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1. ★★★（2025·沈阳期中）一次函数$y=acx+b$与二次函数$y=ax^2+bx+c$在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
B
）答案
1. B
解析
【分析】
本题是同一平面直角坐标系中一次函数与二次函数图象的匹配问题，采用“符号验证+排除法”解题：首先从二次函数的图象特征（开口方向、与y轴交点位置、对称轴位置）推导系数a、b、c的符号，再验证一次函数的斜率（ac）、与y轴交点（b）的符号是否和推导结果一致，不一致的选项直接排除。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：二次函数开口向上，得$a＞0$；与y轴交于正半轴，得$c＞0$；对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$得$b＜0$。一次函数斜率为正，即$ac＞0$，与$a＞0、c＞0$一致；但一次函数与y轴交于正半轴，即$b＞0$，和二次函数推导的$b＜0$矛盾，排除A。
2. 选项B：二次函数开口向上，得$a＞0$；与y轴交于正半轴，得$c＞0$；对称轴在y轴左侧，即$-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＞0$得$b＞0$。一次函数斜率为正，即$ac=a×c＞0$，符合推导结果；一次函数与y轴交于正半轴，即$b＞0$，也符合推导结果，B成立。
3. 选项C：二次函数开口向下，得$a＜0$；与y轴交于正半轴，得$c＞0$，故$ac＜0$；对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$得$b＞0$。一次函数斜率为负，与$ac＜0$一致；但一次函数与y轴交于负半轴，即$b＜0$，和推导的$b＞0$矛盾，排除C。
4. 选项D：二次函数开口向下，得$a＜0$；与y轴交于正半轴，得$c＞0$，故$ac＜0$。一次函数斜率为正，即$ac＞0$，和推导的$ac＜0$矛盾，排除D。
综上只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数图象性质
2. 二次函数图象与系数关系
3. 函数图象匹配判断
【点评】
本题是函数图象类的基础常考题，解题关键是熟练掌握一次、二次函数图象特征和系数符号的对应关系，通过交叉验证系数符号是否一致快速排除错误选项。
【难度系数】
0.6
本题是同一平面直角坐标系中一次函数与二次函数图象的匹配问题，采用“符号验证+排除法”解题：首先从二次函数的图象特征（开口方向、与y轴交点位置、对称轴位置）推导系数a、b、c的符号，再验证一次函数的斜率（ac）、与y轴交点（b）的符号是否和推导结果一致，不一致的选项直接排除。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：二次函数开口向上，得$a＞0$；与y轴交于正半轴，得$c＞0$；对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$得$b＜0$。一次函数斜率为正，即$ac＞0$，与$a＞0、c＞0$一致；但一次函数与y轴交于正半轴，即$b＞0$，和二次函数推导的$b＜0$矛盾，排除A。
2. 选项B：二次函数开口向上，得$a＞0$；与y轴交于正半轴，得$c＞0$；对称轴在y轴左侧，即$-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＞0$得$b＞0$。一次函数斜率为正，即$ac=a×c＞0$，符合推导结果；一次函数与y轴交于正半轴，即$b＞0$，也符合推导结果，B成立。
3. 选项C：二次函数开口向下，得$a＜0$；与y轴交于正半轴，得$c＞0$，故$ac＜0$；对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$得$b＞0$。一次函数斜率为负，与$ac＜0$一致；但一次函数与y轴交于负半轴，即$b＜0$，和推导的$b＞0$矛盾，排除C。
4. 选项D：二次函数开口向下，得$a＜0$；与y轴交于正半轴，得$c＞0$，故$ac＜0$。一次函数斜率为正，即$ac＞0$，和推导的$ac＜0$矛盾，排除D。
综上只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数图象性质
2. 二次函数图象与系数关系
3. 函数图象匹配判断
【点评】
本题是函数图象类的基础常考题，解题关键是熟练掌握一次、二次函数图象特征和系数符号的对应关系，通过交叉验证系数符号是否一致快速排除错误选项。
【难度系数】
0.6
2. （2026·武汉期中）如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交于点$A(-1,0)$，$B(3,0)$，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①$b+2c＞0$；②$a+b≥ am^2+bm$（m为任意实数）；③若点P为对称轴上的动点，则$|PB-PC|$有最大值，最大值为$\sqrt{c^2+9}$；④若m是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，则一定有$b^2-4ac=(2am+b)^2$成立。其中正确的序号有（
A.①②③④
B.①②③
C.①③④
D.①②④
D
）A.①②③④
B.①②③
C.①③④
D.①②④
答案
2. D 解析:
∵ 抛物线开口向下,
∴ a＜0.
∵ 抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),
∴ 对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$,即$-\frac{b}{2a}=1$,
∴ b=-2a＞0.
∵ 抛物线交y轴的正半轴于点C,
∴ c＞0,
∴ b+2c＞0,故①正确;
∵ 对称轴为直线x=1,图象开口向下,
∴ 当x=1时,二次函数有最大值,最大值为a+b+c,
∴ a+b+c≥am²+bm+c(m为任意实数),即a+b≥am²+bm,故②正确;
∵ 抛物线交y轴的正半轴于点C,
∴ C(0,c),由对称性得,PA = PB,
∴ |PB-PC| = |PA-PC|≤AC.又
∵ $AC=\sqrt{OC^2+OA^2}=\sqrt{c^2+1}$,
∴ $|PB-PC|≤\sqrt{c^2+1}$,即|PB-PC|的最大值为$\sqrt{c^2+1}$,故③错误;
∵ m是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,
∴ am²+bm+c=0,即am²+bm=-c,
∴ 一定有$(2am+b)^2=4a^2m^2+4abm+b^2=4a(am^2+bm)+b^2=-4ac+b^2$,
∴ 一定有$b^2-4ac=(2am+b)^2$成立,故④正确.综上所述,正确的序号有①②④.故选D.
∵ 抛物线开口向下,
∴ a＜0.
∵ 抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),
∴ 对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$,即$-\frac{b}{2a}=1$,
∴ b=-2a＞0.
∵ 抛物线交y轴的正半轴于点C,
∴ c＞0,
∴ b+2c＞0,故①正确;
∵ 对称轴为直线x=1,图象开口向下,
∴ 当x=1时,二次函数有最大值,最大值为a+b+c,
∴ a+b+c≥am²+bm+c(m为任意实数),即a+b≥am²+bm,故②正确;
∵ 抛物线交y轴的正半轴于点C,
∴ C(0,c),由对称性得,PA = PB,
∴ |PB-PC| = |PA-PC|≤AC.又
∵ $AC=\sqrt{OC^2+OA^2}=\sqrt{c^2+1}$,
∴ $|PB-PC|≤\sqrt{c^2+1}$,即|PB-PC|的最大值为$\sqrt{c^2+1}$,故③错误;
∵ m是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,
∴ am²+bm+c=0,即am²+bm=-c,
∴ 一定有$(2am+b)^2=4a^2m^2+4abm+b^2=4a(am^2+bm)+b^2=-4ac+b^2$,
∴ 一定有$b^2-4ac=(2am+b)^2$成立,故④正确.综上所述,正确的序号有①②④.故选D.
解析
【分析】
解题时先根据抛物线与x轴的两个交点坐标求出对称轴，推导a与b的数量关系，结合抛物线开口方向、与y轴交点位置确定a、b、c的符号，再逐一验证4个结论：①直接根据b、c的符号判断式子正负；②利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质推导不等式；③利用抛物线对称性将PB转化为PA，结合三角形三边关系求|PB-PC|的最大值；④利用方程根的定义，将根代入方程后化简验证等式是否成立。
【解析】
解：
∵抛物线开口向下，
∴$a＜0$。
∵抛物线与x轴交于$A(-1,0)$、$B(3,0)$，
∴对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$，即$-\frac{b}{2a}=1$，得$b=-2a$，
∴$b＞0$。
∵抛物线交y轴正半轴于点C，
∴$c＞0$。
①判断：
∵$b＞0$，$c＞0$，
∴$b+2c＞0$，故①正确；
②判断：
∵抛物线开口向下，对称轴为$x=1$，
∴$x=1$时函数取得最大值，最大值为$a+b+c$，对任意实数m，都有$a+b+c≥am^2+bm+c$，两边消去c得$a+b≥am^2+bm$，故②正确；
③判断：由抛物线对称性可知，对称轴上任意点P满足$PA=PB$，
∴$|PB-PC|=|PA-PC|$，根据三角形三边关系，$|PA-PC|≤AC$，当且仅当P、A、C三点共线时取等号。其中$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{1^2+c^2}=\sqrt{c^2+1}$，即最大值为$\sqrt{c^2+1}$，不是$\sqrt{c^2+9}$，故③错误；
④判断：
∵m是方程$ax^2+bx+c=0$的根，
∴$am^2+bm+c=0$，即$am^2+bm=-c$。
展开$(2am+b)^2=4a^2m^2+4abm+b^2=4a(am^2+bm)+b^2$，将$am^2+bm=-c$代入得：原式$=4a×(-c)+b^2=b^2-4ac$，故④正确。
综上，①②④正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数综合题，结合了二次函数的图象性质、对称性、最值以及与一元二次方程的联系，需要逐一分析每个结论，易错点是第三问中利用对称性转化线段求差的最大值，对逻辑推理和知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先根据抛物线与x轴的两个交点坐标求出对称轴，推导a与b的数量关系，结合抛物线开口方向、与y轴交点位置确定a、b、c的符号，再逐一验证4个结论：①直接根据b、c的符号判断式子正负；②利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质推导不等式；③利用抛物线对称性将PB转化为PA，结合三角形三边关系求|PB-PC|的最大值；④利用方程根的定义，将根代入方程后化简验证等式是否成立。
【解析】
解：
∵抛物线开口向下，
∴$a＜0$。
∵抛物线与x轴交于$A(-1,0)$、$B(3,0)$，
∴对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$，即$-\frac{b}{2a}=1$，得$b=-2a$，
∴$b＞0$。
∵抛物线交y轴正半轴于点C，
∴$c＞0$。
①判断：
∵$b＞0$，$c＞0$，
∴$b+2c＞0$，故①正确；
②判断：
∵抛物线开口向下，对称轴为$x=1$，
∴$x=1$时函数取得最大值，最大值为$a+b+c$，对任意实数m，都有$a+b+c≥am^2+bm+c$，两边消去c得$a+b≥am^2+bm$，故②正确；
③判断：由抛物线对称性可知，对称轴上任意点P满足$PA=PB$，
∴$|PB-PC|=|PA-PC|$，根据三角形三边关系，$|PA-PC|≤AC$，当且仅当P、A、C三点共线时取等号。其中$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{1^2+c^2}=\sqrt{c^2+1}$，即最大值为$\sqrt{c^2+1}$，不是$\sqrt{c^2+9}$，故③错误；
④判断：
∵m是方程$ax^2+bx+c=0$的根，
∴$am^2+bm+c=0$，即$am^2+bm=-c$。
展开$(2am+b)^2=4a^2m^2+4abm+b^2=4a(am^2+bm)+b^2$，将$am^2+bm=-c$代入得：原式$=4a×(-c)+b^2=b^2-4ac$，故④正确。
综上，①②④正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数综合题，结合了二次函数的图象性质、对称性、最值以及与一元二次方程的联系，需要逐一分析每个结论，易错点是第三问中利用对称性转化线段求差的最大值，对逻辑推理和知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
3. 抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过点$(-1,0)$，与$y$轴的交点在$(0,-2)$与$(0,-3)$之间（不包括这两点），对称轴为直线$x=2$.下列结论：①$a+b+c＜0$；②若点$M(0.5,y_1),N(2.5,y_2)$在图象上，则$y_1＜y_2$；③若$m$为任意实数，则$a(m^2-4)+b(m-2)≥0$；④$-24＜5(a+b+c)＜-16$.其中正确结论的序号为
＞＞进一步挑战进阶专题:P6 专题6,P19 专题17
①③④
.＞＞进一步挑战进阶专题:P6 专题6,P19 专题17
答案
3. ①③④ 解析:
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴相交于点(-1,0),对称轴为直线x=2,
∴ 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴另一个交点的坐标为(5,0).
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与y轴的交点在(0,-2)与(0,-3)之间(不包括这两点),
∴ 大致图象如图
,当x=1时,y=a+b+c＜0,故结论①正确;∵ 二次函数的对称轴为直线x=2,且a＞0,2-0.5=1.5,2.5-2=0.5,
∴ y₁＞y₂,故结论②不正确;
∵ x=2时,函数有最小值,
∴ am²+bm+c≥4a+2b+c(m为任意实数),
∴ $a(m^2-4)+b(m-2)≥0$,故结论③正确;
∵ $-\frac{b}{2a}=2$,
∴ b=-4a.
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴相交于点(-1,0),(5,0),
∴ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为-1和5,
∴ $-1×5=\frac{c}{a}$,
∴ c=-5a.
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与y轴的交点在(0,-2)与(0,-3)之间(不包括这两点),
∴ -3＜c＜-2,
∴ $\frac{2}{5}＜a＜\frac{3}{5}$,
∴ 当x=1时,y=a+b+c=a+(-4a)+(-5a)=-8a,
∴ $\frac{2}{5}＜a＜\frac{3}{5}$,
∴ -24＜5y＜-16,即-24＜5(a+b+c)＜-16,故结论④正确.综上,正确结论的序号为①③④.
解析
【分析】
解决本题首先利用二次函数的对称性，由已知交点$(-1,0)$和对称轴$x=2$，求出抛物线与x轴的另一个交点为$(5,0)$，再结合抛物线与y轴交点的范围确定参数$a$的取值范围，之后逐个分析结论：①判断$x=1$时的函数值符号，$x=1$在两个x轴交点之间，开口向上时该点函数值小于0即可判断；②比较两点函数值，开口向上时，点离对称轴越远函数值越大，计算两点到对称轴的距离即可判断；③利用二次函数顶点为最小值点的性质，任意实数$m$对应的函数值都大于等于顶点处函数值，整理式子即可判断；④将$a+b+c$用参数$a$表示，结合$a$的取值范围计算$5(a+b+c)$的范围即可判断。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交于点$(-1,0)$，对称轴为直线$x=2$，
∴ 抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(5,0)$，且抛物线开口向上。
∵ 抛物线与y轴的交点在$(0,-2)$与$(0,-3)$之间（不含端点），
①当$x=1$时，$x=1$在两个x轴交点$(-1,0)$和$(5,0)$之间，此时函数值$y=a+b+c＜0$，故结论①正确；
②
∵ 对称轴为$x=2$，$a＞0$，点$M(0.5,y_1)$到对称轴的距离为$2-0.5=1.5$，点$N(2.5,y_2)$到对称轴的距离为$2.5-2=0.5$，开口向上时离对称轴越远函数值越大，因此$y_1＞y_2$，故结论②错误；
③
∵ $x=2$时函数取得最小值，
∴ 对任意实数$m$，都有$am^2+bm+c≥4a+2b+c$，两边同时减去$4a+2b+c$，整理可得$a(m^2-4)+b(m-2)≥0$，故结论③正确；
④由对称轴公式$-\frac{b}{2a}=2$，得$b=-4a$；
由抛物线与x轴交点为$-1$和$5$，可得二次函数交点式为$y=a(x+1)(x-5)=ax^2-4ax-5a$，因此$c=-5a$；
∵ y轴交点纵坐标满足$-3＜c＜-2$，即$-3＜-5a＜-2$，解得$\frac{2}{5}＜a＜\frac{3}{5}$；
当$x=1$时，$y=a+b+c=a-4a-5a=-8a$，即$a+b+c=-8a$，
∴ $5(a+b+c)=-40a$，
∵ $\frac{2}{5}＜a＜\frac{3}{5}$，不等式三边同乘$-40$，不等号方向改变，得$-24＜-40a＜-16$，即$-24＜5(a+b+c)＜-16$，故结论④正确。
综上，正确结论的序号为①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
二次函数的性质，二次函数图象与系数关系，二次函数的对称性
【点评】
本题综合考查二次函数的图象与性质，解题时可结合数形结合思想，通过对称性、最值性质以及参数范围的推导判断各个结论，能很好地考查对二次函数相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
解决本题首先利用二次函数的对称性，由已知交点$(-1,0)$和对称轴$x=2$，求出抛物线与x轴的另一个交点为$(5,0)$，再结合抛物线与y轴交点的范围确定参数$a$的取值范围，之后逐个分析结论：①判断$x=1$时的函数值符号，$x=1$在两个x轴交点之间，开口向上时该点函数值小于0即可判断；②比较两点函数值，开口向上时，点离对称轴越远函数值越大，计算两点到对称轴的距离即可判断；③利用二次函数顶点为最小值点的性质，任意实数$m$对应的函数值都大于等于顶点处函数值，整理式子即可判断；④将$a+b+c$用参数$a$表示，结合$a$的取值范围计算$5(a+b+c)$的范围即可判断。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交于点$(-1,0)$，对称轴为直线$x=2$，
∴ 抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(5,0)$，且抛物线开口向上。
∵ 抛物线与y轴的交点在$(0,-2)$与$(0,-3)$之间（不含端点），
①当$x=1$时，$x=1$在两个x轴交点$(-1,0)$和$(5,0)$之间，此时函数值$y=a+b+c＜0$，故结论①正确；
②
∵ 对称轴为$x=2$，$a＞0$，点$M(0.5,y_1)$到对称轴的距离为$2-0.5=1.5$，点$N(2.5,y_2)$到对称轴的距离为$2.5-2=0.5$，开口向上时离对称轴越远函数值越大，因此$y_1＞y_2$，故结论②错误；
③
∵ $x=2$时函数取得最小值，
∴ 对任意实数$m$，都有$am^2+bm+c≥4a+2b+c$，两边同时减去$4a+2b+c$，整理可得$a(m^2-4)+b(m-2)≥0$，故结论③正确；
④由对称轴公式$-\frac{b}{2a}=2$，得$b=-4a$；
由抛物线与x轴交点为$-1$和$5$，可得二次函数交点式为$y=a(x+1)(x-5)=ax^2-4ax-5a$，因此$c=-5a$；
∵ y轴交点纵坐标满足$-3＜c＜-2$，即$-3＜-5a＜-2$，解得$\frac{2}{5}＜a＜\frac{3}{5}$；
当$x=1$时，$y=a+b+c=a-4a-5a=-8a$，即$a+b+c=-8a$，
∴ $5(a+b+c)=-40a$，
∵ $\frac{2}{5}＜a＜\frac{3}{5}$，不等式三边同乘$-40$，不等号方向改变，得$-24＜-40a＜-16$，即$-24＜5(a+b+c)＜-16$，故结论④正确。
综上，正确结论的序号为①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
二次函数的性质，二次函数图象与系数关系，二次函数的对称性
【点评】
本题综合考查二次函数的图象与性质，解题时可结合数形结合思想，通过对称性、最值性质以及参数范围的推导判断各个结论，能很好地考查对二次函数相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
