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如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=x^2-2x-3$交$x$轴于$A,B$两点(点$A$在点$B$的左边),过点$C(3,2)$作一条直线交抛物线于$P,Q$两点,连结$AP,AQ$,分别交$y$轴于$M,N$两点,求证:$OM· ON$是一个定值.
(1)点参法:
(2)线参法:
(1)点参法:
(2)线参法:
答案
(1)点参法:令$x^2-2x-3=0$,解得$x_1=-1,x_2=3$,$\therefore$ 点$A(-1,0),B(3,0)$,设点$P(a,a^2-2a-3),Q(b,b^2-2b-3)$,根据点$A(-1,0)$,设$AP$的表达式为$y=k(x+1)$(也可直接用两点式),将点$P$的坐标代入,可得$k=a-3$,$\therefore AP$的表达式为$y=(a-3)(x+1)$.令$x=0$得$M(0,a-3)$,同理可得$N(0,b-3)$,$\therefore OM=|a-3|,ON=|b-3|$.$\because$ 直线$PQ$过点$(3,2)$,$\therefore$ 设$PQ$的表达式为$y=m(x-3)+2$,联立$\begin{cases}y=m(x-3)+2,\\y=x^2-2x-3,\end{cases}$整理得$x^2-(2+m)x+3m-5=0$,利用根与系数的关系得$a+b=2+m,ab=3m-5$,$\therefore OM· ON=|a-3|·|b-3|=|(a-3)·(3-b)|=|3(a+b)-ab-9|=|3(2+m)-(3m-5)-9|=2$,是一个定值.
(2)线参法:令$x^2-2x-3=0$,解得$x_1=-1,x_2=3$,$\therefore$ 点$A(-1,0),B(3,0)$,设$AP$的表达式为$y=k_1(x+1)$,$AQ$的表达式为$y=k_2(x+1)$,$PQ$的表达式为$y=k(x-3)+2$,$\therefore$ 点$M(0,k_1),N(0,k_2)$,$\therefore OM=|k_1|$,$ON=|k_2|$,$OM· ON=|k_1k_2|$,联立$\begin{cases}y=k_1(x+1),\\y=x^2-2x-3,\end{cases}$整理得$x^2-(2+k_1)· x-k_1-3=0$,$\therefore x_A+x_P=2+k_1$.$\because x_A=-1$,$\therefore x_P=3+k_1$,同理可得$x_Q=3+k_2$.联立$\begin{cases}y=k(x-3)+2,\\y=x^2-2x-3,\end{cases}$整理得$x^2-(2+k)x+3k-5=0$,利用根与系数的关系得$x_P+x_Q=2+k,x_Px_Q=3k-5$,$\therefore x_P+x_Q=3+k_1+3+k_2=2+k$ ①,$x_Px_Q=(3+k_1)(3+k_2)=3k-5$ ②,由①得$k_1+k_2=k-4$ ③,整理②得$9+3(k_1+k_2)+k_1k_2=3k-5$ ④,将③代入④得$k_1k_2=-2$,$\therefore OM· ON=|k_1k_2|=2$,是一个定值.
(2)线参法:令$x^2-2x-3=0$,解得$x_1=-1,x_2=3$,$\therefore$ 点$A(-1,0),B(3,0)$,设$AP$的表达式为$y=k_1(x+1)$,$AQ$的表达式为$y=k_2(x+1)$,$PQ$的表达式为$y=k(x-3)+2$,$\therefore$ 点$M(0,k_1),N(0,k_2)$,$\therefore OM=|k_1|$,$ON=|k_2|$,$OM· ON=|k_1k_2|$,联立$\begin{cases}y=k_1(x+1),\\y=x^2-2x-3,\end{cases}$整理得$x^2-(2+k_1)· x-k_1-3=0$,$\therefore x_A+x_P=2+k_1$.$\because x_A=-1$,$\therefore x_P=3+k_1$,同理可得$x_Q=3+k_2$.联立$\begin{cases}y=k(x-3)+2,\\y=x^2-2x-3,\end{cases}$整理得$x^2-(2+k)x+3k-5=0$,利用根与系数的关系得$x_P+x_Q=2+k,x_Px_Q=3k-5$,$\therefore x_P+x_Q=3+k_1+3+k_2=2+k$ ①,$x_Px_Q=(3+k_1)(3+k_2)=3k-5$ ②,由①得$k_1+k_2=k-4$ ③,整理②得$9+3(k_1+k_2)+k_1k_2=3k-5$ ④,将③代入④得$k_1k_2=-2$,$\therefore OM· ON=|k_1k_2|=2$,是一个定值.
解析
【分析】
要证明OM·ON为定值，第一步先求抛物线与x轴交点A的坐标：令抛物线y=0解一元二次方程即可得到A(-1,0)。两种设参思路如下：
①点参法：设P、Q的横坐标为参数，先推导直线AP、AQ的解析式，求出M、N的坐标，将OM·ON转化为含P、Q横坐标的代数式；再根据直线PQ过定点C(3,2)，联立PQ与抛物线的解析式，利用根与系数的关系代入代数式化简，消去参数即可得到定值。
②线参法：设直线AP、AQ、PQ解析式的斜率为参数，先直接得到M、N的坐标，将OM·ON转化为AP、AQ斜率的乘积；再联立直线与抛物线解析式，用根与系数的关系表示P、Q的横坐标，结合P、Q在直线PQ上的条件，消去参数得到斜率乘积的定值。
【解析】
(1)点参法：
令$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1,x_2=3$，$\because$点A在点B左侧，$\therefore A(-1,0),B(3,0)$。
设点$P(a,a^2-2a-3),Q(b,b^2-2b-3)$，设直线AP的解析式为$y=k_1(x+1)$，将P点坐标代入得：$a^2-2a-3=k_1(a+1)$，化简得$k_1=a-3$，$\therefore$AP的解析式为$y=(a-3)(x+1)$。
令$x=0$，得$y=a-3$，即$M(0,a-3)$，同理可得$N(0,b-3)$，$\therefore OM=|a-3|,ON=|b-3|$。
$\because$直线PQ过点$C(3,2)$，设PQ的解析式为$y=m(x-3)+2$，联立$\begin{cases}y=m(x-3)+2\\y=x^2-2x-3\end{cases}$，整理得$x^2-(2+m)x+3m-5=0$。
根据一元二次方程根与系数的关系，得$a+b=2+m,ab=3m-5$。
$\therefore OM· ON=|a-3|·|b-3|=|ab-3(a+b)+9|$，将$a+b$和$ab$代入得：
$|3m-5-3(2+m)+9|=|3m-5-6-3m+9|=| -2 | =2$，为定值。
(2)线参法：
同点参法先求得$A(-1,0),B(3,0)$。
设直线AP的解析式为$y=k_1(x+1)$，直线AQ的解析式为$y=k_2(x+1)$，直线PQ的解析式为$y=k(x-3)+2$。
令$x=0$，得$M(0,k_1),N(0,k_2)$，$\therefore OM=|k_1|,ON=|k_2|$，$OM·ON=|k_1k_2|$。
联立$\begin{cases}y=k_1(x+1)\\y=x^2-2x-3\end{cases}$，整理得$x^2-(2+k_1)x -k_1-3=0$，根据根与系数的关系，$x_A+x_P=2+k_1$，$\because x_A=-1$，$\therefore x_P=3+k_1$，同理可得$x_Q=3+k_2$。
联立$\begin{cases}y=k(x-3)+2\\y=x^2-2x-3\end{cases}$，整理得$x^2-(2+k)x+3k-5=0$，根据根与系数的关系得$x_P+x_Q=2+k$，$x_Px_Q=3k-5$。
将$x_P=3+k_1,x_Q=3+k_2$代入得：
$3+k_1+3+k_2=2+k$ ①，整理得$k_1+k_2=k-4$；
$(3+k_1)(3+k_2)=3k-5$ ②，展开得$9+3k_1+3k_2+k_1k_2=3k-5$。
将$k_1+k_2=k-4$代入②得：$9+3(k-4)+k_1k_2=3k-5$，化简得$9+3k-12+k_1k_2=3k-5$，解得$k_1k_2=-2$。
$\therefore OM·ON=|k_1k_2|=2$，为定值。
【答案】
$OM·ON=2$，是定值。
【知识点】
二次函数交点求解，一次函数解析式，根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数定值类的典型考题，核心考察设参与消参的代数思想，两种设参方法均围绕根与系数的关系消除中间参数，能够有效锻炼函数解析式求解、代数运算和逻辑推导能力，掌握两种设参思路可以灵活处理同类型的二次函数综合题。
【难度系数】
0.4
要证明OM·ON为定值，第一步先求抛物线与x轴交点A的坐标：令抛物线y=0解一元二次方程即可得到A(-1,0)。两种设参思路如下：
①点参法：设P、Q的横坐标为参数，先推导直线AP、AQ的解析式，求出M、N的坐标，将OM·ON转化为含P、Q横坐标的代数式；再根据直线PQ过定点C(3,2)，联立PQ与抛物线的解析式，利用根与系数的关系代入代数式化简，消去参数即可得到定值。
②线参法：设直线AP、AQ、PQ解析式的斜率为参数，先直接得到M、N的坐标，将OM·ON转化为AP、AQ斜率的乘积；再联立直线与抛物线解析式，用根与系数的关系表示P、Q的横坐标，结合P、Q在直线PQ上的条件，消去参数得到斜率乘积的定值。
【解析】
(1)点参法：
令$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1,x_2=3$，$\because$点A在点B左侧，$\therefore A(-1,0),B(3,0)$。
设点$P(a,a^2-2a-3),Q(b,b^2-2b-3)$，设直线AP的解析式为$y=k_1(x+1)$，将P点坐标代入得：$a^2-2a-3=k_1(a+1)$，化简得$k_1=a-3$，$\therefore$AP的解析式为$y=(a-3)(x+1)$。
令$x=0$，得$y=a-3$，即$M(0,a-3)$，同理可得$N(0,b-3)$，$\therefore OM=|a-3|,ON=|b-3|$。
$\because$直线PQ过点$C(3,2)$，设PQ的解析式为$y=m(x-3)+2$，联立$\begin{cases}y=m(x-3)+2\\y=x^2-2x-3\end{cases}$，整理得$x^2-(2+m)x+3m-5=0$。
根据一元二次方程根与系数的关系，得$a+b=2+m,ab=3m-5$。
$\therefore OM· ON=|a-3|·|b-3|=|ab-3(a+b)+9|$，将$a+b$和$ab$代入得：
$|3m-5-3(2+m)+9|=|3m-5-6-3m+9|=| -2 | =2$，为定值。
(2)线参法：
同点参法先求得$A(-1,0),B(3,0)$。
设直线AP的解析式为$y=k_1(x+1)$，直线AQ的解析式为$y=k_2(x+1)$，直线PQ的解析式为$y=k(x-3)+2$。
令$x=0$，得$M(0,k_1),N(0,k_2)$，$\therefore OM=|k_1|,ON=|k_2|$，$OM·ON=|k_1k_2|$。
联立$\begin{cases}y=k_1(x+1)\\y=x^2-2x-3\end{cases}$，整理得$x^2-(2+k_1)x -k_1-3=0$，根据根与系数的关系，$x_A+x_P=2+k_1$，$\because x_A=-1$，$\therefore x_P=3+k_1$，同理可得$x_Q=3+k_2$。
联立$\begin{cases}y=k(x-3)+2\\y=x^2-2x-3\end{cases}$，整理得$x^2-(2+k)x+3k-5=0$，根据根与系数的关系得$x_P+x_Q=2+k$，$x_Px_Q=3k-5$。
将$x_P=3+k_1,x_Q=3+k_2$代入得：
$3+k_1+3+k_2=2+k$ ①，整理得$k_1+k_2=k-4$；
$(3+k_1)(3+k_2)=3k-5$ ②，展开得$9+3k_1+3k_2+k_1k_2=3k-5$。
将$k_1+k_2=k-4$代入②得：$9+3(k-4)+k_1k_2=3k-5$，化简得$9+3k-12+k_1k_2=3k-5$，解得$k_1k_2=-2$。
$\therefore OM·ON=|k_1k_2|=2$，为定值。
【答案】
$OM·ON=2$，是定值。
【知识点】
二次函数交点求解，一次函数解析式，根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数定值类的典型考题，核心考察设参与消参的代数思想，两种设参方法均围绕根与系数的关系消除中间参数，能够有效锻炼函数解析式求解、代数运算和逻辑推导能力，掌握两种设参思路可以灵活处理同类型的二次函数综合题。
【难度系数】
0.4
