13. (1) 用“$＞$”“$＜$”或“$=$”填空：
$\sqrt{1}$ $\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ $\sqrt{4}$ $\sqrt{5}$。
(2) 由(1)可知：
① $|1-\sqrt{2}|=$ ；
② $|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=$ ；
③ $|\sqrt{3}-\sqrt{4}|=$ ；
④ $|\sqrt{4}-\sqrt{5}|=$ 。
(3) 计算(结果保留根号)：
① $|1-\sqrt{2}|+|\sqrt{2}-\sqrt{3}|+|\sqrt{3}-\sqrt{4}|+|\sqrt{4}-\sqrt{5}|$；
② $|1-\sqrt{2}|+|\sqrt{2}-\sqrt{3}|+|\sqrt{3}-\sqrt{4}|+|\sqrt{4}-\sqrt{5}|+\dots+|\sqrt{2027}-\sqrt{2028}|$。

13. (1) ＜,＜,＜,＜ (2) ①$\sqrt{2}-1$;②$\sqrt{3}-\sqrt{2}$;③$\sqrt{4}-\sqrt{3}$;④$\sqrt{5}-\sqrt{4}$
(3) ①$\sqrt{5}-1$;②$\sqrt{2\ 028}-1$

【分析】
1. 解决第(1)问：依据算术平方根的性质，被开方数为非负数时，被开方数越大，对应的算术平方根越大，通过比较被开方数的大小即可直接得到算术平方根的大小关系。
2. 解决第(2)问：根据绝对值的化简规则，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，结合第(1)问得到的大小关系，判断绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号即可。
3. 解决第(3)问：先将每个绝对值按第(2)问的规律化简，观察式子特征可发现中间的同类二次根式能相互抵消，仅剩下首尾两项，直接计算首尾两项的差即可得到结果；第②小问是规律延伸，同理抵消中间项后就能得出结果。
【解析】
(1) 因为被开方数越大，算术平方根越大，且$1＜2＜3＜4＜5$，所以$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}＜\sqrt{5}$。
(2) ① 因为$1-\sqrt{2}＜0$，所以$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$；
② 因为$\sqrt{2}-\sqrt{3}＜0$，所以$|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
③ 因为$\sqrt{3}-\sqrt{4}＜0$，所以$|\sqrt{3}-\sqrt{4}|=\sqrt{4}-\sqrt{3}$；
④ 因为$\sqrt{4}-\sqrt{5}＜0$，所以$|\sqrt{4}-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-\sqrt{4}$。
(3) ① 原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+(\sqrt{5}-\sqrt{4})$
$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{4}$
$=\sqrt{5}-1$。
② 原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{2028}-\sqrt{2027})$
$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\dots+\sqrt{2028}-\sqrt{2027}$
$=\sqrt{2028}-1$。
【答案】
(1) $＜$；$＜$；$＜$；$＜$
(2) ①$\sqrt{2}-1$；②$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；③$\sqrt{4}-\sqrt{3}$；④$\sqrt{5}-\sqrt{4}$
(3) ①$\sqrt{5}-1$；②$\sqrt{2028}-1$
【知识点】
算术平方根的性质；绝对值的化简；二次根式加减运算
【点评】
本题综合考察算术平方根和绝对值的相关知识，解题核心是掌握绝对值的化简方法，同时能观察出式子运算中中间项相互抵消的规律，属于基础类综合题，有助于培养规律探究能力。
【难度系数】
0.8