1 [2025 湖北]“幻方”起源于我国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成表中填空.
| 主 题 | 探究月历与“幻方”的奥秘 |
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| 活动一 | 如图①是某月的月历，用方框选取了其中的9个数(涂色部分).
（1）移动方框，若方框中的部分数如图②所示，则$a$是，$b$是；
（2）移动方框，若方框中的部分数如图③所示，则$c$是，$d$是（用含$n$的代数式表示）.

（第1题） |
| 活动二 | 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等.
（3）若方框选取的数如图④所示，调整后，部分数的位置如图⑤所示，则$e$是，$f$是；
（4）若方框选取的数中最小的数是$m$，调整后，部分数的位置如图⑥所示，则$g$是（用含$m$的代数式表示）.

（第1题） |

1. (1) 5 11 (2) $n+1$ $n+7$ (3) 11 3 (4) $m+8$

【分析】
解题前先明确两个核心规律：①月历中数字的排列规律：同一横行相邻两个数相差1，同一竖列相邻两个数相差7；②三阶幻方的规律：每行、每列、两条对角线上的三个数之和相等，且9个数的总和是中间数的9倍，每行（列、对角线）的和是中间数的3倍。
解题步骤：
（1）根据月历横向差1、纵向差7的规律，直接计算图②中的a、b；
（2）结合n的位置，根据相邻数的差用含n的代数式表示c、d；
（3）先计算图④中9个数的总和，求出幻方的公共和，再结合已有的数推导e、f的值；
（4）先写出最小数为m的9个连续月历数，找到中间数，再结合幻方规律推导g的表达式。
【解析】
（1）月历中同一横行相邻数差1，a和4在同一横行且在4右侧，故$a=4+1=5$；同一竖列相邻数差7，b和4在同一竖列且在4下方，故$b=4+7=11$。
（2）c和n在同一横行且在n右侧，故$c=n+1$；d和n在同一竖列且在n下方，故$d=n+7$。
（3）先计算图④中9个数的和：$3+4+5+10+11+12+17+18+19=99$，因此三阶幻方每行/列/对角线的公共和为$99÷3=33$，幻方中间数为$33÷3=11$，即$e=11$；再根据对角线和为33，计算得$f=33-19-11=3$。
（4）若最小数为m，则9个符合要求的月历数为$m,m+1,m+2,m+7,m+8,m+9,m+14,m+15,m+16$，中间数为$m+8$，结合三阶幻方的排列规律，图⑥中g为幻方中间数，故$g=m+8$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{11}$；(2) $\boldsymbol{n+1}$，$\boldsymbol{n+7}$；(3) $\boldsymbol{11}$，$\boldsymbol{3}$；(4) $\boldsymbol{m+8}$
【知识点】
月历数字规律，列代数式，三阶幻方性质
【点评】
本题结合生活实例和传统数学文化考查数字规律探究能力，题目设置由浅入深，只要熟练掌握月历排列规则和三阶幻方的基本性质，就能顺利推导求解。
【难度系数】
0.7

2 在学习课本132页的数学探究“月历中的方程问题”后，小明和小红对2026年1月的月历进行探究.小明用如图①所示的“T”字形框在月历中任意框出5个数.如图②，设“T”字形框中的5个数分别为$a_1,a,a_2,a_3,a_4$.
（1）若$a_1=5$，则$a=$；若$a=x$，则$a_3=$（用含$x$的代数式表示）.
（2）在移动“T”字形框的过程中，小明说：“被框出的5个数之和可能为46.”小红说：“被框出的5个数之和可能为71.”他们的说法正确吗？请说明理由.
（3）小丽设计了如图③所示的“倒T”字形框，框出的5个数分别为$b_1,b,b_2,b_3,b_4$.当$b=2a$时，是否存在$b$的值，使得“倒T”字形框中的5个数与“T”字形框中的5个数有且仅有两个数对应相等？若存在，直接写出符合条件的$b$的值；若不存在，请说明理由.

2. (1) 6 $x+7$ (2) 小明的说法正确,小红的说法不正确 理由:由题意,可得$a-1+a+a+1+a+7+a+14=46$,解得$a=5$.令$a-1+a+a+1+a+7+a+14=71$,解得$a=10$.根据题图,易得$a=10$时,不能框出5个数.综上所述,小明的说法正确,小红的说法不正确. (3) 存在 符合条件的$b$的值为16或26或30

【分析】
解题首先明确月历的数字排列规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。
（1）观察“T”字形框可知：$a_1$是$a$左侧相邻的数，比$a$小1；$a_3$是$a$正下方相邻的数，比$a$大7，据此计算或列代数式即可。
（2）先将5个数都用$a$表示，得到5个数的和的表达式，分别令和为46、71，解出$a$的值后验证$a$对应的位置能否框出符合要求的“T”字形，判断两人说法是否正确。
（3）先将“倒T”形的5个数用$b$表示，结合$b=2a$的条件，筛选出两个框仅有两个数相等且符合月历规则的$b$值即可。
【解析】
（1）$\because a_1$比$a$小1，若$a_1=5$，则$a=5+1=6$；
若$a=x$，$\because a_3$是$a$正下方的数，比$a$大7，$\therefore a_3=x+7$。
（2）5个数可表示为：$a_1=a-1$，$a_2=a+1$，$a_3=a+7$，$a_4=a+14$，
5个数的和为：$(a-1)+a+(a+1)+(a+7)+(a+14)=5a+21$。
①若和为46：$5a+21=46$，解得$a=5$。
验证：$a=5$时，对应5个数都在月历内，可正常框出，故小明的说法正确。
②若和为71：$5a+21=71$，解得$a=10$。
验证：$a=10$在月历最右侧的周六列，右侧没有同行为$a_2$，无法框出符合要求的“T”字形，故小红的说法不正确。
（3）“倒T”形5个数可表示为$b_1=b-1$，$b_2=b+1$，$b_3=b-7$，$b_4=b-14$，结合$b=2a$的条件，筛选得符合要求的$b$为16、26、30。
【答案】
（1）$\boxed{6}$；$\boxed{x+7}$
（2）小明的说法正确，小红的说法不正确，理由见解析
（3）存在，符合条件的$b$的值为$\boxed{16}$或$\boxed{26}$或$\boxed{30}$
【知识点】
月历数字规律，一元一次方程的应用，代数式表示数
【点评】
本题结合月历场景考查数字规律探索与一元一次方程的应用，解题时需注意求出未知数后要结合月历的排列规则验证结果是否合理，兼顾了对运算能力和逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.6