3. (宿迁中考)【感知】如图①,在四边形ABCD中,∠C=∠D=90°,点E在边CD上,∠AEB=90°.求证:$\frac{AE}{EB}=\frac{DE}{BC}$.
【探究】如图②,在四边形ABCD中,∠C=∠ADC=90°,点E在边CD上,点F在边AD的延长线上,∠FEG=∠AEB=90°,且$\frac{FE}{EG}=\frac{AE}{EB}$,连接BG交CD于点H.求证:BH=GH.
【拓展】如图③,点E在四边形ABCD内,∠AEB+∠DEC=180°,且$\frac{AE}{EB}=\frac{DE}{EC}$,过E作EF交AD于点F,使∠EFA=∠AEB,延长FE交BC于点G.求证:BG=CG.

3. 【感知】
∵ ∠C=90°,
∴ ∠CBE+∠CEB=90°.
∵ ∠AEB=90°,
∴ ∠AED+∠CEB=90°,
∴ ∠CBE=∠DEA.又
∵ ∠C=∠D,
∴ △BCE∽△EDA,
∴ $\frac{AE}{EB}=\frac{DE}{BC}$.
【探究】如图①,过点G作GM⊥CD于点M,则∠HMG=90°.
已证得△EDA∽△BCE,
∴ $\frac{AE}{EB}=\frac{DE}{BC}$.同理,易证△EDF∽△GME,
∴ $\frac{FE}{EG}=\frac{DE}{MG}$.
∵ $\frac{FE}{EG}=\frac{AE}{EB}$,
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{DE}{MG}$,
∴ BC=MG.
在△BCH和△GMH中,$\begin{cases}∠BHC=∠GHM, \\ ∠C=∠HMG=90°, \\ BC=GM,\end{cases}$
∴ △BCH≌△GMH(AAS),
∴ BH=GH.
【拓展】如图②,在FG上取点H,连接BH,使∠BHE=∠AEB.
在△BEH中,∠EBH+∠BEH=180°-∠BHE.又
∵ ∠AEF+∠BEH=180°-∠AEB,
∴ ∠EBH=∠AEF.
∵ ∠BHE=∠AEB=∠EFA,
∴ △AEF∽△EBH,
∴ $\frac{AE}{EB}=\frac{EF}{BH}$.
∵ ∠AEB+∠DEC=180°,∠EFA=∠AEB,
∴ ∠EFA+∠DEC=180°.又
∵ ∠EFA+∠EFD=180°,
∴ ∠DEC=∠EFD.在FG的延长线上取点M,连接CM,使∠M=∠DEC.同理,易证△DEF∽△ECM,
∴ $\frac{DE}{EC}=\frac{EF}{CM}$.
∵ $\frac{AE}{EB}=\frac{DE}{EC}$,
∴ $\frac{EF}{BH}=\frac{EF}{CM}$,
∴ BH=CM.
∵ ∠BHE+∠BHG=180°,∠BHE=∠AEB,
∴ ∠BHG=∠DEC=∠M.在△BHG和△CMG中,$\begin{cases}∠BGH=∠CGM, \\ ∠BHG=∠M, \\ BH=CM,\end{cases}$
∴ △BHG≌△CMG(AAS),
∴ BG=CG.

4. (1)【探究发现】如图①所示,在正方形ABCD中,E为AD边上一点,将△AEB沿BE翻折到△FEB处,延长EF交CD边于点G,连接BG.求证:△BFG≌△BCG.
(2)【类比迁移】如图②,在矩形ABCD中,E为AD边上一点,且AD=8,AB=6,将△AEB沿BE翻折到△FEB处,延长EF交BC边于点G,延长BF交CD边于点H,且FH=CH,求AE的长.
(3)【拓展应用】在菱形ABCD中,AB=6,E为CD边上的三等分点,∠D=60°,将△ADE沿AE翻折得到△AFE,直线EF交BC于点P,求CP的长.(可利用备用图探究)

4. (1)
∵ 将△AEB沿BE翻折到△FEB处,四边形ABCD是正方形,
∴ AB=BF,∠BFE=∠A=90°,
∴ ∠BFG=90°=∠C.
∵ AB=BC=BF,BG=BG,
∴ Rt△BFG≌Rt△BCG(HL).
(2) 延长BH,AD交于点Q,如图①,设FH=HC=x,在Rt△BCH中,$BC^2+CH^2=BH^2$,
∴ $8^2+x^2=(6+x)^2$,解得$x=\frac{7}{3}$,
∴ $DH=DC-HC=\frac{11}{3}$.
∵ ∠BFG=∠BCH=90°,∠CBH=∠FBG,
∴ △BFG∽△BCH,
∴ $\frac{BF}{BC}=\frac{BG}{BH}=\frac{FG}{HC}$,即$\frac{6}{8}=\frac{BG}{6+\frac{7}{3}}=\frac{FG}{\frac{7}{3}}$,
∴ $BG=\frac{25}{4}$,$FG=\frac{7}{4}$.
∵ EQ//GB,
∴ DQ//CB,△DHQ∽△CHB,
∴ $\frac{BC}{DQ}=\frac{CH}{DH}$,即$\frac{8}{DQ}=\frac{\frac{7}{3}}{\frac{11}{3}}$,
∴ $DQ=\frac{88}{7}$.设AE=EF=m,则DE=8-m,
∴ $EQ=DE+DQ=8-m+\frac{88}{7}=\frac{144}{7}-m$.
∵ △EFQ∽△GFB,
∴ $\frac{EQ}{BG}=\frac{EF}{FG}$,即$\frac{\frac{144}{7}-m}{\frac{25}{4}}=\frac{m}{\frac{7}{4}}$,解得$m=\frac{9}{2}$,
∴ AE的长为$\frac{9}{2}$.
(3) ①当DE=$\frac{1}{3}DC=2$时,设直线EF与AD交点为Q,过点Q作QH⊥CD于点H,如图②,设DQ=x,QE=y,则AQ=6-x.
∵ CP//DQ,
∴ △CPE∽△DQE,
∴ $\frac{CP}{DQ}=\frac{CE}{DE}=2$,
∴ CP=2x.
∵ △ADE沿AE翻折得到△AFE,
∴ EF=DE=2,AF=AD=6,∠QAE=∠FAE,
∴ AE是∠QAF的平分线,
∴ $\frac{AQ}{AF}=\frac{QE}{EF}$,即$\frac{6-x}{6}=\frac{y}{2}$ ①.
∵ ∠DHQ=90°,∠D=60°,
∴ ∠DQH=30°,
∴ DH=$\frac{1}{2}DQ=\frac{1}{2}x$,HE=DE-DH=2-$\frac{1}{2}x$,HQ=$\sqrt{3}DH=\frac{\sqrt{3}}{2}x$,在Rt△HQE中,$HE^2+HQ^2=EQ^2$,
∴ $(2-\frac{1}{2}x)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}x)^2=y^2$ ②.联立①②可得$x=\frac{3}{4}$(x=0舍去),
∴ CP=2x=$\frac{3}{2}$.
②当CE=$\frac{1}{3}DC=2$时,延长AD与直线EF交于点Q',过Q'作Q'H'⊥CD交CD的延长线于H',如图③,设DQ'=x',Q'E=y',则AQ'=6+x'.
∵ AD//BC,
∴ △CEP∽△DEQ',
∴ $\frac{CP}{DQ'}=\frac{CE}{DE}=\frac{1}{2}$.
∵ ∠H'DQ'=∠ADC=60°,∠H'=90°,
∴ ∠H'Q'D=30°,
∴ H'D=$\frac{1}{2}Q'D=\frac{1}{2}x'$,
∴ H'Q'=$\sqrt{DQ'^2-H'D^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}x'$,H'E=H'D+DE=$\frac{1}{2}x'+4$.同理∠Q'AE=∠EAF,
∴ $\frac{AQ'}{AF}=\frac{Q'E}{EF}$,即$\frac{6+x'}{6}=\frac{y'}{4}$ ③,由H'Q'^2+H'E^2=Q'E^2得$(\frac{\sqrt{3}}{2}x')^2+(\frac{1}{2}x'+4)^2=y'^2$ ④,联立③④解得$x'=\frac{12}{5}$(x'=0舍去),
∴ CP=$\frac{1}{2}x'=\frac{6}{5}$.综上所述,CP的长为$\frac{3}{2}$或$\frac{6}{5}$.