11. 如图，矩形 $ABCD$ 的对角线相交于点 $O$，分别过点 $A$，$D$ 作 $AE// BD$，$DE// AC$ 交于点 $E$.求证：四边形 $AODE$ 是菱形.

11. 证明：$\because AE// BD,DE// AC$,
$\therefore$四边形$AODE$是平行四边形，
$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore OA=OD$,
$\therefore$平行四边形$AODE$是菱形.

12. 如图，$△ ABC$ 中，$AB = AC$，$AD$ 是 $△ ABC$ 外角的平分线，$∠ BAC=∠ ACD$.
(1)求证：$△ ABC≌△ CDA$.
(2)若 $∠ B = 60°$，求证：四边形 $ABCD$ 是菱形.

12. 证明：(1)$\because AB=AC$,$\therefore ∠ B=∠ ACB$,
$\because ∠ FAC=∠ B+∠ ACB=2∠ ACB$,$AD$平分$∠ FAC$,
$\therefore ∠ FAC=2∠ CAD$,且$∠ CAD=∠ ACB$,
$\because$在$△ ABC$和$△ CDA$中,$∠ BAC=∠ ACD$,
$AC=CA$,$∠ ACB=∠ CAD$,
$\therefore △ ABC≌△ CDA(ASA)$.
(2)$\because ∠ FAC=2∠ ACB$,$∠ FAC=2∠ DAC$,
$\therefore ∠ DAC=∠ ACB$,
$\therefore AD// BC$,
$\because ∠ BAC=∠ ACD$,
$\therefore AB// CD$,
$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\because ∠ B=60°$,$AB=AC$,
$\therefore △ ABC$是等边三角形,$\therefore AB=BC$,
$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形.

13. 如图所示，在 $□ ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别为边 $AB$，$CD$ 的中点，$BD$ 是对角线，过点 $A$ 作 $AG// DB$ 交 $CB$ 的延长线于点 $G$.
(1)求证：$DE// BF$.
(2)若 $∠ G = 90°$，求证：四边形 $DEBF$ 是菱形.

13. 证明：(1)$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB// CD$,$AB=CD$,
$\because$点$E$,$F$分别是$AB$,$CD$的中点，
$\therefore BE=\frac{1}{2}AB$,$DF=\frac{1}{2}CD$,
$\therefore BE=DF$,$BE// DF$,
$\therefore$四边形$DEBF$是平行四边形,$\therefore DE// BF$.
(2)$\because ∠ G=90°$,$AG// BD$,$AD// BG$,
$\therefore$四边形$AGBD$是矩形，
$\therefore ∠ ADB=90°$,
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中,$\because E$为$AB$的中点，
$\therefore AE=BE=DE$,
$\because$四边形$DEBF$是平行四边形，
$\therefore$四边形$DEBF$是菱形.