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1. $(-5)^2$ 的底数是 ，指数是 ，结果是 。
答案
解：
根据有理数乘方的定义，$(-5)^2$的底数是$-5$，指数是$2$，
$(-5)^2 = (-5)×(-5) = 25$，结果是$25$。
根据有理数乘方的定义，$(-5)^2$的底数是$-5$，指数是$2$，
$(-5)^2 = (-5)×(-5) = 25$，结果是$25$。
解析
【分析】
解题时首先回忆有理数乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的一般形式为$a^n$，其中$a$叫做底数，$n$叫做指数，运算结果叫做幂。遇到带括号的乘方形式时，底数是括号内的整体，因此先确定$(-5)^2$的底数和指数，再根据有理数乘法法则计算2个$-5$相乘的结果即可。
【解析】
根据有理数乘方的定义，乘方形式$a^n$中$a$为底数，$n$为指数，因此$(-5)^2$的底数是$-5$，指数是$2$；
$(-5)^2$表示2个$-5$相乘，即$(-5)^2 = (-5)×(-5) = 25$，因此运算结果是$25$。
【答案】
$-5$；$2$；$25$
【知识点】
乘方的相关概念；有理数乘方运算
【点评】
本题是乘方的基础概念题，解题的关键是明确带括号的乘方的底数是括号内的整体，注意和$-5^2$这类不带括号的形式区分，避免混淆底数出现错误。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆有理数乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的一般形式为$a^n$，其中$a$叫做底数，$n$叫做指数，运算结果叫做幂。遇到带括号的乘方形式时，底数是括号内的整体，因此先确定$(-5)^2$的底数和指数，再根据有理数乘法法则计算2个$-5$相乘的结果即可。
【解析】
根据有理数乘方的定义，乘方形式$a^n$中$a$为底数，$n$为指数，因此$(-5)^2$的底数是$-5$，指数是$2$；
$(-5)^2$表示2个$-5$相乘，即$(-5)^2 = (-5)×(-5) = 25$，因此运算结果是$25$。
【答案】
$-5$；$2$；$25$
【知识点】
乘方的相关概念；有理数乘方运算
【点评】
本题是乘方的基础概念题，解题的关键是明确带括号的乘方的底数是括号内的整体，注意和$-5^2$这类不带括号的形式区分，避免混淆底数出现错误。
【难度系数】
0.85
2.下列各组数中,不相等的是（填序号）.
①$+3^2$与$+2^3$；②$-2^3$与$(-2)^3$；
③$-3^2$与$(-3)^2$；④$|-3|^3$与$(-3)^3$.
①$+3^2$与$+2^3$；②$-2^3$与$(-2)^3$；
③$-3^2$与$(-3)^2$；④$|-3|^3$与$(-3)^3$.
答案
解：
分别计算各组数：
① $+3^2 = 9$，$+2^3 = 8$，两数不相等；
② $-2^3 = -8$，$(-2)^3 = -8$，两数相等；
③ $-3^2 = -9$，$(-3)^2 = 9$，两数不相等；
④ $|-3|^3 = 3^3 = 27$，$(-3)^3 = -27$，两数不相等。
因此不相等的是①③④。
分别计算各组数：
① $+3^2 = 9$，$+2^3 = 8$，两数不相等；
② $-2^3 = -8$，$(-2)^3 = -8$，两数相等；
③ $-3^2 = -9$，$(-3)^2 = 9$，两数不相等；
④ $|-3|^3 = 3^3 = 27$，$(-3)^3 = -27$，两数不相等。
因此不相等的是①③④。
解析
【分析】
本题需要判断各组数是否相等，核心是掌握有理数乘方的运算规则，尤其要注意区分底数带括号和不带括号的运算顺序：没有括号时，先算乘方，再处理符号；底数带括号时，把括号内的整体作为底数进行乘方运算，涉及绝对值的要先化简绝对值。解题时逐一计算每组的两个数，再比较结果是否相同即可。
【解析】
分别计算各组中的两个数：
① $+3^2$先算乘方得$3^2=9$，即$+3^2=9$；$+2^3$先算乘方得$2^3=8$，即$+2^3=8$，$9≠8$，两数不相等；
② $-2^3$先算乘方得$2^3=8$，即$-2^3=-8$；$(-2)^3$底数为-2，计算得$(-2)×(-2)×(-2)=-8$，两数相等；
③ $-3^2$先算乘方得$3^2=9$，即$-3^2=-9$；$(-3)^2$底数为-3，计算得$(-3)×(-3)=9$，$-9≠9$，两数不相等；
④ $|-3|^3$先化简绝对值得$|-3|=3$，再算乘方得$3^3=27$；$(-3)^3$计算得$(-3)×(-3)×(-3)=-27$，$27≠-27$，两数不相等。
因此不相等的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
有理数乘方运算，绝对值化简，有理数大小比较
【点评】
本题的易错点是乘方运算中符号的处理，要特别注意$-a^n$和$(-a)^n$的区别，前者底数是$a$，后者底数是$-a$，做题时严格按照运算顺序计算就能避免出错。
【难度系数】
0.6
本题需要判断各组数是否相等，核心是掌握有理数乘方的运算规则，尤其要注意区分底数带括号和不带括号的运算顺序：没有括号时，先算乘方，再处理符号；底数带括号时，把括号内的整体作为底数进行乘方运算，涉及绝对值的要先化简绝对值。解题时逐一计算每组的两个数，再比较结果是否相同即可。
【解析】
分别计算各组中的两个数：
① $+3^2$先算乘方得$3^2=9$，即$+3^2=9$；$+2^3$先算乘方得$2^3=8$，即$+2^3=8$，$9≠8$，两数不相等；
② $-2^3$先算乘方得$2^3=8$，即$-2^3=-8$；$(-2)^3$底数为-2，计算得$(-2)×(-2)×(-2)=-8$，两数相等；
③ $-3^2$先算乘方得$3^2=9$，即$-3^2=-9$；$(-3)^2$底数为-3，计算得$(-3)×(-3)=9$，$-9≠9$，两数不相等；
④ $|-3|^3$先化简绝对值得$|-3|=3$，再算乘方得$3^3=27$；$(-3)^3$计算得$(-3)×(-3)×(-3)=-27$，$27≠-27$，两数不相等。
因此不相等的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
有理数乘方运算，绝对值化简，有理数大小比较
【点评】
本题的易错点是乘方运算中符号的处理，要特别注意$-a^n$和$(-a)^n$的区别，前者底数是$a$，后者底数是$-a$，做题时严格按照运算顺序计算就能避免出错。
【难度系数】
0.6
3.若$x^2=16$，则$x$的值是________；
若$a^3=-27$，则$a$的值是________。
若$a^3=-27$，则$a$的值是________。
答案
解：
$\because 4^2=16$，$(-4)^2=16$，
$\therefore x=\pm4$；
$\because (-3)^3=-27$，
$\therefore a=-3$。
$\because 4^2=16$，$(-4)^2=16$，
$\therefore x=\pm4$；
$\because (-3)^3=-27$，
$\therefore a=-3$。
解析
【分析】
解题时先明确乘方的逆运算逻辑：第一问求平方等于16的x，根据有理数乘方的性质，互为相反数的两个数的平方相等，因此满足条件的x有两个，为一正一负互为相反数；第二问求立方等于-27的a，根据乘方性质，负数的立方为负数，正数的立方为正数，因此满足条件的a只有1个负数，分别计算符合条件的数值即可。
【解析】
对于第一个空：
$\because 4^2=16$，$(-4)^2=16$，
$\therefore x=\pm4$；
对于第二个空：
$\because (-3)^3=-27$，
$\therefore a=-3$。
【答案】
$\pm4$；$-3$
【知识点】
有理数乘方；开平方运算；开立方运算
【点评】
本题是乘方逆运算的基础题型，解题时需注意平方等于正数的数有两个，不要遗漏负根，而立方根具有唯一性，符号和被开方数一致，避免出现多解或漏解错误。
【难度系数】
0.9
解题时先明确乘方的逆运算逻辑：第一问求平方等于16的x，根据有理数乘方的性质，互为相反数的两个数的平方相等，因此满足条件的x有两个，为一正一负互为相反数；第二问求立方等于-27的a，根据乘方性质，负数的立方为负数，正数的立方为正数，因此满足条件的a只有1个负数，分别计算符合条件的数值即可。
【解析】
对于第一个空：
$\because 4^2=16$，$(-4)^2=16$，
$\therefore x=\pm4$；
对于第二个空：
$\because (-3)^3=-27$，
$\therefore a=-3$。
【答案】
$\pm4$；$-3$
【知识点】
有理数乘方；开平方运算；开立方运算
【点评】
本题是乘方逆运算的基础题型，解题时需注意平方等于正数的数有两个，不要遗漏负根，而立方根具有唯一性，符号和被开方数一致，避免出现多解或漏解错误。
【难度系数】
0.9
4.若$x$，$y$互为倒数，则$(-xy)^{2026}=$
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，看到“x，y互为倒数”，首先回忆倒数的核心性质：互为倒数的两个数乘积为1，可得到xy=1；再把xy=1代入所求的代数式，转化为求(-1)的2026次方；最后根据有理数乘方的符号法则，负数的偶次幂是正数，结合2026是偶数的特点，就能算出最终结果。
【解析】
解：
∵x、y互为倒数，根据倒数的定义，互为倒数的两个数乘积为1，
∴xy=1，
将xy=1代入$(-xy)^{2026}$可得：
原式=$(-1)^{2026}$，
又
∵2026是偶数，负数的偶次幂为正数，
∴$(-1)^{2026}=1$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
倒数的性质；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，结合倒数的基本性质和乘方的符号规则即可求解，主要考察对基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件入手，看到“x，y互为倒数”，首先回忆倒数的核心性质：互为倒数的两个数乘积为1，可得到xy=1；再把xy=1代入所求的代数式，转化为求(-1)的2026次方；最后根据有理数乘方的符号法则，负数的偶次幂是正数，结合2026是偶数的特点，就能算出最终结果。
【解析】
解：
∵x、y互为倒数，根据倒数的定义，互为倒数的两个数乘积为1，
∴xy=1，
将xy=1代入$(-xy)^{2026}$可得：
原式=$(-1)^{2026}$，
又
∵2026是偶数，负数的偶次幂为正数，
∴$(-1)^{2026}=1$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
倒数的性质；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，结合倒数的基本性质和乘方的符号规则即可求解，主要考察对基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.9
5.在$(-1)^2, (-1)^3, -2^2, (-3)^2$这四个数中，最大的数是，最小的数是。
答案
解：
分别计算各数：
$(-1)^2 = 1$
$(-1)^3 = -1$
$-2^2 = -4$
$(-3)^2 = 9$
比较大小得：$9＞1＞-1＞-4$
所以最大的数是$(-3)^2$，最小的数是$-2^2$。
分别计算各数：
$(-1)^2 = 1$
$(-1)^3 = -1$
$-2^2 = -4$
$(-3)^2 = 9$
比较大小得：$9＞1＞-1＞-4$
所以最大的数是$(-3)^2$，最小的数是$-2^2$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要正确计算四个乘方算式的结果，计算时要特别注意区分负号是否在括号内：如果负号在括号里，底数是负数，按负数乘方的规则计算（负数的偶次幂为正，奇次幂为负）；如果负号在括号外，要先计算乘方再添加负号。算出四个数的结果后，再按照有理数大小比较的规则排序，即可找出最大数和最小数。
【解析】
先分别计算四个数的结果：
$(-1)^2 = (-1)×(-1) = 1$
$(-1)^3 = (-1)×(-1)×(-1) = -1$
$-2^2 = -(2×2) = -4$
$(-3)^2 = (-3)×(-3) = 9$
再对结果比较大小：正数大于一切负数，正数中$9＞1$，负数中绝对值大的反而小，可得大小关系为$9＞1＞-1＞-4$。
所以最大的数是$(-3)^2$，最小的数是$-2^2$。
【答案】
最大的数是$\boldsymbol{(-3)^2}$，最小的数是$\boldsymbol{-2^2}$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数大小比较
【点评】
本题是有理数乘方部分的基础常考题，核心易错点是区分负号是否属于底数的运算顺序，做题时只要细心区分运算顺序，牢记乘方的符号规则，就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要正确计算四个乘方算式的结果，计算时要特别注意区分负号是否在括号内：如果负号在括号里，底数是负数，按负数乘方的规则计算（负数的偶次幂为正，奇次幂为负）；如果负号在括号外，要先计算乘方再添加负号。算出四个数的结果后，再按照有理数大小比较的规则排序，即可找出最大数和最小数。
【解析】
先分别计算四个数的结果：
$(-1)^2 = (-1)×(-1) = 1$
$(-1)^3 = (-1)×(-1)×(-1) = -1$
$-2^2 = -(2×2) = -4$
$(-3)^2 = (-3)×(-3) = 9$
再对结果比较大小：正数大于一切负数，正数中$9＞1$，负数中绝对值大的反而小，可得大小关系为$9＞1＞-1＞-4$。
所以最大的数是$(-3)^2$，最小的数是$-2^2$。
【答案】
最大的数是$\boldsymbol{(-3)^2}$，最小的数是$\boldsymbol{-2^2}$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数大小比较
【点评】
本题是有理数乘方部分的基础常考题，核心易错点是区分负号是否属于底数的运算顺序，做题时只要细心区分运算顺序，牢记乘方的符号规则，就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
6. 13世纪数学家斐波那契的《计算之书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘。”其中刀鞘数为。
答案
解：根据题意，刀鞘数为6个7相乘：
$7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 = 7^6 = 117649$
最终答案为$\boldsymbol{117649}$。
$7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 = 7^6 = 117649$
最终答案为$\boldsymbol{117649}$。
解析
【分析】
解题时我们可以逐层梳理数量关系：题目中每一类物品的数量都是上一级物品数量的7倍，我们只需要数清楚从老妇人到刀鞘一共有几层7倍的关系，即可确定相同因数7的个数，再利用乘方的运算求出刀鞘总数。具体层级如下：7位老妇人对应1个7，每人7头驴对应第2个7，每头驴7只口袋对应第3个7，每只口袋7个面包对应第4个7，每个面包7把餐刀对应第5个7，每把餐刀7只刀鞘对应第6个7，因此刀鞘数为6个7相乘。
【解析】
根据题意，刀鞘数是6个7连续相乘，计算如下：
$7×7×7×7×7×7=7^6=117649$
【答案】
$\boldsymbol{117649}$
【知识点】
乘方的意义，有理数乘法运算
【点评】
本题以古代数学经典问题为载体，考查乘方的实际应用，解题核心是理清各数量的层级关系，准确统计相同因数的个数，避免漏数、多数因数导致计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以逐层梳理数量关系：题目中每一类物品的数量都是上一级物品数量的7倍，我们只需要数清楚从老妇人到刀鞘一共有几层7倍的关系，即可确定相同因数7的个数，再利用乘方的运算求出刀鞘总数。具体层级如下：7位老妇人对应1个7，每人7头驴对应第2个7，每头驴7只口袋对应第3个7，每只口袋7个面包对应第4个7，每个面包7把餐刀对应第5个7，每把餐刀7只刀鞘对应第6个7，因此刀鞘数为6个7相乘。
【解析】
根据题意，刀鞘数是6个7连续相乘，计算如下：
$7×7×7×7×7×7=7^6=117649$
【答案】
$\boldsymbol{117649}$
【知识点】
乘方的意义，有理数乘法运算
【点评】
本题以古代数学经典问题为载体，考查乘方的实际应用，解题核心是理清各数量的层级关系，准确统计相同因数的个数，避免漏数、多数因数导致计算错误。
【难度系数】
0.8
7.计算:
(1)$(-\dfrac{2}{5})^2 =$ ;
(2)$(-3)^2 × (-2)^3 =$ ;
(3)$-(-6)^3 =$ ;
(4)$-\dfrac{2^4}{5} =$ .
(1)$(-\dfrac{2}{5})^2 =$ ;
(2)$(-3)^2 × (-2)^3 =$ ;
(3)$-(-6)^3 =$ ;
(4)$-\dfrac{2^4}{5} =$ .
答案
解：
(1) 原式$=(-\dfrac{2}{5})×(-\dfrac{2}{5})=\dfrac{4}{25}$
(2) 原式$=9×(-8)=-72$
(3) 原式$=-(-216)=216$
(4) 原式$=-\dfrac{16}{5}$
(1) 原式$=(-\dfrac{2}{5})×(-\dfrac{2}{5})=\dfrac{4}{25}$
(2) 原式$=9×(-8)=-72$
(3) 原式$=-(-216)=216$
(4) 原式$=-\dfrac{16}{5}$
解析
【分析】
解答本题首先要明确有理数乘方的定义：求n个相同因数乘积的运算叫做乘方，同时牢记乘方的符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负，正数的任何次幂都为正；还要注意区分带括号的乘方和不带括号的乘方的底数差异，比如$(-\frac{2}{5})^2$的底数是$-\frac{2}{5}$，而$\frac{2^4}{5}$中乘方的底数是2。解题时先计算每一个乘方的结果，再根据有理数的运算规则计算后续运算，最后确定最终结果的符号即可。
【解析】
(1) 根据乘方定义，$(-\frac{2}{5})^2$表示2个$-\frac{2}{5}$相乘，
原式$=(-\dfrac{2}{5})×(-\dfrac{2}{5})=\dfrac{4}{25}$；
(2) 先分别计算两个乘方的结果，再计算乘法，
$(-3)^2$是2个-3相乘，结果为9，$(-2)^3$是3个-2相乘，结果为-8，
原式$=9×(-8)=-72$；
(3) 先计算$(-6)^3$，3个-6相乘结果为-216，再取相反数，
原式$=-(-216)=216$；
(4) 先计算$2^4$，4个2相乘结果为16，负号在分数整体前，
原式$=-\dfrac{16}{5}$。
【答案】
(1)$\dfrac{4}{25}$；(2)$-72$；(3)$216$；(4)$-\dfrac{16}{5}$
【知识点】
1.有理数乘方运算 2.有理数乘法运算 3.乘方符号法则
【点评】
本题属于乘方基础运算题，解题的关键是准确识别乘方的底数，正确判断乘方结果的符号，运算时要注意避免因混淆底数、符号判断错误导致失分。
【难度系数】
0.85
解答本题首先要明确有理数乘方的定义：求n个相同因数乘积的运算叫做乘方，同时牢记乘方的符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负，正数的任何次幂都为正；还要注意区分带括号的乘方和不带括号的乘方的底数差异，比如$(-\frac{2}{5})^2$的底数是$-\frac{2}{5}$，而$\frac{2^4}{5}$中乘方的底数是2。解题时先计算每一个乘方的结果，再根据有理数的运算规则计算后续运算，最后确定最终结果的符号即可。
【解析】
(1) 根据乘方定义，$(-\frac{2}{5})^2$表示2个$-\frac{2}{5}$相乘，
原式$=(-\dfrac{2}{5})×(-\dfrac{2}{5})=\dfrac{4}{25}$；
(2) 先分别计算两个乘方的结果，再计算乘法，
$(-3)^2$是2个-3相乘，结果为9，$(-2)^3$是3个-2相乘，结果为-8，
原式$=9×(-8)=-72$；
(3) 先计算$(-6)^3$，3个-6相乘结果为-216，再取相反数，
原式$=-(-216)=216$；
(4) 先计算$2^4$，4个2相乘结果为16，负号在分数整体前，
原式$=-\dfrac{16}{5}$。
【答案】
(1)$\dfrac{4}{25}$；(2)$-72$；(3)$216$；(4)$-\dfrac{16}{5}$
【知识点】
1.有理数乘方运算 2.有理数乘法运算 3.乘方符号法则
【点评】
本题属于乘方基础运算题，解题的关键是准确识别乘方的底数，正确判断乘方结果的符号，运算时要注意避免因混淆底数、符号判断错误导致失分。
【难度系数】
0.85
8. 提升题 观察下列式子，并解答下列问题.
$1^3 + 2^3 = \frac{1}{4} × 2^2 × 3^2$,
$1^3 + 2^3 + 3^3 = \frac{1}{4} × 3^2 × 4^2$,
$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = \frac{1}{4} × 4^2 × 5^2$,
$···$.
(1)$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ··· + n^3 = \_\_\_\_\_\_$.
(2)利用你得到的(1)中的结论计算:
①$1^3 + 2^3 + 3^3 + ··· + 19^3 + 20^3$；
②$11^3 + 12^3 + 13^3 + ··· + 19^3 + 20^3$.
(3)根据乘方的意义可求$(2n)^3 = (2n) · (2n) · (2n) = (2 × 2 × 2) · (n · n · n) = 2^3 · n^3 = 8n^3$.请你直接利用上述结论计算:$2^3 + 4^3 + 6^3 + 8^3 + ··· + 40^3$.
$1^3 + 2^3 = \frac{1}{4} × 2^2 × 3^2$,
$1^3 + 2^3 + 3^3 = \frac{1}{4} × 3^2 × 4^2$,
$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = \frac{1}{4} × 4^2 × 5^2$,
$···$.
(1)$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ··· + n^3 = \_\_\_\_\_\_$.
(2)利用你得到的(1)中的结论计算:
①$1^3 + 2^3 + 3^3 + ··· + 19^3 + 20^3$；
②$11^3 + 12^3 + 13^3 + ··· + 19^3 + 20^3$.
(3)根据乘方的意义可求$(2n)^3 = (2n) · (2n) · (2n) = (2 × 2 × 2) · (n · n · n) = 2^3 · n^3 = 8n^3$.请你直接利用上述结论计算:$2^3 + 4^3 + 6^3 + 8^3 + ··· + 40^3$.
答案
解：
(1) $\frac{1}{4}n^2(n+1)^2$
(2) ①
$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 19^3 + 20^3$
$=\frac{1}{4}×20^2×(20+1)^2$
$=\frac{1}{4}×400×441$
$=44100$
②
$11^3 + 12^3 + 13^3 + \dots + 19^3 + 20^3$
$=(1^3+2^3+\dots+20^3)-(1^3+2^3+\dots+10^3)$
$=44100 - \frac{1}{4}×10^2×11^2$
$=44100 - 3025$
$=41075$
(3)
$2^3 + 4^3 + 6^3 + 8^3 + \dots + 40^3$
$=(2×1)^3+(2×2)^3+(2×3)^3+\dots+(2×20)^3$
$=8×1^3 + 8×2^3 + 8×3^3 + \dots + 8×20^3$
$=8×(1^3+2^3+\dots+20^3)$
$=8×44100$
$=352800$
(1) $\frac{1}{4}n^2(n+1)^2$
(2) ①
$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 19^3 + 20^3$
$=\frac{1}{4}×20^2×(20+1)^2$
$=\frac{1}{4}×400×441$
$=44100$
②
$11^3 + 12^3 + 13^3 + \dots + 19^3 + 20^3$
$=(1^3+2^3+\dots+20^3)-(1^3+2^3+\dots+10^3)$
$=44100 - \frac{1}{4}×10^2×11^2$
$=44100 - 3025$
$=41075$
(3)
$2^3 + 4^3 + 6^3 + 8^3 + \dots + 40^3$
$=(2×1)^3+(2×2)^3+(2×3)^3+\dots+(2×20)^3$
$=8×1^3 + 8×2^3 + 8×3^3 + \dots + 8×20^3$
$=8×(1^3+2^3+\dots+20^3)$
$=8×44100$
$=352800$
解析
【分析】
首先观察给出的等式，左边是从1开始的连续正整数的立方和，右边均为$\frac{1}{4}$乘最大底数的平方，再乘最大底数加1的平方，据此可归纳出通用公式解决第(1)问；第(2)问①直接将n=20代入(1)的公式计算即可；②所求式子是从11到20的立方和，可转化为从1到20的立方和减去从1到10的立方和，两次代入公式计算后作差得到结果；第(3)问观察到所有底数都是2的倍数，可将每个项改写为$(2×k)^3$的形式，利用题中给出的$(2n)^3=8n^3$的结论，提取公因数8后，剩下的部分就是从1到20的立方和，代入前面的结果计算即可。
【解析】
(1) 观察已知等式规律：
2个连续立方相加时，结果为$\frac{1}{4}×2^2×3^2$；
3个连续立方相加时，结果为$\frac{1}{4}×3^2×4^2$；
4个连续立方相加时，结果为$\frac{1}{4}×4^2×5^2$；
因此从1到n的连续立方和为$\frac{1}{4}n^2(n+1)^2$。
(2) ① 计算$1^3 + 2^3 + 3^3 + ··· + 20^3$，将$n=20$代入上述公式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{4}×20^2×(20+1)^2\\&=\frac{1}{4}×400×441\\&=44100\end{aligned}$
② 计算$11^3 + 12^3 + ··· + 20^3$，转化为前20项立方和减去前10项立方和：
$\begin{aligned}原式&=(1^3+2^3+···+20^3)-(1^3+2^3+···+10^3)\\&=44100 - \frac{1}{4}×10^2×11^2\\&=44100 - 3025\\&=41075\end{aligned}$
(3) 计算$2^3 + 4^3 + 6^3 + ··· + 40^3$，先改写每个项的形式：
$\begin{aligned}原式&=(2×1)^3 + (2×2)^3 + (2×3)^3 + ··· + (2×20)^3\\&=8×1^3 + 8×2^3 + ··· + 8×20^3\\&=8×(1^3+2^3+···+20^3)\\&=8×44100\\&=352800\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{4}n^2(n+1)^2$
(2) ① $\boxed{44100}$；② $\boxed{41075}$
(3) $\boxed{352800}$
【知识点】
数字规律探究，有理数乘方，四则混合运算
【点评】
本题考查从已知式子中归纳通用规律，再利用规律解决拓展计算问题，解题时可将不符合公式形式的求和问题通过转化、拆分、提取公因数等方法变为标准形式求解，能有效锻炼归纳推理能力和运算灵活性。
【难度系数】
0.6
首先观察给出的等式，左边是从1开始的连续正整数的立方和，右边均为$\frac{1}{4}$乘最大底数的平方，再乘最大底数加1的平方，据此可归纳出通用公式解决第(1)问；第(2)问①直接将n=20代入(1)的公式计算即可；②所求式子是从11到20的立方和，可转化为从1到20的立方和减去从1到10的立方和，两次代入公式计算后作差得到结果；第(3)问观察到所有底数都是2的倍数，可将每个项改写为$(2×k)^3$的形式，利用题中给出的$(2n)^3=8n^3$的结论，提取公因数8后，剩下的部分就是从1到20的立方和，代入前面的结果计算即可。
【解析】
(1) 观察已知等式规律：
2个连续立方相加时，结果为$\frac{1}{4}×2^2×3^2$；
3个连续立方相加时，结果为$\frac{1}{4}×3^2×4^2$；
4个连续立方相加时，结果为$\frac{1}{4}×4^2×5^2$；
因此从1到n的连续立方和为$\frac{1}{4}n^2(n+1)^2$。
(2) ① 计算$1^3 + 2^3 + 3^3 + ··· + 20^3$，将$n=20$代入上述公式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{4}×20^2×(20+1)^2\\&=\frac{1}{4}×400×441\\&=44100\end{aligned}$
② 计算$11^3 + 12^3 + ··· + 20^3$，转化为前20项立方和减去前10项立方和：
$\begin{aligned}原式&=(1^3+2^3+···+20^3)-(1^3+2^3+···+10^3)\\&=44100 - \frac{1}{4}×10^2×11^2\\&=44100 - 3025\\&=41075\end{aligned}$
(3) 计算$2^3 + 4^3 + 6^3 + ··· + 40^3$，先改写每个项的形式：
$\begin{aligned}原式&=(2×1)^3 + (2×2)^3 + (2×3)^3 + ··· + (2×20)^3\\&=8×1^3 + 8×2^3 + ··· + 8×20^3\\&=8×(1^3+2^3+···+20^3)\\&=8×44100\\&=352800\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{4}n^2(n+1)^2$
(2) ① $\boxed{44100}$；② $\boxed{41075}$
(3) $\boxed{352800}$
【知识点】
数字规律探究，有理数乘方，四则混合运算
【点评】
本题考查从已知式子中归纳通用规律，再利用规律解决拓展计算问题，解题时可将不符合公式形式的求和问题通过转化、拆分、提取公因数等方法变为标准形式求解，能有效锻炼归纳推理能力和运算灵活性。
【难度系数】
0.6
