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8 有下列说法:① $|+3.1|=3.1$;② $|-2.4|=2.4$;③ $-|-5|=5$;④ $|a| ≥ 0$;⑤ 绝对值最小的数是0.其中,正确的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
8. D
解析
【分析】
解题时先回忆绝对值的基本性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，任何数的绝对值都是非负数。接下来逐个判断5个说法的正误，统计正确说法的数量，最终匹配对应的选项即可。
【解析】
我们对每个说法逐一判断：
1. 对于①：+3.1是正数，正数的绝对值等于它本身，因此$|+3.1|=3.1$，说法正确；
2. 对于②：-2.4是负数，负数的绝对值等于它的相反数，因此$|-2.4|=-(-2.4)=2.4$，说法正确；
3. 对于③：先计算$|-5|=5$，再添加前面的负号可得$-|-5|=-5≠5$，说法错误；
4. 对于④：无论a取正数、负数还是0，它的绝对值都是非负数，因此$|a|≥0$恒成立，说法正确；
5. 对于⑤：正数的绝对值大于0，负数的绝对值也大于0，只有0的绝对值是0，因此绝对值最小的数是0，说法正确。
综上，正确的说法有①②④⑤，共4个。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的运算；绝对值的非负性
【点评】
本题重点考查绝对值相关基础性质的应用，运算带有负号的绝对值时，要注意先计算绝对值部分，再处理外部的符号，避免运算顺序错误导致失分。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆绝对值的基本性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，任何数的绝对值都是非负数。接下来逐个判断5个说法的正误，统计正确说法的数量，最终匹配对应的选项即可。
【解析】
我们对每个说法逐一判断：
1. 对于①：+3.1是正数，正数的绝对值等于它本身，因此$|+3.1|=3.1$，说法正确；
2. 对于②：-2.4是负数，负数的绝对值等于它的相反数，因此$|-2.4|=-(-2.4)=2.4$，说法正确；
3. 对于③：先计算$|-5|=5$，再添加前面的负号可得$-|-5|=-5≠5$，说法错误；
4. 对于④：无论a取正数、负数还是0，它的绝对值都是非负数，因此$|a|≥0$恒成立，说法正确；
5. 对于⑤：正数的绝对值大于0，负数的绝对值也大于0，只有0的绝对值是0，因此绝对值最小的数是0，说法正确。
综上，正确的说法有①②④⑤，共4个。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的运算；绝对值的非负性
【点评】
本题重点考查绝对值相关基础性质的应用，运算带有负号的绝对值时，要注意先计算绝对值部分，再处理外部的符号，避免运算顺序错误导致失分。
【难度系数】
0.8
9 如图,数轴上的A,B,C三点所表示的数分别为a,b,c,且点B恰好在点A,C的正中间.如果$|a|＞|c|＞|b|$,那么该数轴的原点的位置在 （
A.点A的左边
B.点A与点B之间
C.点B与点C之间
D.点C的右边
C
）A.点A的左边
B.点A与点B之间
C.点B与点C之间
D.点C的右边
答案
9. C
解析
【分析】
解题时先明确两个核心依据：一是数轴上的数从左到右逐渐增大，可得a＜b＜c；二是绝对值的几何意义是数轴上对应点到原点的距离，|a|＞|c|＞|b|说明A到原点距离最远，C次之，B最近；且点B是AC中点，AB=BC。我们可以逐个分析原点在不同选项位置时三个数绝对值的大小关系，和题干条件对比，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
根据数轴特征可得a ＜ b ＜ c，结合绝对值的几何意义、|a|＞|c|＞|b|的条件逐一分析选项：
1. 若原点在点A的左边：此时a、b、c均为正数，越靠右的数绝对值越大，即|a|＜|b|＜|c|，不符合题干条件，排除A；
2. 若原点在点A与点B之间：此时a为负数，b、c为正数，最右侧的C到原点距离最大，即|c|最大，不符合|a|最大的要求，排除B；
3. 若原点在点B与点C之间：此时a、b为负数，c为正数，B离原点最近所以|b|最小，A离原点最远所以|a|最大，且C到原点的距离大于B到原点的距离，即|c|＞|b|，完全满足|a|＞|c|＞|b|的条件；
4. 若原点在点C的右边：此时a、b、c均为负数，越靠左的数绝对值越大，即|a|＞|b|＞|c|，不符合|c|＞|b|的要求，排除D。
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
数轴的性质，绝对值的几何意义
【点评】
本题为数轴和绝对值的基础综合题，解题核心是将绝对值的大小转化为点到原点的距离关系，通过排除法即可快速得到结论，也可以通过举符合条件的具体数值验证选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
解题时先明确两个核心依据：一是数轴上的数从左到右逐渐增大，可得a＜b＜c；二是绝对值的几何意义是数轴上对应点到原点的距离，|a|＞|c|＞|b|说明A到原点距离最远，C次之，B最近；且点B是AC中点，AB=BC。我们可以逐个分析原点在不同选项位置时三个数绝对值的大小关系，和题干条件对比，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
根据数轴特征可得a ＜ b ＜ c，结合绝对值的几何意义、|a|＞|c|＞|b|的条件逐一分析选项：
1. 若原点在点A的左边：此时a、b、c均为正数，越靠右的数绝对值越大，即|a|＜|b|＜|c|，不符合题干条件，排除A；
2. 若原点在点A与点B之间：此时a为负数，b、c为正数，最右侧的C到原点距离最大，即|c|最大，不符合|a|最大的要求，排除B；
3. 若原点在点B与点C之间：此时a、b为负数，c为正数，B离原点最近所以|b|最小，A离原点最远所以|a|最大，且C到原点的距离大于B到原点的距离，即|c|＞|b|，完全满足|a|＞|c|＞|b|的条件；
4. 若原点在点C的右边：此时a、b、c均为负数，越靠左的数绝对值越大，即|a|＞|b|＞|c|，不符合|c|＞|b|的要求，排除D。
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
数轴的性质，绝对值的几何意义
【点评】
本题为数轴和绝对值的基础综合题，解题核心是将绝对值的大小转化为点到原点的距离关系，通过排除法即可快速得到结论，也可以通过举符合条件的具体数值验证选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
10（1）绝对值等于2026的数是
$\pm 2\ 026$
；（2）（易错题）绝对值小于2的整数是$-1,0,1$
；答案
10. (1) $\pm 2\ 026$；(2) $-1,0,1$
解析
【分析】
（1）解题时先回忆绝对值的定义：数轴上一个数对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。距离是非负的，到原点距离为2026的点有两个，分别在原点的左右两侧，对应正数和负数两个结果。
（2）先明确“绝对值小于2”的含义，即该数在数轴上对应的点到原点的距离小于2，可推出这个数的范围是大于-2且小于2，再在这个范围内找出所有整数即可，注意不要漏了0和负整数，也不要把边界值±2算入（因为是小于2，不是小于等于2）。
【解析】
（1）设绝对值等于2026的数为a，根据绝对值的定义可得$\left|a\right|=2026$，所以$a=2026$或$a=-2026$，即$a=\pm2026$。
（2）设满足条件的整数为x，由题意得$\left|x\right|＜2$，去掉绝对值符号可得$-2＜x＜2$，又因为x是整数，所以x的取值为$-1,0,1$。
【答案】
(1) $\pm 2026$；(2) $-1,0,1$
【知识点】
绝对值的定义；绝对值的性质；整数的概念
【点评】
本题是绝对值的基础考查题，解题核心是理解绝对值的几何意义和性质，第二问为易错题，要注意不要遗漏0和负整数，同时明确“小于”不包含边界值，避免多算±2。
【难度系数】
0.85
（1）解题时先回忆绝对值的定义：数轴上一个数对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。距离是非负的，到原点距离为2026的点有两个，分别在原点的左右两侧，对应正数和负数两个结果。
（2）先明确“绝对值小于2”的含义，即该数在数轴上对应的点到原点的距离小于2，可推出这个数的范围是大于-2且小于2，再在这个范围内找出所有整数即可，注意不要漏了0和负整数，也不要把边界值±2算入（因为是小于2，不是小于等于2）。
【解析】
（1）设绝对值等于2026的数为a，根据绝对值的定义可得$\left|a\right|=2026$，所以$a=2026$或$a=-2026$，即$a=\pm2026$。
（2）设满足条件的整数为x，由题意得$\left|x\right|＜2$，去掉绝对值符号可得$-2＜x＜2$，又因为x是整数，所以x的取值为$-1,0,1$。
【答案】
(1) $\pm 2026$；(2) $-1,0,1$
【知识点】
绝对值的定义；绝对值的性质；整数的概念
【点评】
本题是绝对值的基础考查题，解题核心是理解绝对值的几何意义和性质，第二问为易错题，要注意不要遗漏0和负整数，同时明确“小于”不包含边界值，避免多算±2。
【难度系数】
0.85
(3)（易错题）绝对值不大于3的负整数是
$-3,-2,-1$
.答案
(3) $-3,-2,-1$
解析
【分析】
解题时先拆解题干的两个限定条件：①“绝对值不大于3”里的“不大于”指小于或等于，即对应数的绝对值≤3；②要求是负整数，即该数小于0且为整数。先根据绝对值的性质求出满足绝对值≤3的所有数的范围，再从中筛选出符合负整数要求的数即可，注意不要遗漏等于3的情况，也不要混入非负的数。
【解析】
设所求的数为$x$，根据题意分步推导：
1. 由“绝对值不大于3”可得$\vert x\vert ≤ 3$，根据绝对值的性质，解得$-3≤ x≤ 3$；
2. 又因为$x$是负整数，即$x＜0$且$x$为整数，因此在$-3≤ x＜0$的范围内的整数为$-3、-2、-1$。
【答案】
$-3,-2,-1$
【知识点】
绝对值的性质，负整数的概念
【点评】
本题是易错题，常见错误有两类：一是误将“不大于”理解为“小于”，漏掉等于的情况，漏写$-3$；二是忽略“负整数”的限定，误加入0或正整数。解题时需先准确解读所有限定条件，再逐步筛选符合要求的结果。
【难度系数】
0.7
解题时先拆解题干的两个限定条件：①“绝对值不大于3”里的“不大于”指小于或等于，即对应数的绝对值≤3；②要求是负整数，即该数小于0且为整数。先根据绝对值的性质求出满足绝对值≤3的所有数的范围，再从中筛选出符合负整数要求的数即可，注意不要遗漏等于3的情况，也不要混入非负的数。
【解析】
设所求的数为$x$，根据题意分步推导：
1. 由“绝对值不大于3”可得$\vert x\vert ≤ 3$，根据绝对值的性质，解得$-3≤ x≤ 3$；
2. 又因为$x$是负整数，即$x＜0$且$x$为整数，因此在$-3≤ x＜0$的范围内的整数为$-3、-2、-1$。
【答案】
$-3,-2,-1$
【知识点】
绝对值的性质，负整数的概念
【点评】
本题是易错题，常见错误有两类：一是误将“不大于”理解为“小于”，漏掉等于的情况，漏写$-3$；二是忽略“负整数”的限定，误加入0或正整数。解题时需先准确解读所有限定条件，再逐步筛选符合要求的结果。
【难度系数】
0.7
11 计算：
(1) $\left|-3\dfrac{4}{5}\right| - \left|+\dfrac{4}{5}\right| + \left|-3\dfrac{1}{2}\right|$；
(2) $\left|-49\right| × \left|-2\dfrac{1}{7}\right| - \left|+46\right|$。
(1) $\left|-3\dfrac{4}{5}\right| - \left|+\dfrac{4}{5}\right| + \left|-3\dfrac{1}{2}\right|$；
(2) $\left|-49\right| × \left|-2\dfrac{1}{7}\right| - \left|+46\right|$。
答案
11. (1) $6\dfrac{1}{2}$；(2) 59
解析
【分析】
解决这两道计算题的核心是先利用绝对值的性质化简每个绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。去掉绝对值符号后，再按照有理数的四则运算顺序计算即可。第一题是同级加减运算，从左到右计算即可；第二题先算乘法，再算减法。
【解析】
(1) 先化简各绝对值：
$\left|-3\dfrac{4}{5}\right|=3\dfrac{4}{5}$，$\left|+\dfrac{4}{5}\right|=\dfrac{4}{5}$，$\left|-3\dfrac{1}{2}\right|=3\dfrac{1}{2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=3\dfrac{4}{5}-\dfrac{4}{5}+3\dfrac{1}{2}\\&=3 + 3\dfrac{1}{2}\\&=6\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 先化简各绝对值：
$\left|-49\right|=49$，$\left|-2\dfrac{1}{7}\right|=2\dfrac{1}{7}=\dfrac{15}{7}$，$\left|+46\right|=46$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=49×\dfrac{15}{7} - 46\\&=7×15 - 46\\&=105 - 46\\&=59\end{aligned}$
【答案】
(1) $6\dfrac{1}{2}$；(2) $59$
【知识点】
绝对值的化简、有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是正确掌握绝对值的化简规则，再按照有理数的运算顺序逐步计算，计算时注意带分数化假分数的正确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
解决这两道计算题的核心是先利用绝对值的性质化简每个绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。去掉绝对值符号后，再按照有理数的四则运算顺序计算即可。第一题是同级加减运算，从左到右计算即可；第二题先算乘法，再算减法。
【解析】
(1) 先化简各绝对值：
$\left|-3\dfrac{4}{5}\right|=3\dfrac{4}{5}$，$\left|+\dfrac{4}{5}\right|=\dfrac{4}{5}$，$\left|-3\dfrac{1}{2}\right|=3\dfrac{1}{2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=3\dfrac{4}{5}-\dfrac{4}{5}+3\dfrac{1}{2}\\&=3 + 3\dfrac{1}{2}\\&=6\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 先化简各绝对值：
$\left|-49\right|=49$，$\left|-2\dfrac{1}{7}\right|=2\dfrac{1}{7}=\dfrac{15}{7}$，$\left|+46\right|=46$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=49×\dfrac{15}{7} - 46\\&=7×15 - 46\\&=105 - 46\\&=59\end{aligned}$
【答案】
(1) $6\dfrac{1}{2}$；(2) $59$
【知识点】
绝对值的化简、有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是正确掌握绝对值的化简规则，再按照有理数的运算顺序逐步计算，计算时注意带分数化假分数的正确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
12 新情境 生活实际 [2024 威海改编]某车间生产一批圆形机器零件,从中抽取 6 个进行检验,比规定直径长的毫米数记作正数,比规定直径短的毫米数记作负数,记录结果如下表:
第几个零件好一些? 请用学过的绝对值知识来说明理由.
第几个零件好一些? 请用学过的绝对值知识来说明理由.
答案
12. 第6个零件好一些 理由:因为$|+0.2|=0.2,|-0.3|=0.3,|-0.2|=0.2,|+0.3|=0.3,|+0.4|=0.4,|-0.1|=0.1$,其中0.1最小,所以第6个零件好一些.
解析
【分析】
判断零件好坏的核心是看零件尺寸和规定直径的接近程度，偏差的正负只代表比规定直径长还是短，偏差的绝对值才代表和标准的偏离大小：绝对值越小，偏离程度越小，零件质量越好。因此解题时应先计算每个偏差的绝对值，再比较绝对值的大小，找到最小的绝对值对应的零件即可。
【解析】
解：先计算每个零件偏差的绝对值：
$\left|+0.2\right|=0.2$，$\left|-0.3\right|=0.3$，$\left|-0.2\right|=0.2$，$\left|+0.3\right|=0.3$，$\left|+0.4\right|=0.4$，$\left|-0.1\right|=0.1$。
比较绝对值的大小可得：$0.1＜0.2=0.2＜0.3=0.3＜0.4$。
绝对值越小说明零件尺寸越接近规定直径，第6个零件的偏差绝对值最小，因此第6个零件好一些。
【答案】
第6个零件好一些。理由：因为$|+0.2|=0.2,|-0.3|=0.3,|-0.2|=0.2,|+0.3|=0.3,|+0.4|=0.4,|-0.1|=0.1$，其中0.1最小，所以第6个零件好一些。
【知识点】
绝对值的意义，绝对值的计算，绝对值的实际应用
【点评】
本题结合生产零件检验的实际场景，考查绝对值知识在实际问题中的应用，解题关键是理解偏差的绝对值代表零件和标准尺寸的偏离程度，和正负无关，能够有效检验学生对基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
判断零件好坏的核心是看零件尺寸和规定直径的接近程度，偏差的正负只代表比规定直径长还是短，偏差的绝对值才代表和标准的偏离大小：绝对值越小，偏离程度越小，零件质量越好。因此解题时应先计算每个偏差的绝对值，再比较绝对值的大小，找到最小的绝对值对应的零件即可。
【解析】
解：先计算每个零件偏差的绝对值：
$\left|+0.2\right|=0.2$，$\left|-0.3\right|=0.3$，$\left|-0.2\right|=0.2$，$\left|+0.3\right|=0.3$，$\left|+0.4\right|=0.4$，$\left|-0.1\right|=0.1$。
比较绝对值的大小可得：$0.1＜0.2=0.2＜0.3=0.3＜0.4$。
绝对值越小说明零件尺寸越接近规定直径，第6个零件的偏差绝对值最小，因此第6个零件好一些。
【答案】
第6个零件好一些。理由：因为$|+0.2|=0.2,|-0.3|=0.3,|-0.2|=0.2,|+0.3|=0.3,|+0.4|=0.4,|-0.1|=0.1$，其中0.1最小，所以第6个零件好一些。
【知识点】
绝对值的意义，绝对值的计算，绝对值的实际应用
【点评】
本题结合生产零件检验的实际场景，考查绝对值知识在实际问题中的应用，解题关键是理解偏差的绝对值代表零件和标准尺寸的偏离程度，和正负无关，能够有效检验学生对基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
13 分类讨论思想 非零整数$m,n$满足$|m|+|n|=4$,请写出所有这样的整数组$(m,n)$.
答案
13. 当$|m|=1$时,$|n|=3$;当$|m|=2$时,$|n|=2$;当$|m|=3$时,$|n|=1$. 所以整数组为$(1,3),(1,-3),(-1,3),(-1,-3),(2,2),(2,-2),(-2,2),(-2,-2),(3,1),(3,-1),(-3,1),(-3,-1)$
解析
【分析】
解题时先抓住题目的两个核心条件：①m、n是非零整数，因此|m|≥1，|n|≥1；②|m|+|n|=4。我们采用分类讨论的思路，按|m|的可能取值从小到大分类讨论，避免重复或遗漏：首先确定|m|的可取范围只能是1、2、3（若|m|=4则|n|=0，不符合非零要求），对每一个|m|的值先求出对应的|n|，再根据绝对值的性质写出m、n所有正负取值的组合，就能得到所有符合要求的整数组。
【解析】
已知m、n为非零整数，且|m|+|n|=4，因此|m|的可能取值为1、2、3，分类讨论如下：
1. 当|m|=1时，|n|=4-1=3，此时m=±1，n=±3，对应的整数组为：(1,3)、(1,-3)、(-1,3)、(-1,-3)；
2. 当|m|=2时，|n|=4-2=2，此时m=±2，n=±2，对应的整数组为：(2,2)、(2,-2)、(-2,2)、(-2,-2)；
3. 当|m|=3时，|n|=4-3=1，此时m=±3，n=±1，对应的整数组为：(3,1)、(3,-1)、(-3,1)、(-3,-1)。
综上即可得到所有满足条件的整数组。
【答案】
(1,3),(1,-3),(-1,3),(-1,-3),(2,2),(2,-2),(-2,2),(-2,-2),(3,1),(3,-1),(-3,1),(-3,-1)
【知识点】
绝对值的性质；分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是牢记绝对值的性质，同时注意“非零整数”的限制条件，分类时要按照固定顺序，避免出现重复或遗漏的情况，尤其不要忽略每个绝对值对应的正负两种取值。
【难度系数】
0.7
解题时先抓住题目的两个核心条件：①m、n是非零整数，因此|m|≥1，|n|≥1；②|m|+|n|=4。我们采用分类讨论的思路，按|m|的可能取值从小到大分类讨论，避免重复或遗漏：首先确定|m|的可取范围只能是1、2、3（若|m|=4则|n|=0，不符合非零要求），对每一个|m|的值先求出对应的|n|，再根据绝对值的性质写出m、n所有正负取值的组合，就能得到所有符合要求的整数组。
【解析】
已知m、n为非零整数，且|m|+|n|=4，因此|m|的可能取值为1、2、3，分类讨论如下：
1. 当|m|=1时，|n|=4-1=3，此时m=±1，n=±3，对应的整数组为：(1,3)、(1,-3)、(-1,3)、(-1,-3)；
2. 当|m|=2时，|n|=4-2=2，此时m=±2，n=±2，对应的整数组为：(2,2)、(2,-2)、(-2,2)、(-2,-2)；
3. 当|m|=3时，|n|=4-3=1，此时m=±3，n=±1，对应的整数组为：(3,1)、(3,-1)、(-3,1)、(-3,-1)。
综上即可得到所有满足条件的整数组。
【答案】
(1,3),(1,-3),(-1,3),(-1,-3),(2,2),(2,-2),(-2,2),(-2,-2),(3,1),(3,-1),(-3,1),(-3,-1)
【知识点】
绝对值的性质；分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是牢记绝对值的性质，同时注意“非零整数”的限制条件，分类时要按照固定顺序，避免出现重复或遗漏的情况，尤其不要忽略每个绝对值对应的正负两种取值。
【难度系数】
0.7
