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9. 如图,已知一次函数 $y=kx+5$ 的图象经过 $A(-3,-1),B(1,m)$ 两点。
(1)求 $k$ 和 $m$ 的值；
(2)求 $△ AOB$ 的面积。
(1)求 $k$ 和 $m$ 的值；
(2)求 $△ AOB$ 的面积。
答案
9.解:(1)将点 $A$ 的坐标 $(-3,-1)$ 代入 $y=kx+5$,得 $-3k+5=-1$,解得 $k=2$,所以 $y=2x+5$。
因为 $B(1,m)$ 在 $y=2x+5$ 的图象上，
所以 $m=2×1+5=7$。
(2)设直线 $y=2x+5$ 与 $y$ 轴交于点 $D$,则点 $D$ 的坐标为 $(0,5)$。
所以 $S_{△ AOB}=S_{△ AOD}+S_{△ DOB}=\dfrac{1}{2}×5×3+\dfrac{1}{2}×5×1=10$。
因为 $B(1,m)$ 在 $y=2x+5$ 的图象上，
所以 $m=2×1+5=7$。
(2)设直线 $y=2x+5$ 与 $y$ 轴交于点 $D$,则点 $D$ 的坐标为 $(0,5)$。
所以 $S_{△ AOB}=S_{△ AOD}+S_{△ DOB}=\dfrac{1}{2}×5×3+\dfrac{1}{2}×5×1=10$。
解析
【分析】
(1) 求解k和m的值可利用一次函数图象上点的坐标特征：若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式。首先将已知点A的坐标代入一次函数表达式，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k值；得到完整的函数解析式后，再将点B的横坐标代入解析式，即可求出m的值。
(2) 求△AOB的面积时，由于△AOB没有边在坐标轴上，直接计算底和高较为麻烦，因此采用割补法：先找到一次函数图象与y轴的交点D，将△AOB分割为△AOD和△DOB两个三角形，两个三角形共底OD，高分别为点A、点B横坐标的绝对值，分别计算两个三角形的面积再求和，即可得到△AOB的面积。
【解析】
(1) 把点A(-3,-1)代入$y=kx+5$，可得：
$-3k + 5 = -1$
解得$k=2$，
因此一次函数的解析式为$y=2x+5$。
将点B(1,m)代入$y=2x+5$，可得：
$m=2×1 + 5=7$。
(2) 设直线$y=2x+5$与y轴的交点为D，当$x=0$时，$y=5$，即点D的坐标为(0,5)，则$OD=5$。
$△ AOD$中，OD边上的高为点A横坐标的绝对值，即$|-3|=3$；$△ DOB$中，OD边上的高为点B横坐标的绝对值，即$|1|=1$。
因此$S_{△ AOB}=S_{△ AOD}+S_{△ DOB}=\frac{1}{2}×5×3 + \frac{1}{2}×5×1=10$。
【答案】
(1) $k=2$，$m=7$；
(2) $△ AOB$的面积为10。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；割补法求面积
【点评】
本题属于一次函数基础应用题，解题核心是熟练掌握函数图象与点坐标的对应关系，面对不规则图形面积计算时，能灵活运用割补法将其转化为易计算的图形面积的和差关系求解，是一次函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
(1) 求解k和m的值可利用一次函数图象上点的坐标特征：若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式。首先将已知点A的坐标代入一次函数表达式，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k值；得到完整的函数解析式后，再将点B的横坐标代入解析式，即可求出m的值。
(2) 求△AOB的面积时，由于△AOB没有边在坐标轴上，直接计算底和高较为麻烦，因此采用割补法：先找到一次函数图象与y轴的交点D，将△AOB分割为△AOD和△DOB两个三角形，两个三角形共底OD，高分别为点A、点B横坐标的绝对值，分别计算两个三角形的面积再求和，即可得到△AOB的面积。
【解析】
(1) 把点A(-3,-1)代入$y=kx+5$，可得：
$-3k + 5 = -1$
解得$k=2$，
因此一次函数的解析式为$y=2x+5$。
将点B(1,m)代入$y=2x+5$，可得：
$m=2×1 + 5=7$。
(2) 设直线$y=2x+5$与y轴的交点为D，当$x=0$时，$y=5$，即点D的坐标为(0,5)，则$OD=5$。
$△ AOD$中，OD边上的高为点A横坐标的绝对值，即$|-3|=3$；$△ DOB$中，OD边上的高为点B横坐标的绝对值，即$|1|=1$。
因此$S_{△ AOB}=S_{△ AOD}+S_{△ DOB}=\frac{1}{2}×5×3 + \frac{1}{2}×5×1=10$。
【答案】
(1) $k=2$，$m=7$；
(2) $△ AOB$的面积为10。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；割补法求面积
【点评】
本题属于一次函数基础应用题，解题核心是熟练掌握函数图象与点坐标的对应关系，面对不规则图形面积计算时，能灵活运用割补法将其转化为易计算的图形面积的和差关系求解，是一次函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
10. 如图，函数$y=-x+2$的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，C为线段OA上的一个动点，直线l经过点B和点C。
(1)若直线l将$△ AOB$分成面积相等的两个部分，求直线l对应的函数表达式；
(2)若直线l将$△ AOB$分成面积比为1：3的两个部分，求直线l对应的函数表达式。
(1)若直线l将$△ AOB$分成面积相等的两个部分，求直线l对应的函数表达式；
(2)若直线l将$△ AOB$分成面积比为1：3的两个部分，求直线l对应的函数表达式。
答案
10.解:(1)对于 $y=-x+2$,当 $x=0$ 时,$y=2$;当 $y=0$ 时,$x=2$，
所以 $B(0,2),A(2,0)$，
所以 $OA=2,OB=2$。
当直线 $l$ 将 $△ AOB$ 分成面积相等的两个部分时,点 $C$ 为 $OA$ 的中点 $(1,0)$。设直线 $l$ 对应的函数表达式为 $y=kx+2$,将 $C(1,0)$ 的坐标代入,得 $k+2=0$,解得 $k=-2$,所以 $y=-2x+2$。
(2)当直线 $l$ 将 $△ AOB$ 分成面积比为 $1:3$ 的两个部分时,点 $C$ 为 $OA$ 的四等分点,应分以下两种情况进行讨论：
①当点 $C$ 靠近点 $A$ 时,$C(1.5,0)$,直线 $l$ 对应的函数表达式为 $y=-\dfrac{4}{3}x+2$；
②当点 $C$ 靠近点 $O$ 时,$C(0.5,0)$,直线 $l$ 对应的函数表达式为 $y=-4x+2$。
综上所述,直线 $l$ 对应的函数表达式为 $y=-\dfrac{4}{3}x+2$ 或 $y=-4x+2$。
所以 $B(0,2),A(2,0)$，
所以 $OA=2,OB=2$。
当直线 $l$ 将 $△ AOB$ 分成面积相等的两个部分时,点 $C$ 为 $OA$ 的中点 $(1,0)$。设直线 $l$ 对应的函数表达式为 $y=kx+2$,将 $C(1,0)$ 的坐标代入,得 $k+2=0$,解得 $k=-2$,所以 $y=-2x+2$。
(2)当直线 $l$ 将 $△ AOB$ 分成面积比为 $1:3$ 的两个部分时,点 $C$ 为 $OA$ 的四等分点,应分以下两种情况进行讨论：
①当点 $C$ 靠近点 $A$ 时,$C(1.5,0)$,直线 $l$ 对应的函数表达式为 $y=-\dfrac{4}{3}x+2$；
②当点 $C$ 靠近点 $O$ 时,$C(0.5,0)$,直线 $l$ 对应的函数表达式为 $y=-4x+2$。
综上所述,直线 $l$ 对应的函数表达式为 $y=-\dfrac{4}{3}x+2$ 或 $y=-4x+2$。
解析
【分析】
解题时首先求出函数$y=-x+2$与坐标轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度，明确$△ AOB$的面积。由于直线l过B、C两点，分出的$△ BOC$和$△ ABC$同高（高均为OB的长度），因此两个三角形的面积比等于底OC与CA的长度比。(1)要平分$△ AOB$的面积，即两部分面积相等，可得C为OA中点，求出C点坐标后，用待定系数法即可求直线l的解析式；(2)面积比为1:3时，需分两种情况讨论：小面积部分为$△ BOC$、小面积部分为$△ ABC$，分别求出对应C点坐标后代入求解析式，注意不要漏解。
【解析】
(1) 对于函数$y=-x+2$，当$x=0$时，$y=2$；当$y=0$时，$x=2$，因此$B(0,2)$，$A(2,0)$，可得$OA=2$，$OB=2$。
若直线l将$△ AOB$分成面积相等的两部分，则C为OA的中点，即$C(1,0)$。
设直线l对应的函数表达式为$y=kx+2$，将$C(1,0)$代入得：$k+2=0$，解得$k=-2$，因此直线l的解析式为$y=-2x+2$。
(2) 若直线l将$△ AOB$分成面积比为1:3的两部分，需分两种情况讨论：
① 当$△ BOC$的面积占1份，$△ ABC$的面积占3份时，$OC:OA=1:4$，因此$C(0.5,0)$，代入$y=kx+2$得：$0.5k+2=0$，解得$k=-4$，此时解析式为$y=-4x+2$；
② 当$△ BOC$的面积占3份，$△ ABC$的面积占1份时，$OC:OA=3:4$，因此$C(1.5,0)$，代入$y=kx+2$得：$1.5k+2=0$，解得$k=-\dfrac{4}{3}$，此时解析式为$y=-\dfrac{4}{3}x+2$。
综上，直线l的解析式为$y=-\dfrac{4}{3}x+2$或$y=-4x+2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-2x+2}$；
(2) $\boldsymbol{y=-\dfrac{4}{3}x+2}$或$\boldsymbol{y=-4x+2}$
【知识点】
一次函数交点坐标求解，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与三角形面积的综合题，解题关键是利用同高三角形面积比等于对应底边长的比快速确定动点C的位置，第二问要注意分类讨论两种面积分配情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先求出函数$y=-x+2$与坐标轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度，明确$△ AOB$的面积。由于直线l过B、C两点，分出的$△ BOC$和$△ ABC$同高（高均为OB的长度），因此两个三角形的面积比等于底OC与CA的长度比。(1)要平分$△ AOB$的面积，即两部分面积相等，可得C为OA中点，求出C点坐标后，用待定系数法即可求直线l的解析式；(2)面积比为1:3时，需分两种情况讨论：小面积部分为$△ BOC$、小面积部分为$△ ABC$，分别求出对应C点坐标后代入求解析式，注意不要漏解。
【解析】
(1) 对于函数$y=-x+2$，当$x=0$时，$y=2$；当$y=0$时，$x=2$，因此$B(0,2)$，$A(2,0)$，可得$OA=2$，$OB=2$。
若直线l将$△ AOB$分成面积相等的两部分，则C为OA的中点，即$C(1,0)$。
设直线l对应的函数表达式为$y=kx+2$，将$C(1,0)$代入得：$k+2=0$，解得$k=-2$，因此直线l的解析式为$y=-2x+2$。
(2) 若直线l将$△ AOB$分成面积比为1:3的两部分，需分两种情况讨论：
① 当$△ BOC$的面积占1份，$△ ABC$的面积占3份时，$OC:OA=1:4$，因此$C(0.5,0)$，代入$y=kx+2$得：$0.5k+2=0$，解得$k=-4$，此时解析式为$y=-4x+2$；
② 当$△ BOC$的面积占3份，$△ ABC$的面积占1份时，$OC:OA=3:4$，因此$C(1.5,0)$，代入$y=kx+2$得：$1.5k+2=0$，解得$k=-\dfrac{4}{3}$，此时解析式为$y=-\dfrac{4}{3}x+2$。
综上，直线l的解析式为$y=-\dfrac{4}{3}x+2$或$y=-4x+2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-2x+2}$；
(2) $\boldsymbol{y=-\dfrac{4}{3}x+2}$或$\boldsymbol{y=-4x+2}$
【知识点】
一次函数交点坐标求解，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与三角形面积的综合题，解题关键是利用同高三角形面积比等于对应底边长的比快速确定动点C的位置，第二问要注意分类讨论两种面积分配情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
11. 如图，直线$y=kx+b$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$，$B$，且$OA=8$，$OB=6$，点$P$在第一象限内，且是直线$y=kx+b$上的一个动点，点$P$的横坐标为$m$。
(1)求直线$AB$对应的函数表达式。
(2)若$C$是$x$轴上的一点，$OC=2$，求$△ ACP$的面积$S$与$m$之间的关系式。
(3)在$x$轴上是否存在点$Q$，使得以$A$，$B$，$Q$为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由。
(1)求直线$AB$对应的函数表达式。
(2)若$C$是$x$轴上的一点，$OC=2$，求$△ ACP$的面积$S$与$m$之间的关系式。
(3)在$x$轴上是否存在点$Q$，使得以$A$，$B$，$Q$为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由。
答案
11.解:(1)由 $OB=6,OA=8$ 可知,$b=6,8k+b=0$，
解得 $k=-\dfrac{3}{4}$，
所以直线 $AB$ 对应的函数表达式为 $y=-\dfrac{3}{4}x+6$。
(2)因为点 $P$ 是直线 $AB$ 上的一点，
所以 $P(m,-\dfrac{3}{4}m+6)$。
又因为点 $C$ 是 $x$ 轴上的一点,当点 $C$ 在 $x$ 轴的正半轴上时,$AC=OA-OC=8-2=6$，
$S=\dfrac{1}{2}×6×(-\dfrac{3}{4}m+6)=-\dfrac{9}{4}m+18$；
当点 $C$ 在 $x$ 轴的负半轴上时，
$AC=OA+OC=8+2=10$，
$S=\dfrac{1}{2}×10×(-\dfrac{3}{4}m+6)=-\dfrac{15}{4}m+30$。
因此,$S=-\dfrac{9}{4}m+18$ 或 $S=-\dfrac{15}{4}m+30$,其中 $0＜m＜8$。
(3)存在这样的点 $Q$。点 $Q$ 的坐标是 $(18,0)$ 或 $(-2,0)$ 或 $(-8,0)$ 或 $(\dfrac{7}{4},0)$。
解得 $k=-\dfrac{3}{4}$，
所以直线 $AB$ 对应的函数表达式为 $y=-\dfrac{3}{4}x+6$。
(2)因为点 $P$ 是直线 $AB$ 上的一点，
所以 $P(m,-\dfrac{3}{4}m+6)$。
又因为点 $C$ 是 $x$ 轴上的一点,当点 $C$ 在 $x$ 轴的正半轴上时,$AC=OA-OC=8-2=6$，
$S=\dfrac{1}{2}×6×(-\dfrac{3}{4}m+6)=-\dfrac{9}{4}m+18$；
当点 $C$ 在 $x$ 轴的负半轴上时，
$AC=OA+OC=8+2=10$，
$S=\dfrac{1}{2}×10×(-\dfrac{3}{4}m+6)=-\dfrac{15}{4}m+30$。
因此,$S=-\dfrac{9}{4}m+18$ 或 $S=-\dfrac{15}{4}m+30$,其中 $0＜m＜8$。
(3)存在这样的点 $Q$。点 $Q$ 的坐标是 $(18,0)$ 或 $(-2,0)$ 或 $(-8,0)$ 或 $(\dfrac{7}{4},0)$。
解析
【分析】
(1) 求一次函数解析式使用待定系数法，先根据OA=8、OB=6确定A(8,0)、B(0,6)两点坐标，代入y=kx+b列方程组求解k、b即可。
(2) 求△ACP面积时，首先注意OC=2有两种情况：C在x轴正半轴或负半轴，分别计算AC的长度；点P在直线AB上，横坐标为m，可由解析式得到P点纵坐标，△ACP以AC为底时，高就是P点的纵坐标（P在第一象限，纵坐标为正），结合三角形面积公式即可得到S与m的关系式，同时注意P在第一象限，因此m的取值范围为0＜m＜8。
(3) 等腰三角形存在性问题分三类讨论：①AB为腰，A为顶角顶点；②AB为腰，B为顶角顶点；③AB为底，Q为顶角顶点，结合x轴上点纵坐标为0的特点，分别计算Q点坐标即可。
【解析】
(1) 由题意得A(8,0)，B(0,6)，将两点代入y=kx+b得：
$\begin{cases}b=6 \\ 8k+b=0\end{cases}$
将b=6代入8k+b=0，解得$k=-\dfrac{3}{4}$，
因此直线AB对应的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x+6$。
(2)
∵点P在直线AB上，横坐标为m，
∴P点坐标为$(m,-\dfrac{3}{4}m+6)$，
∵P在第一象限，
∴$0＜m＜8$，
OC=2，分两种情况讨论：
①当C在x轴正半轴时，C(2,0)，$AC=8-2=6$，
$S=\dfrac{1}{2}×6×(-\dfrac{3}{4}m+6)=-\dfrac{9}{4}m+18$；
②当C在x轴负半轴时，C(-2,0)，$AC=8+2=10$，
$S=\dfrac{1}{2}×10×(-\dfrac{3}{4}m+6)=-\dfrac{15}{4}m+30$。
综上，$S=-\dfrac{9}{4}m+18(0＜m＜8)$或$S=-\dfrac{15}{4}m+30(0＜m＜8)$。
(3) 先计算$AB=\sqrt{8^2+6^2}=10$，分三类讨论：
①AB=AQ，A为顶角顶点：AQ=10，Q在A右侧时坐标为(18,0)，Q在A左侧时坐标为(-2,0)；
②AB=BQ，B为顶角顶点：OB垂直平分AQ，故Q坐标为(-8,0)；
③AQ=BQ，Q为顶角顶点：设Q(q,0)，则$(q-8)^2=q^2+6^2$，解得$q=\dfrac{7}{4}$，即$Q(\dfrac{7}{4},0)$。
因此存在符合条件的点Q。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{3}{4}x+6$
(2) $S=-\dfrac{9}{4}m+18(0＜m＜8)$或$S=-\dfrac{15}{4}m+30(0＜m＜8)$
(3) 存在，点Q的坐标为$(18,0)$、$(-2,0)$、$(-8,0)$、$(\dfrac{7}{4},0)$
【知识点】
待定系数法求解析式，三角形面积计算，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，解题核心是合理运用分类讨论思想，第二问需考虑点C的两种位置，第三问等腰三角形要分不同顶角顶点的情况求解，避免漏解，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 求一次函数解析式使用待定系数法，先根据OA=8、OB=6确定A(8,0)、B(0,6)两点坐标，代入y=kx+b列方程组求解k、b即可。
(2) 求△ACP面积时，首先注意OC=2有两种情况：C在x轴正半轴或负半轴，分别计算AC的长度；点P在直线AB上，横坐标为m，可由解析式得到P点纵坐标，△ACP以AC为底时，高就是P点的纵坐标（P在第一象限，纵坐标为正），结合三角形面积公式即可得到S与m的关系式，同时注意P在第一象限，因此m的取值范围为0＜m＜8。
(3) 等腰三角形存在性问题分三类讨论：①AB为腰，A为顶角顶点；②AB为腰，B为顶角顶点；③AB为底，Q为顶角顶点，结合x轴上点纵坐标为0的特点，分别计算Q点坐标即可。
【解析】
(1) 由题意得A(8,0)，B(0,6)，将两点代入y=kx+b得：
$\begin{cases}b=6 \\ 8k+b=0\end{cases}$
将b=6代入8k+b=0，解得$k=-\dfrac{3}{4}$，
因此直线AB对应的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x+6$。
(2)
∵点P在直线AB上，横坐标为m，
∴P点坐标为$(m,-\dfrac{3}{4}m+6)$，
∵P在第一象限，
∴$0＜m＜8$，
OC=2，分两种情况讨论：
①当C在x轴正半轴时，C(2,0)，$AC=8-2=6$，
$S=\dfrac{1}{2}×6×(-\dfrac{3}{4}m+6)=-\dfrac{9}{4}m+18$；
②当C在x轴负半轴时，C(-2,0)，$AC=8+2=10$，
$S=\dfrac{1}{2}×10×(-\dfrac{3}{4}m+6)=-\dfrac{15}{4}m+30$。
综上，$S=-\dfrac{9}{4}m+18(0＜m＜8)$或$S=-\dfrac{15}{4}m+30(0＜m＜8)$。
(3) 先计算$AB=\sqrt{8^2+6^2}=10$，分三类讨论：
①AB=AQ，A为顶角顶点：AQ=10，Q在A右侧时坐标为(18,0)，Q在A左侧时坐标为(-2,0)；
②AB=BQ，B为顶角顶点：OB垂直平分AQ，故Q坐标为(-8,0)；
③AQ=BQ，Q为顶角顶点：设Q(q,0)，则$(q-8)^2=q^2+6^2$，解得$q=\dfrac{7}{4}$，即$Q(\dfrac{7}{4},0)$。
因此存在符合条件的点Q。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{3}{4}x+6$
(2) $S=-\dfrac{9}{4}m+18(0＜m＜8)$或$S=-\dfrac{15}{4}m+30(0＜m＜8)$
(3) 存在，点Q的坐标为$(18,0)$、$(-2,0)$、$(-8,0)$、$(\dfrac{7}{4},0)$
【知识点】
待定系数法求解析式，三角形面积计算，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，解题核心是合理运用分类讨论思想，第二问需考虑点C的两种位置，第三问等腰三角形要分不同顶角顶点的情况求解，避免漏解，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
