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5. 数学课上,有同学提出如下问题:试证明两直线平行,同位角相等.
图1 图2
(第5题图)
老师说这个证明可以用反证法完成,思路及过程如下:
如图1,我们想要证明“如果直线AB、CD被直线EF所截,且AB//CD,那么∠EOB=∠EO'D”.如图2,假设∠EOB≠∠EO'D,过点O作直线A'B',使∠EOB'=∠EO'D,可得A'B'//CD.这样过点O就有两条直线AB、A'B'都平行于直线CD,这与基本事实
图1 图2
(第5题图)
老师说这个证明可以用反证法完成,思路及过程如下:
如图1,我们想要证明“如果直线AB、CD被直线EF所截,且AB//CD,那么∠EOB=∠EO'D”.如图2,假设∠EOB≠∠EO'D,过点O作直线A'B',使∠EOB'=∠EO'D,可得A'B'//CD.这样过点O就有两条直线AB、A'B'都平行于直线CD,这与基本事实
经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行
相矛盾,说明假设∠EOB≠∠EO'D不成立,于是有∠EOB=∠EO'D.答案
5. 经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行
6. 阅读下面的文字,回答问题.
题目:在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,若$∠ A≠45°$,则$AC≠ BC$.
证明:假设$AC=BC$,
$\because ∠ A≠45°,∠ C=90°$,
$\therefore ∠ A≠∠ B$.
$\therefore AC≠ BC$,这与假设矛盾.
$\therefore AC≠ BC$.
上面的证明有没有错误?若没有错误,指出其证明的方法;若有错误,请改正.
题目:在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,若$∠ A≠45°$,则$AC≠ BC$.
证明:假设$AC=BC$,
$\because ∠ A≠45°,∠ C=90°$,
$\therefore ∠ A≠∠ B$.
$\therefore AC≠ BC$,这与假设矛盾.
$\therefore AC≠ BC$.
上面的证明有没有错误?若没有错误,指出其证明的方法;若有错误,请改正.
答案
6. 有错误.
假设$AC=BC$,则$∠ A=∠ B$.
又$\because \quad ∠ C=90°$,
$\therefore \quad ∠ A=45°$.
这与已知$∠ A≠45°$相矛盾.
$\therefore \quad$在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$∠ C=90°$,若$∠ A≠45°$,则$AC≠BC$.
假设$AC=BC$,则$∠ A=∠ B$.
又$\because \quad ∠ C=90°$,
$\therefore \quad ∠ A=45°$.
这与已知$∠ A≠45°$相矛盾.
$\therefore \quad$在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$∠ C=90°$,若$∠ A≠45°$,则$AC≠BC$.
7. 用反证法证明:任意三角形的三个外角中至多有一个直角.
答案
7. 假设$△ABC$的三个外角中至少有两个直角,不妨设$∠ B=∠ C=90°$,
$\therefore \quad ∠ A+∠ B+∠ C＞180°$.
这与三角形内角和等于$180°$相矛盾.
$\therefore \quad$任意三角形的三个外角中至多有一个直角.
$\therefore \quad ∠ A+∠ B+∠ C＞180°$.
这与三角形内角和等于$180°$相矛盾.
$\therefore \quad$任意三角形的三个外角中至多有一个直角.
