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7. 甲骑自行车从 M 地出发沿一条公路匀速前往 N 地，乙骑摩托车从 N 地出发沿同一条公路匀速前往 M 地，已知乙比甲晚出发 0.5 h 且先到达目的地。设甲行驶的时间为 t(h)，甲、乙两人之间的距离为 y(km)，y 与 t 之间的函数关系如图①所示，请解答以下问题。
(1)写出图①中点 C，D 表示的实际意义。
(2)①求点 D 的纵坐标；
②求 M，N 两地之间的距离。
(3)设乙离 M 地的距离为 $s_乙$(km)，请直接写出 $s_乙$ 与时间 t(h)之间的关系式，并在图②所给的平面直角坐标系中画出它的图象。
(1)写出图①中点 C，D 表示的实际意义。
(2)①求点 D 的纵坐标；
②求 M，N 两地之间的距离。
(3)设乙离 M 地的距离为 $s_乙$(km)，请直接写出 $s_乙$ 与时间 t(h)之间的关系式，并在图②所给的平面直角坐标系中画出它的图象。
答案
7.解:(1)(说法不唯一,满足题意即可)题图①中点 $C$ 表示的实际意义是乙出发 $1\ \mathrm{h}$ 后与甲相遇；
点 $D$ 表示的实际意义是乙出发 $1.75\ \mathrm{h}$ 后到达目的地。
(2)①根据图象可知,相遇前甲、乙 $1\ \mathrm{h}$ 一共走了 $60\ \mathrm{km}$，
相遇后甲、乙走了 $2.25-1.5=0.75(\mathrm{h})$，
$0.75×60=45(\mathrm{km})$，
所以点 $D$ 的纵坐标为 $45$。
②由题可知,甲 $(3.5-0.5)\mathrm{h}$ 走了 $60\ \mathrm{km}$，
所以甲的速度为 $20\ \mathrm{km/h}$。
因为甲走完全程用了 $3.5\ \mathrm{h}$，
所以 M,N 两地之间的距离为 $3.5×20=70(\mathrm{km})$。
(3)当 $0≤ t≤0.5$ 时,$s_乙=70$；
当 $0.5＜t≤2.25$ 时,$s_乙=70-40(t-0.5)=-40t+90$，
函数图象如图所示。
解析
【分析】
解决本题首先要明确函数图象的横轴、纵轴代表的实际意义：横轴是甲的行驶时间，纵轴是甲乙两人的距离，乙比甲晚出发0.5h。
第一问：点C处y=0，说明两人距离为0即相遇，结合乙的出发时间即可得到C的实际意义；点D后y的增长速度变慢，说明乙已经到达目的地，只剩甲继续行驶，结合乙的出发时间即可得到D的实际意义。
第二问①：先从图象得到甲乙共同行驶1h共走了60km，求出两人速度和，再计算相遇后到乙到达的时长，用速度和乘时长即可得到D点纵坐标。
第二问②：先根据甲乙走全程的时间关系得到速度的倍数关系，结合速度和求出甲的速度，再用甲的速度乘甲走全程的总时间得到两地距离。
第三问：分时间段讨论，乙未出发时距离M地等于总路程，乙出发后距离M地等于总路程减去乙行驶的路程，化简得到分段函数，再根据端点坐标画出图象即可。
【解析】
(1) 点C的横坐标为1.5h，乙比甲晚出发0.5h，因此乙行驶时长为$1.5-0.5=1\ \mathrm{h}$，此时y=0即两人距离为0，说明两人相遇；
点D的横坐标为2.25h，此时乙行驶时长为$2.25-0.5=1.75\ \mathrm{h}$，之后y的增长速率下降，说明乙已经到达目的地。
(2) ① 从图象可知，$t=0.5\mathrm{h}$到$t=1.5\mathrm{h}$这1h内，甲乙共同行驶的路程为60km，因此甲乙的速度和为$60÷1=60\ \mathrm{km/h}$；
相遇后到乙到达目的地经过的时长为$2.25-1.5=0.75\ \mathrm{h}$，这段时间两人背向行驶，拉开的距离为$60×0.75=45\ \mathrm{km}$，即D点纵坐标为45。
② 乙走完全程的时长为$2.25-0.5=1.75\ \mathrm{h}$，甲走完全程的时长为3.5h，路程相同的情况下，时间比为$1.75:3.5=1:2$，因此乙的速度是甲的2倍；
结合甲乙速度和为$60\ \mathrm{km/h}$，得甲的速度为$60÷(1+2)=20\ \mathrm{km/h}$；
M、N两地的距离为甲的速度乘甲走全程的时间：$20×3.5=70\ \mathrm{km}$。
(3) 分情况讨论：
当$0≤ t≤0.5$时，乙还未从N地出发，因此离M地的距离为两地总距离，即$s_乙=70$；
当$0.5＜ t≤2.25$时，乙的速度为$40\ \mathrm{km/h}$，乙行驶的时长为$(t-0.5)\mathrm{h}$，行驶的路程为$40(t-0.5)\mathrm{km}$，因此离M地的距离为$70-40(t-0.5)=-40t+90$。
画图象时，以$(0,70)$、$(0.5,70)$、$(2.25,0)$为端点，$0≤ t≤0.5$段为水平线段，$0.5＜ t≤2.25$段为下降线段即可。
【答案】
(1)点$C$表示的实际意义是乙出发 $1\ \mathrm{h}$ 后与甲相遇；点$D$表示的实际意义是乙出发 $1.75\ \mathrm{h}$ 后到达目的地。
(2)①点$D$的纵坐标为$\boldsymbol{45}$；②M，N两地之间的距离为$\boldsymbol{70\ \mathrm{km}}$。
(3) $s_乙=\begin{cases}70&(0≤ t≤0.5)\\-40t+90&(0.5＜ t≤2.25)\end{cases}$，函数图象如下：
【知识点】
一次函数实际应用，行程问题，分段函数
【点评】
本题是一次函数实际应用的典型题型，需要结合图象理解特殊点的实际意义，结合路程、速度、时间的关系求解，同时注意分段函数要根据自变量的取值范围分段讨论，考查学生的读图能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.65
解决本题首先要明确函数图象的横轴、纵轴代表的实际意义：横轴是甲的行驶时间，纵轴是甲乙两人的距离，乙比甲晚出发0.5h。
第一问：点C处y=0，说明两人距离为0即相遇，结合乙的出发时间即可得到C的实际意义；点D后y的增长速度变慢，说明乙已经到达目的地，只剩甲继续行驶，结合乙的出发时间即可得到D的实际意义。
第二问①：先从图象得到甲乙共同行驶1h共走了60km，求出两人速度和，再计算相遇后到乙到达的时长，用速度和乘时长即可得到D点纵坐标。
第二问②：先根据甲乙走全程的时间关系得到速度的倍数关系，结合速度和求出甲的速度，再用甲的速度乘甲走全程的总时间得到两地距离。
第三问：分时间段讨论，乙未出发时距离M地等于总路程，乙出发后距离M地等于总路程减去乙行驶的路程，化简得到分段函数，再根据端点坐标画出图象即可。
【解析】
(1) 点C的横坐标为1.5h，乙比甲晚出发0.5h，因此乙行驶时长为$1.5-0.5=1\ \mathrm{h}$，此时y=0即两人距离为0，说明两人相遇；
点D的横坐标为2.25h，此时乙行驶时长为$2.25-0.5=1.75\ \mathrm{h}$，之后y的增长速率下降，说明乙已经到达目的地。
(2) ① 从图象可知，$t=0.5\mathrm{h}$到$t=1.5\mathrm{h}$这1h内，甲乙共同行驶的路程为60km，因此甲乙的速度和为$60÷1=60\ \mathrm{km/h}$；
相遇后到乙到达目的地经过的时长为$2.25-1.5=0.75\ \mathrm{h}$，这段时间两人背向行驶，拉开的距离为$60×0.75=45\ \mathrm{km}$，即D点纵坐标为45。
② 乙走完全程的时长为$2.25-0.5=1.75\ \mathrm{h}$，甲走完全程的时长为3.5h，路程相同的情况下，时间比为$1.75:3.5=1:2$，因此乙的速度是甲的2倍；
结合甲乙速度和为$60\ \mathrm{km/h}$，得甲的速度为$60÷(1+2)=20\ \mathrm{km/h}$；
M、N两地的距离为甲的速度乘甲走全程的时间：$20×3.5=70\ \mathrm{km}$。
(3) 分情况讨论：
当$0≤ t≤0.5$时，乙还未从N地出发，因此离M地的距离为两地总距离，即$s_乙=70$；
当$0.5＜ t≤2.25$时，乙的速度为$40\ \mathrm{km/h}$，乙行驶的时长为$(t-0.5)\mathrm{h}$，行驶的路程为$40(t-0.5)\mathrm{km}$，因此离M地的距离为$70-40(t-0.5)=-40t+90$。
画图象时，以$(0,70)$、$(0.5,70)$、$(2.25,0)$为端点，$0≤ t≤0.5$段为水平线段，$0.5＜ t≤2.25$段为下降线段即可。
【答案】
(1)点$C$表示的实际意义是乙出发 $1\ \mathrm{h}$ 后与甲相遇；点$D$表示的实际意义是乙出发 $1.75\ \mathrm{h}$ 后到达目的地。
(2)①点$D$的纵坐标为$\boldsymbol{45}$；②M，N两地之间的距离为$\boldsymbol{70\ \mathrm{km}}$。
(3) $s_乙=\begin{cases}70&(0≤ t≤0.5)\\-40t+90&(0.5＜ t≤2.25)\end{cases}$，函数图象如下：
【知识点】
一次函数实际应用，行程问题，分段函数
【点评】
本题是一次函数实际应用的典型题型，需要结合图象理解特殊点的实际意义，结合路程、速度、时间的关系求解，同时注意分段函数要根据自变量的取值范围分段讨论，考查学生的读图能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.65
8. 甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为3 000元，并且多买都有一定的优惠。甲商场的优惠活动是：第一件按原售价收费，其余每件优惠30%；乙商场的优惠活动是：每件优惠25%。设所买商品为x件，甲商场收费为$y_1$元，乙商场收费为$y_2$元。
(1)分别求出$y_1$，$y_2$与x之间的关系式。
(2)当买多少件该商品时，在甲、乙两个商场的花费一样多？
(3)当买5件该种商品时，选择哪个商场更加优惠？请说明理由。
(1)分别求出$y_1$，$y_2$与x之间的关系式。
(2)当买多少件该商品时，在甲、乙两个商场的花费一样多？
(3)当买5件该种商品时，选择哪个商场更加优惠？请说明理由。
答案
8.解:(1)$y_1=3\ 000×(1-30\%)×(x-1)+3\ 000=2\ 100x+900$，
$y_2=3\ 000×(1-25\%)x=2\ 250x$。
(2)当 $y_1=y_2$ 时,$2\ 100x+900=2\ 250x$，
解得 $x=6$,所以当买 $6$ 件该商品时,在甲、乙两个商场的花费一样多。
(3)选择乙商场更加优惠。理由：
当 $x=5$ 时,$y_1=2\ 100x+900=11\ 400$,$y_2=2\ 250x=11\ 250$。
因为 $11\ 400＞11\ 250$,所以当买 $5$ 件该种商品时,选择乙商场更加优惠。
$y_2=3\ 000×(1-25\%)x=2\ 250x$。
(2)当 $y_1=y_2$ 时,$2\ 100x+900=2\ 250x$，
解得 $x=6$,所以当买 $6$ 件该商品时,在甲、乙两个商场的花费一样多。
(3)选择乙商场更加优惠。理由：
当 $x=5$ 时,$y_1=2\ 100x+900=11\ 400$,$y_2=2\ 250x=11\ 250$。
因为 $11\ 400＞11\ 250$,所以当买 $5$ 件该种商品时,选择乙商场更加优惠。
解析
【分析】
(1) 求解两个商场收费与购买件数的函数关系式，需对应各自的优惠规则计算：甲商场第一件按原价收费，剩余(x-1)件按原价的70%收费，两部分费用相加即可得到$y_1$；乙商场每件均按原价的75%收费，直接乘总件数x即可得到$y_2$。
(2) 两个商场花费一样多时，对应$y_1=y_2$，将第(1)问得到的两个解析式代入，得到关于x的一元一次方程，解方程即可求出对应的商品件数。
(3) 要判断购买5件时哪个商场更优惠，只需将x=5分别代入两个函数解析式，计算出对应的收费后比较大小，收费更低的商场更优惠。
【解析】
(1) 根据甲商场优惠规则：
$y_1=3000 + 3000×(1-30\%)×(x-1)=3000+2100(x-1)=2100x+900$
根据乙商场优惠规则：
$y_2=3000×(1-25\%)x=2250x$
(2) 当两个商场花费相同时，$y_1=y_2$，即：
$2100x + 900 = 2250x$
移项计算得$150x=900$，解得$x=6$
(3) 当$x=5$时，分别代入两个解析式计算：
$y_1=2100×5 + 900=11400$（元）
$y_2=2250×5=11250$（元）
因为$11400＞11250$，可知乙商场收费更低。
【答案】
(1) $y_1=2100x+900$，$y_2=2250x$；
(2) 当买6件该商品时，两个商场花费一样多；
(3) 选择乙商场更加优惠。
【知识点】
一次函数实际应用、一元一次方程求解、代数式求值比较
【点评】
本题结合日常商场优惠的生活场景，考查了函数关系式列写、方程求解和数值比较的能力，解题关键是准确读懂优惠规则，正确列出对应表达式再结合问题求解。
【难度系数】
0.8
(1) 求解两个商场收费与购买件数的函数关系式，需对应各自的优惠规则计算：甲商场第一件按原价收费，剩余(x-1)件按原价的70%收费，两部分费用相加即可得到$y_1$；乙商场每件均按原价的75%收费，直接乘总件数x即可得到$y_2$。
(2) 两个商场花费一样多时，对应$y_1=y_2$，将第(1)问得到的两个解析式代入，得到关于x的一元一次方程，解方程即可求出对应的商品件数。
(3) 要判断购买5件时哪个商场更优惠，只需将x=5分别代入两个函数解析式，计算出对应的收费后比较大小，收费更低的商场更优惠。
【解析】
(1) 根据甲商场优惠规则：
$y_1=3000 + 3000×(1-30\%)×(x-1)=3000+2100(x-1)=2100x+900$
根据乙商场优惠规则：
$y_2=3000×(1-25\%)x=2250x$
(2) 当两个商场花费相同时，$y_1=y_2$，即：
$2100x + 900 = 2250x$
移项计算得$150x=900$，解得$x=6$
(3) 当$x=5$时，分别代入两个解析式计算：
$y_1=2100×5 + 900=11400$（元）
$y_2=2250×5=11250$（元）
因为$11400＞11250$，可知乙商场收费更低。
【答案】
(1) $y_1=2100x+900$，$y_2=2250x$；
(2) 当买6件该商品时，两个商场花费一样多；
(3) 选择乙商场更加优惠。
【知识点】
一次函数实际应用、一元一次方程求解、代数式求值比较
【点评】
本题结合日常商场优惠的生活场景，考查了函数关系式列写、方程求解和数值比较的能力，解题关键是准确读懂优惠规则，正确列出对应表达式再结合问题求解。
【难度系数】
0.8
