1. 若$\frac{1}{4}a+1$有算术平方根,则$a$能取的最小整数为 ( )

A.0
B.$-4$
C.4
D.$-8$

B

要使$\frac{1}{4}a + 1$有算术平方根，则$\frac{1}{4}a + 1 \geq 0$。
解不等式：$\frac{1}{4}a + 1 \geq 0$
$\frac{1}{4}a \geq -1$
$a \geq -4$
所以$a$能取的最小整数为$-4$。
B

2. (2023·孝感改编)已知$\sqrt{-10m}$是正整数,则满足条件的最大负整数$m$为 ( )

A.$-10$
B.$-40$
C.$-90$
D.$-160$

A

要使$\sqrt{-10m}$是正整数，设$\sqrt{-10m}=k$（$k$为正整数），则$-10m = k^2$，即$m=-\dfrac{k^2}{10}$。
因为$m$是负整数，所以$k^2$必须是$10$的倍数，$k^2$能被$10$整除，$k$必含因数$2$和$5$，设$k = 10n$（$n$为正整数），则$k^2=100n^2$，$m=-\dfrac{100n^2}{10}=-10n^2$。
要找最大负整数$m$，即$-10n^2$最大，$n$应取最小正整数$1$，此时$m=-10×1^2=-10$。
A

3. 若$\sqrt{8-x}$为整数,$x$为正整数,则$x$的值是______.

4或7或8

$\because \sqrt{8-x}$为整数，
$\therefore 8-x$为完全平方数，设$8-x=k^2$（$k$为非负整数），则$x=8 - k^2$。
$\because x$为正整数，
$\therefore 8 - k^2＞0$，即$k^2＜8$。
$\therefore k$的可能取值为$0$，$1$，$2$。
当$k=0$时，$x=8 - 0^2=8$；
当$k=1$时，$x=8 - 1^2=7$；
当$k=2$时，$x=8 - 2^2=4$；
当$k\geq3$时，$k^2\geq9$，$x=8 - k^2\leq -1$，不符合$x$为正整数。
综上，$x$的值是$4$或$7$或$8$。

4. 若$a$,$b$都是实数,$b= \sqrt{1-2a}+\sqrt{2a-1}-2$,则$a^b$的值为______.

4 解析:根据题意,得{1-2a≥0,2a-1≥0,即{a≤1/2,a≥1/2,
∴a=1/2,
∴b=0+0-2=-2,
∴a^b=(1/2)^(-2)=4.

5. (2023·湘潭改编)实数$a$,$b满足\sqrt{a+1}+4a^2+4ab+b^2= 0$,则$b^a$的值为 ( )

A.2
B.$\frac{1}{2}$
C.$-2$
D.$-\frac{1}{2}$

B

$\sqrt{a+1}+4a^2+4ab+b^2=0$可变形为$\sqrt{a+1}+(2a+b)^2=0$。
因为$\sqrt{a+1}\geq0$，$(2a+b)^2\geq0$，所以$\begin{cases}a+1=0\\2a+b=0\end{cases}$。
解得$a=-1$，将$a=-1$代入$2a+b=0$，得$2×(-1)+b=0$，$b=2$。
则$b^a=2^{-1}=\frac{1}{2}$。
B

6. 当$x$的值为______时,$\sqrt{2x+1}-16$取得最小值,最小值为______.

-1/2 -16

要使$\sqrt{2x + 1} - 16$取得最小值，因为$\sqrt{2x + 1} \geq 0$，当$\sqrt{2x + 1} = 0$时，原式有最小值。此时$2x + 1 = 0$，解得$x = -\dfrac{1}{2}$，最小值为$0 - 16 = -16$。
$-\dfrac{1}{2}$；$-16$

7. 已知实数$a$,$b$,$c满足(a-\sqrt{17})^2+\sqrt{5-b}+\vert c-3×\sqrt{2}\vert=0$,则实数$a$,$b$,$c$的大小关系为______(用“＜”连接).

a＜c＜b

因为$(a - \sqrt{17})^2 \geq 0$，$\sqrt{5 - b} \geq 0$，$\vert c - 3\sqrt{2}\vert \geq 0$，且$(a - \sqrt{17})^2 + \sqrt{5 - b} + \vert c - 3\sqrt{2}\vert = 0$，所以$a - \sqrt{17} = 0$，$5 - b = 0$，$c - 3\sqrt{2} = 0$。解得$a = \sqrt{17}$，$b = 5$，$c = 3\sqrt{2}$。
因为$\sqrt{17} \approx 4.123$，$3\sqrt{2} \approx 4.242$，所以$a ＜ c ＜ b$。
$a ＜ c ＜ b$

8. (2023·内江改编)在$\triangle ABC$中,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C的对边长分别为a$,$b$,$c$,且满足$a^2+\vert c-10\vert+\sqrt{b-8}= 12a-36$,比较大小：$c^2-a^2$______$b^2$(填“＞”“＜”或“=”).

=

$a^2+\vert c-10\vert+\sqrt{b-8}= 12a-36$，
移项得$a^2 - 12a + 36 + \vert c - 10\vert + \sqrt{b - 8} = 0$，
即$(a - 6)^2 + \vert c - 10\vert + \sqrt{b - 8} = 0$，
因为$(a - 6)^2\geq0$，$\vert c - 10\vert\geq0$，$\sqrt{b - 8}\geq0$，
所以$a - 6 = 0$，$c - 10 = 0$，$b - 8 = 0$，
解得$a = 6$，$b = 8$，$c = 10$，
$c^2 - a^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$，
$b^2 = 8^2 = 64$，
所以$c^2 - a^2 = b^2$。
=

9. 若$\sqrt{x+3}的值与\sqrt{2y-4}$的值互为相反数,则$(2x-3y+10)^2$的平方根为______.

±2

因为$\sqrt{x+3}$与$\sqrt{2y - 4}$互为相反数，所以$\sqrt{x+3} + \sqrt{2y - 4} = 0$。
由于$\sqrt{x+3} \geq 0$，$\sqrt{2y - 4} \geq 0$，则$\sqrt{x+3} = 0$且$\sqrt{2y - 4} = 0$。
解得$x + 3 = 0$，$x = - 3$；$2y - 4 = 0$，$y = 2$。
将$x = - 3$，$y = 2$代入$(2x - 3y + 10)^2$，得：
$\begin{aligned}&(2×(-3) - 3×2 + 10)^2\\=&(-6 - 6 + 10)^2\\=&(-2)^2\\=&4\end{aligned}$
$4$的平方根为$\pm 2$。
$\pm 2$

10. 若实数$a$,$b满足\vert a-b+1\vert=-\sqrt{a+2b+4}$,求$3a+3b$的立方根.

根据题意,得|a-b+1|+√(a+2b+4)=0.
∵|a-b+1|≥0,√(a+2b+4)≥0,
∴|a-b+1|=0,√(a+2b+4)=0,即{a-b+1=0,a+2b+4=0,解得{a=-2,b=-1,
∴3a+3b的立方根为√[3](3a+3b)=√[3](-9)=-√[3]
(9)

11. 若实数$x$,$y$,$z满足\frac{1}{2}\vert x-y\vert+z^2+\frac{1}{4}-z+\sqrt{2y+z}= 0$,求$x(y+z)$的值.

解：原等式可变形为：
$\frac{1}{2}\vert x - y\vert + \left(z^2 - z + \frac{1}{4}\right) + \sqrt{2y + z} = 0$
即：
$\frac{1}{2}\vert x - y\vert + \left(z - \frac{1}{2}\right)^2 + \sqrt{2y + z} = 0$
因为$\frac{1}{2}\vert x - y\vert \geq 0$，$\left(z - \frac{1}{2}\right)^2 \geq 0$，$\sqrt{2y + z} \geq 0$，且它们的和为0，所以：
$\begin{cases}\frac{1}{2}\vert x - y\vert = 0 \\\left(z - \frac{1}{2}\right)^2 = 0 \\\sqrt{2y + z} = 0\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = y \\z = \frac{1}{2} \\2y + z = 0\end{cases}$
将$z = \frac{1}{2}$代入$2y + z = 0$，得$2y + \frac{1}{2} = 0$，$y = -\frac{1}{4}$，所以$x = -\frac{1}{4}$。
则$x(y + z) = -\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4} × \frac{1}{4} = -\frac{1}{16}$。
答案：$-\frac{1}{16}$