，需依据一元二次方程的定义：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。因此需同时满足两个条件：一是x的次数为2，二是x²项的系数不为0，据此逐步计算即可。
【解析】因为方程$(m+1)x^{m^2+1}-2x-5=0$是关于$x$的一元二次方程，所以：
1. 未知数$x$的最高次数为2，即$m^2 + 1 = 2$，解得$m^2=1$，故$m=1$或$m=-1$；
2. 二次项系数不能为0，即$m+1≠0$，解得$m≠-1$。
综合两个条件，$m=1$。
【答案】1
【知识点】一元二次方程的定义
【点评】本题考查一元二次方程的定义，核心是牢记“未知数最高次数为2”和“二次项系数不为0”两个约束条件，需注意避免忽略系数不为0的情况，属于基础题型。
【难度系数】0.5

1. 下列方程中,一定是一元二次方程的是 ()
A. $x^{2}-2=0$ B. $x^{2}+y=1$ C. $x-\frac{1}{x}=1$ D. $x^{2}+x=x^{2}+1$

1. A

【分析】
要判断一元二次方程，需依据其定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。据此逐一分析选项，排除不符合定义的选项即可得出答案。
【解析】
根据一元二次方程的定义逐一判断：
选项A：$x^2 - 2 = 0$，只含一个未知数$x$，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义；
选项B：$x^2 + y = 1$，含有两个未知数$x$和$y$，属于二元方程，不符合；
选项C：$x - \frac{1}{x} = 1$，分母中含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合；
选项D：化简后为$x = 1$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不符合。
综上，一定是一元二次方程的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的定义，核心是掌握“一个未知数、最高次数2、整式方程”三个关键要素，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8

【例2】已知$m$是方程$x^{2}-x-1=0$的一个根,则代数式$5m^{2}-5m+2\ 026$的值是.

2031

【分析】
要解决这道题，首先利用一元二次方程根的定义，将根$ m $代入已知方程，得到关于$ m $的等式；接着观察所求代数式的结构，通过提取公因式对代数式变形，将得到的等式整体代入变形后的代数式，即可快速求出结果，无需计算$ m $的具体值。
【解析】
解：因为$ m $是方程$ x^2 - x -1=0 $的一个根，
所以将$ x=m $代入方程得：$ m^2 - m -1 = 0 $，
移项可得：$ m^2 - m = 1 $。
对待求代数式$ 5m^2 -5m +2026 $变形：
$ 5m^2 -5m +2026 =5(m^2 - m) +2026 $，
把$ m^2 - m =1 $代入上式：
$ 5×1 +2026 =5 +2026=2031 $。
【答案】
2031
【知识点】
一元二次方程的根，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题考查一元二次方程根的应用，核心是利用整体代入法简化代数式求值，避免求解方程的根，是基础题型，解题思路清晰，易于掌握。
【难度系数】
0.7

2. 已知$a$和$b$是方程$x^{2}+2\ 026x-4=0$的两个解,则$a^{2}+2\ 025a-b$的值为.

2. 2030

【分析】
要解决该问题，需结合一元二次方程根的定义和韦达定理：首先利用a是方程的根，得到关于a的等式，对所求式子变形；再借助韦达定理求出两根之和，代入变形后的式子计算即可。
【解析】
解：因为a是方程$x^2 + 2026x - 4 = 0$的根，将$x=a$代入方程得：
$a^2 + 2026a - 4 = 0$，即$a^2 + 2026a = 4$。
对所求式子$a^2 + 2025a - b$变形：
$a^2 + 2025a - b = (a^2 + 2026a) - a - b$。
又因为a、b是方程$x^2 + 2026x - 4 = 0$的两个根，根据韦达定理，两根之和$a + b = -2026$，所以$-a - b = 2026$。
将上述结果代入变形后的式子：
原式$= 4 + 2026 = 2030$。
【答案】
2030
【知识点】
一元二次方程根的定义；韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义和韦达定理的应用，核心是对所求代数式合理变形，将未知转化为已知，简化计算，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.5

【例3】按要求解下列方程:
(1) $x^{2}-10x+24=0$(配方法); (2) $x^{2}-9=x-3$(因式分解法);
(3) $2x^{2}+3x+1=0$(公式法); (4) $2x^{2}-4\sqrt{2}x+1=0$(公式法).

(1) $x_{1}=4, x_{2}=6$. (2) $x_{1}=3, x_{2}=-2$.
(3) $x_{1}=-1, x_{2}=-\frac{1}{2}$. (4) $x_{1}=\frac{2 \sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}, x_{2}=\frac{2 \sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$.

【分析】
本题考查一元二次方程的三种常用解法，需根据各方法的核心步骤逐步求解：
1. 配方法：先移项使方程右边为常数，再在两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，最后开方得到解；
2. 因式分解法：先移项让方程右边为0，再对左边二次式因式分解，转化为两个一次因式乘积为0的形式，令每个因式为0分别求解；
3. 公式法：先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，计算判别式Δ=b²-4ac，若Δ≥0，代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$即可得解。
【解析】
(1) 配方法：
移项得：$x^2 -10x = -24$
配方，两边加$(\frac{-10}{2})^2=25$，得：$x^2 -10x +25 = -24 +25$
即：$(x-5)^2=1$
开方得：$x-5=±1$
解得：$x_1=6$，$x_2=4$
(2) 因式分解法：
移项得：$x^2 -x -6=0$
因式分解得：$(x-3)(x+2)=0$
则$x-3=0$或$x+2=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=-2$
(3) 公式法：
对于方程$2x^2+3x+1=0$，$a=2$，$b=3$，$c=1$
判别式$\Delta=3^2 -4×2×1=1＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{-3±\sqrt{1}}{2×2}=\frac{-3±1}{4}$
解得：$x_1=-1$，$x_2=-\frac{1}{2}$
(4) 公式法：
对于方程$2x^2 -4\sqrt{2}x +1=0$，$a=2$，$b=-4\sqrt{2}$，$c=1$
判别式$\Delta=(-4\sqrt{2})^2 -4×2×1=24＞0$，$\sqrt{\Delta}=2\sqrt{6}$
代入求根公式得：$x=\frac{4\sqrt{2}±2\sqrt{6}}{4}=\frac{2\sqrt{2}±\sqrt{6}}{2}$
解得：$x_1=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，$x_2=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$
【答案】
(1) $x_{1}=4, x_{2}=6$；(2) $x_{1}=3, x_{2}=-2$；(3) $x_{1}=-1, x_{2}=-\frac{1}{2}$；(4) $x_{1}=\frac{2 \sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}, x_{2}=\frac{2 \sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程三种基础解法的典型练习题，分别对应配方法的配方技巧、因式分解法的十字相乘应用、公式法的判别式计算，是后续学习复杂方程的核心基础，需熟练掌握各方法的操作逻辑。
【难度系数】
0.3