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1. (2024·临夏中考)如图①,在矩形ABCD中,点E为AD边上不与端点重合的一动点,点F是对角线BD上一点,连接BE,AF交于点O,且∠ABE=∠DAF.
【模型建立】
(1)求证:AF⊥ BE;
【模型应用】
(2)若$AB=2,AD=3,DF=\frac{1}{2}BF,$求DE的长;
【模型迁移】
(3)如图②,若矩形ABCD是正方形$,DF=\frac{1}{2}BF,$求$\frac{AF}{AD}$的值.
【模型建立】
(1)求证:AF⊥ BE;
【模型应用】
(2)若$AB=2,AD=3,DF=\frac{1}{2}BF,$求DE的长;
【模型迁移】
(3)如图②,若矩形ABCD是正方形$,DF=\frac{1}{2}BF,$求$\frac{AF}{AD}$的值.
答案
1. (1)
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠BAD=90°,
∴ ∠ABE+∠AEB=90°.
∵ ∠ABE=∠DAF,
∴ ∠DAF+∠AEB=90°,
∴ ∠AOE=90°,
∴ AF⊥BE.
(2) 延长AF交CD于点G.
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AB//CD,∠BAD=∠ADG=90°,
∴ △AFB∽△GFD,
∴ $\frac{DG}{AB}=\frac{DF}{BF}=\frac{1}{2}$,
∴ $DG=\frac{1}{2}AB=1$.
∵ ∠BAD=∠ADG=90°,∠ABE=∠DAF,
∴ △ABE∽△DAG,
∴ $\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{DG}=\frac{2}{3}$,
∴ $AE=\frac{2}{3}DG=\frac{2}{3}$,
∴ $DE=AD-AE=3-\frac{2}{3}=\frac{7}{3}$.
(3) 设正方形ABCD的边长为a,则AB=AD=a,延长AF交CD于点G.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ ∠BAD=∠ADG=90°,AB//CD,
∴ △AFB∽△GFD,
∴ $\frac{DG}{AB}=\frac{FG}{AF}=\frac{DF}{BF}=\frac{1}{2}$,
∴ $DG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$,$FG=\frac{1}{2}AF$,
∴ $AG=\sqrt{AD^2+DG^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}a$.
∵ $FG=\frac{1}{2}AF$,
∴ $AF=\frac{2}{3}AG=\frac{\sqrt{5}}{3}a$,
∴ $\frac{AF}{AD}=\frac{\frac{\sqrt{5}a}{3}}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$.
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠BAD=90°,
∴ ∠ABE+∠AEB=90°.
∵ ∠ABE=∠DAF,
∴ ∠DAF+∠AEB=90°,
∴ ∠AOE=90°,
∴ AF⊥BE.
(2) 延长AF交CD于点G.
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AB//CD,∠BAD=∠ADG=90°,
∴ △AFB∽△GFD,
∴ $\frac{DG}{AB}=\frac{DF}{BF}=\frac{1}{2}$,
∴ $DG=\frac{1}{2}AB=1$.
∵ ∠BAD=∠ADG=90°,∠ABE=∠DAF,
∴ △ABE∽△DAG,
∴ $\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{DG}=\frac{2}{3}$,
∴ $AE=\frac{2}{3}DG=\frac{2}{3}$,
∴ $DE=AD-AE=3-\frac{2}{3}=\frac{7}{3}$.
(3) 设正方形ABCD的边长为a,则AB=AD=a,延长AF交CD于点G.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ ∠BAD=∠ADG=90°,AB//CD,
∴ △AFB∽△GFD,
∴ $\frac{DG}{AB}=\frac{FG}{AF}=\frac{DF}{BF}=\frac{1}{2}$,
∴ $DG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$,$FG=\frac{1}{2}AF$,
∴ $AG=\sqrt{AD^2+DG^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}a$.
∵ $FG=\frac{1}{2}AF$,
∴ $AF=\frac{2}{3}AG=\frac{\sqrt{5}}{3}a$,
∴ $\frac{AF}{AD}=\frac{\frac{\sqrt{5}a}{3}}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$.
2. (2026·成都中考)在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探究.
如图，△ABC≌△EAD，AB=AC=nBC(n＞1)，点D在AC边上，延长ED交AB于点F.
(1)【初步感知】求证:$AF^2 = FD · FE$；
(2)【深入探究】如图①，当n=2，AD=1时，求BF的长；
(3)【拓展延伸】如图②，将△EAD绕点E按逆时针方向旋转一定角度(小于90°)得到△EA'D'，若F,A',D'三点共线，且点A的对应点A'满足$A'A ⊥ A'B$，求n的值.
如图，△ABC≌△EAD，AB=AC=nBC(n＞1)，点D在AC边上，延长ED交AB于点F.
(1)【初步感知】求证:$AF^2 = FD · FE$；
(2)【深入探究】如图①，当n=2，AD=1时，求BF的长；
(3)【拓展延伸】如图②，将△EAD绕点E按逆时针方向旋转一定角度(小于90°)得到△EA'D'，若F,A',D'三点共线，且点A的对应点A'满足$A'A ⊥ A'B$，求n的值.
答案
2. (1)
∵ △ABC≌△EAD,
∴ ∠BAC=∠E,即∠FAD=∠E.又
∵ ∠AFD=∠EFA,
∴ △AFD∽△EFA,
∴ $\frac{AF}{FE}=\frac{FD}{AF}$,
∴ $AF^2 = FD · FE$.
(2)
∵ △ABC≌△EAD,
∴ BC=AD=1,AB=AE,AC=DE.
∵ AB=AC=nBC,n=2,
∴ AB=AC=AE=DE=2.由(1)得,△AFD∽△EFA,
∴ $\frac{AF}{FE}=\frac{FD}{AF}=\frac{AD}{AE}=\frac{1}{2}$,
∴ FE=2AF, FD=$\frac{1}{2}AF$,
∴ DE=FE-FD=$\frac{3}{2}AF=2$,解得 $AF=\frac{4}{3}$,
∴ BF=AB-AF=2-$\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$,即BF的长为$\frac{2}{3}$.
(3) 如图,连接A'F.
设BC=AD=1,由(2)中的结论可得AB=AC=AE=DE=n,由旋转的性质得,AE=A'E,∠EA'D'=∠EAD,
∴ ∠EAA'=∠EA'A.设∠EA'D'=∠EAD=α,
∵ F,A',D'三点共线,
∴ ∠EA'F+∠EA'D'=180°,
∴ ∠EA'F=180°-α.
∵ AE=DE,
∴ ∠AED=180°-2α.
∵ △ABC≌△EAD,
∴ ∠BAC=∠AED=180°-2α,
∴ ∠EAF=∠BAC+∠EAD=180°-2α+α=180°-α,
∴ ∠EAF=∠EA'F,
∴ ∠EAF-∠EAA'=∠EA'F-∠EA'A,即∠FAA'=∠FA'A,
∴ AF=A'F.
∵ A'A⊥A'B,
∴ ∠AA'B=90°,
∴ ∠FAA'+∠FBA'=90°,∠FA'A+∠FA'B=90°,
∴ ∠FBA'=∠FA'B,
∴ BF=A'F,
∴ AF=BF=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}n$.由(1)得△AFD∽△EFA,
∴ $\frac{AF}{FE}=\frac{FD}{AF}=\frac{AD}{AE}=\frac{1}{n}$,
∴ FE=nAF=$\frac{1}{2}n^2$, FD=$\frac{1}{n}AF=\frac{1}{2}$,
∴ DE=FE-FD=$\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}=n$,解得n=$\sqrt{2}+1$(负值已舍去),
∴ n的值为$\sqrt{2}+1$.
