7.用一条长20的绳子围成一个等腰三角形.
(1)若等腰三角形的底为8,则其中一条腰的长为.
(2)若围成三角形一边的长是另一边的2倍,请分别求该三角形的底和腰.

7.(1)6
(2)①当腰是底的2倍时,设底长为x,腰长为2x,则
x+2x+2x=20,解得x=4,则腰为8；
②当底是腰的2倍时,设腰长为x,底长为2x,则
x+x+2x=20,解得x=5,2x=10.
因为5+5=10,不符合三角形两边之和大于第三边,舍去.
故该等腰三角形的底和腰分别为4,8.

【分析】
(1) 已知等腰三角形周长和底边长，根据等腰三角形两腰相等的性质，用周长减去底边长得到两条腰的总长度，除以2即可得到单条腰的长度，最后要验证三边是否满足三角形三边关系。
(2) 题目仅说明一边是另一边的2倍，未明确腰和底的关系，因此需要分两种情况讨论：①腰长是底边长的2倍；②底边长是腰长的2倍。分别设未知数列方程求出边长后，必须用三角形“两边之和大于第三边”的规则检验，不符合的情况要舍去，最终得到符合要求的边长。
【解析】
(1) 等腰三角形周长公式为：周长=2×腰长+底边长，已知周长为20，底为8，代入得：
腰长=(20-8)÷2=6
验证：6+6＞8，满足三角形三边关系，因此腰长为6。
(2) 分两种情况讨论：
① 当腰长是底边长的2倍时，设底边长为x，则腰长为2x，根据周长列方程：
$x + 2x + 2x = 20$
解得$x=4$，此时腰长为$2x=8$
验证：$4+8＞8$，满足三角形三边关系，符合要求。
② 当底边长是腰长的2倍时，设腰长为x，则底边长为2x，根据周长列方程：
$x + x + 2x = 20$
解得$x=5$，此时底边长为$2x=10$
验证：$5+5=10$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，该情况舍去。
【答案】
(1) 6
(2) 底为4，腰为8
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，一元一次方程的应用
【点评】
本题是等腰三角形周长计算的基础题，易错点在于第二问忽略分类讨论，或求出边长后未通过三边关系验证能否构成三角形，导致出现错误解，做题时要注意分类讨论思想的应用，养成验证的习惯。
【难度系数】
0.7

8.一个三角形的三边长分别为$5,2a-1,8$.
(1)求$a$的取值范围.
(2)化简$|a-8|+|4-2a|-|a+2|$.

8.(1)依题意,$\begin{cases}2a-1＞8-5,\\2a-1＜8+5,\end{cases}$解得$2＜a＜7$.
(2)依题意,原式$=8-a-(4-2a)-(a+2)=2$.

【分析】
(1) 第一问需运用三角形三边关系解题：三角形任意一边的长度大于另外两边的差，小于另外两边的和，据此列出关于a的不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围。(2) 第二问先根据第一问求出的a的取值范围，判断每个绝对值内代数式的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项完成化简即可。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系，可得不等式组：
$\begin{cases}2a-1 ＞ 8-5 \\2a-1 ＜ 8+5 \end{cases}$
解第一个不等式：$2a-1＞3$，移项得$2a＞4$，解得$a＞2$；
解第二个不等式：$2a-1＜13$，移项得$2a＜14$，解得$a＜7$；
因此$a$的取值范围是$2 ＜ a ＜ 7$。
(2) 结合$2 ＜ a ＜ 7$判断绝对值内式子的正负：
$a-8＜0$，所以$|a-8|=8-a$；
$4-2a＜0$，所以$|4-2a|=2a-4$；
$a+2＞0$，所以$|a+2|=a+2$。
代入原式化简：
$\begin{aligned}|a-8|+|4-2a|-|a+2|&=8-a + 2a -4 -(a+2) \\&=8 -a +2a -4 -a -2 \\&=2\end{aligned}$
【答案】
(1) $2 ＜ a ＜ 7$；(2) $2$
【知识点】
三角形三边关系，绝对值的性质，一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是先通过三角形三边关系确定参数的取值范围，再结合绝对值的性质化简，需要注意去绝对值时符号的变化规则，避免符号出错。
【难度系数】
0.7

9.长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相连,围成一个三角形(木棒允许连接,但不允许折断),得到的三角形的最长边长为().

A.4
B.5
C.6
D.7

9.B

【分析】
解题的核心依据是三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。首先先计算四根木棒的总长度，即所围三角形的周长，再根据三边关系推导最长边的取值上限，排除不符合的选项后，再逐一验证剩余选项对应的边长组合是否满足三角形构成条件，最终得到正确结果。
【解析】
1. 计算四根木棒总长度：$2+3+3+4=12$，即围成的三角形周长为12。
2. 设三角形最长边为$x$，则另外两条边的长度和为$12-x$。根据三角形三边关系，最长边需小于另外两边之和，即$x ＜ 12 - x$，解得$x ＜ 6$，因此最长边不可能为6或7，排除C、D选项。
3. 验证最长边为5的情况：将长度为2和3的木棒拼接，得到长度为5的边，剩余两根木棒长度为3、4，此时三角形三边长为3、4、5，满足$3+4＞5$、$3+5＞4$、$4+5＞3$，符合三角形构成要求。
4. 验证最长边为6的情况：若要得到长度为6的边，拼接方式有两种：①将2和4拼接得6，剩余两边为3、3，三边长为3、3、6，$3+3=6$，不满足三边关系；②将3和3拼接得6，剩余两边为2、4，三边长为2、4、6，$2+4=6$，也不满足三边关系，因此无法构成最长边为6的三角形。
综上，得到的三角形最长边长为5。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用类题目，解题时先通过周长推导最长边的取值范围可以快速排除错误选项，再验证剩余选项即可，易错点是忽略构成三角形要求两边之和严格大于第三边，误将等于的情况判定为符合要求。
【难度系数】
0.7

10.三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，这样的三角形共有()。

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

10.B

【分析】
解决本题需要结合三角形三边关系和题目给出的限制条件分步推导：首先我们可以将三边长按从小到大排序为$a＜b＜c$（$a、b、c$均为正整数），避免重复枚举；再根据三角形“两边之和大于第三边”的性质，可得$a+b＞c$，因此周长$a+b+c＞2c$，结合周长小于13的条件可先确定最大边$c$的取值范围；最后逐个枚举$c$的可能取值，筛选出符合所有条件的边长组合即可。
【解析】
设三角形三边长为互不相等的正整数$a、b、c$，且$a＜b＜c$。
1. 确定最大边$c$的范围：
根据三角形三边关系，$a+b＞c$，因此周长$L=a+b+c＞2c$；
已知$L＜13$，因此$2c＜13$，即$c＜6.5$，故$c$的最大可能值为6。
2. 分类枚举验证：
当$c=6$时：需同时满足$a+b＞6$（三边关系）和$a+b+6＜13$即$a+b＜7$，不存在正整数$a、b$同时满足两个条件，无符合的组合。
当$c=5$时：需满足$a+b＞5$，且$a+b＜13-5=8$，同时$a＜b＜5$：
取$b=4$，则$a＞5-4=1$且$a＜4$，可得$a=2、3$，对应三边长为$(2,4,5)$、$(3,4,5)$，均符合要求，共2个组合。
当$c=4$时：需满足$a+b＞4$，且$a＜b＜4$：
取$b=3$，则$a＞4-3=1$且$a＜3$，可得$a=2$，对应三边长为$(2,3,4)$，符合要求，共1个组合。
当$c≤3$时：不存在两个更小的不等正整数$a、b$满足$a+b＞c$，无符合的组合。
综上，符合条件的三角形共有$2+1=3$个。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系，分类枚举
【点评】
本题是三角形边长计数类的典型题，解题核心是通过先确定最大边的范围缩小枚举的工作量，能有效避免漏解或重复计数，需要熟练掌握三角形三边关系的灵活应用。
【难度系数】
0.6

11.如图,从点A经点B到点C是一条柏油马路.
(1)若AC是一条小路,人们从点A到点C往往不走柏油马路,而喜欢走小路,请说明其中的数学道理.
(2)如果仅有一条从点A经点D到点C的小路,此时是走柏油马路更近还是走从点A经点D到点C的小路更近?请判断并说明理由.

11.(1)两点之间,线段最短.
(2)走小路更近,理由如下：
延长 AD,交 BC 于点 E,
在△ABE 中,AB+BE＞AD+DE(三角形两边之和大于第三边),
在△DEC 中,DE+EC＞CD(同理),
所以 AB+BE+DE+EC＞AD+DE+CD,
即 AB+BC＞AD+CD.

【分析】
(1) 对比从A到C的两条路径：折线路径A-B-C和线段路径AC，结合线段的基本性质即可解释该现象。
(2) 要判断哪条路更近，本质是比较$AB+BC$与$AD+CD$的大小。我们可以通过延长AD交BC于点E，将待比较的线段拆分到$△ ABE$和$△ DEC$两个三角形中，分别利用三角形三边关系得到两个不等式，再将不等式相加消去公共线段DE，即可推导得到两条路径的长度关系。
【解析】
(1) 小路AC是连接A、C两点的线段，根据线段的性质，两点之间的所有连线中线段最短，因此走AC小路比走折线路径A-B-C路程更短。
(2) 走从点A经点D到点C的小路更近，推导过程如下：
延长AD，交BC于点E。
在$△ ABE$中，根据三角形两边之和大于第三边，得$AB + BE ＞ AD + DE$；
在$△ DEC$中，同理可得$DE + EC ＞ CD$；
将两个不等式左右两边分别相加，得$AB + BE + DE + EC ＞ AD + DE + CD$，
两边同时减去DE，可得$AB + (BE + EC) ＞ AD + CD$，即$AB + BC ＞ AD + CD$，因此走A经D到C的小路更近。
【答案】
(1) 两点之间，线段最短。
(2) 走从点A经点D到点C的小路更近，理由如下：延长AD，交BC于点E，在△ABE中，AB+BE＞AD+DE(三角形两边之和大于第三边)，在△DEC中，DE+EC＞CD(同理)，所以AB+BE+DE+EC＞AD+DE+CD，即AB+BC＞AD+CD。
【知识点】
两点之间线段最短；三角形三边关系
【点评】
本题结合生活场景考查几何基本性质的应用，第一问为基础概念考查，第二问通过构造辅助线将分散的线段纳入三角形中分析，体现了转化的数学思想，能够锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

12.定义:如果一个三角形三条边均为偶数,我们称这个三角形为“偶边三角形”.例如,三边长分别为6,8,10的三角形就是一个“偶边三角形”.已知$△ ABC$的三边长分别为$a$,$b$,$4$.
(1)若$a=2$,在$4,6,8$三个数中,能使$△ ABC$为“偶边三角形”的$b$的值为.
(2)若$△ ABC$为“偶边三角形”,其周长为$12$,求$a$,$b$的值.
(3)若$b=2a-8$,“偶边三角形”$ABC$的周长超过$14$且不超过$32$,直接写出符合条件的$b$的值为.

12.(1)4
(2)依题意,$b=12-4-a=8-a$,
则$\begin{cases}8-a+4＞a,\\4+a＞8-a,\end{cases}$解得$2＜a＜6$,即$a=4,b=4$.
(3)8 或 12

【分析】
本题围绕新定义“偶边三角形”展开，解题核心需同时满足两个条件：①三角形三边长均为偶数；②满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）。
(1) 已知a=2，现有两边2、4，给定的b候选值均为偶数，只需逐一验证三边关系即可找到符合条件的b；
(2) 先根据周长为12得到a与b的数量关系，再结合三边关系列不等式组求出a的取值范围，最后结合a、b均为偶数的条件确定a、b的取值；
(3) 先将b=2a-8代入周长公式，结合周长的范围列不等式求出a的初步范围，再结合三边关系和a为偶数的条件筛选出符合要求的a，进而求出b的值。
【解析】
(1) 当a=2时，△ABC三边长为2、4、b，根据三角形三边关系可得$4-2 ＜ b ＜ 4+2$，即$2 ＜ b ＜ 6$。
给定候选值4、6、8中，仅4满足$2＜4＜6$，且4为偶数，符合“偶边三角形”要求。
(2) 已知△ABC为“偶边三角形”，故a、b均为偶数，由周长为12得：
$a + b + 4 = 12$，整理得$b = 8 - a$。
根据三角形三边关系列不等式组：
$\begin{cases} b + 4 ＞ a \\ a + 4 ＞ b \end{cases}$
将$b=8-a$代入不等式组得：
$\begin{cases} 8 - a + 4 ＞ a \\ 4 + a ＞ 8 - a \end{cases}$
解第一个不等式得$a ＜6$，解第二个不等式得$a＞2$，即$2＜a＜6$。
又a为偶数，故$a=4$，此时$b=8-4=4$，均为偶数，符合要求。
(3) 已知$b=2a-8$，△ABC为“偶边三角形”，故a、b均为偶数，周长$C=a + b + 4 = 3a -4$。
由题意周长超过14且不超过32，得：
$14 ＜ 3a -4 ≤32$，解得$6 ＜a ≤12$。
再结合三边关系$a + 4 ＞ b$，代入$b=2a-8$得$a ＜12$，故a的取值范围为$6＜a＜12$。
a为偶数，故$a=8$或$a=10$，对应$b=2×8-8=8$，$b=2×10-8=12$，均符合要求。
【答案】
(1) 4；(2) $a=4$，$b=4$；(3) 8或12
【知识点】
三角形三边关系，新定义问题，不等式组应用
【点评】
本题结合新定义考查三角形三边关系的实际应用，解题时需注意同时满足新定义要求和三角形三边的构成条件，不要遗漏偶数的限制，考查了学生的审题能力和不等式运算能力。
【难度系数】
0.6