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1.已知函数$y=-x^2 + 2x - 3$，则y的最大值为
-2
。答案
1. -2
解析
【分析】
要解决二次函数的最大值问题，首先观察二次项系数的符号判断抛物线开口方向：本题二次项系数$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，顶点处的函数值就是最大值。接下来可以通过配方法将函数化为顶点式，或者用顶点坐标公式求出顶点的纵坐标，即可得到最大值。
【解析】
方法一（配方法）：
对函数解析式进行配方：
$y=-x^2 + 2x - 3$
$=-(x^2 - 2x) - 3$
$=-(x^2 - 2x + 1 - 1) - 3$
$=-(x-1)^2 + 1 - 3$
$=-(x-1)^2 - 2$
∵$(x-1)^2 ≥ 0$，
∴$-(x-1)^2 ≤ 0$
当$x=1$时，$-(x-1)^2=0$，此时$y$取得最大值，最大值为$-2$。
方法二（顶点公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入函数可得顶点纵坐标。
本题中$a=-1$，$b=2$，$c=-3$，
∴顶点横坐标$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，
将$x=1$代入函数得：$y=-1^2 + 2×1 - 3 = -1 + 2 - 3 = -2$，
即$y$的最大值为$-2$。
【答案】
-2
【知识点】
二次函数的性质；配方法；顶点坐标公式
【点评】
本题是二次函数最值的基础题型，解题核心是先根据二次项系数判断开口方向，再选择配方法或顶点公式计算顶点纵坐标即可，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决二次函数的最大值问题，首先观察二次项系数的符号判断抛物线开口方向：本题二次项系数$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，顶点处的函数值就是最大值。接下来可以通过配方法将函数化为顶点式，或者用顶点坐标公式求出顶点的纵坐标，即可得到最大值。
【解析】
方法一（配方法）：
对函数解析式进行配方：
$y=-x^2 + 2x - 3$
$=-(x^2 - 2x) - 3$
$=-(x^2 - 2x + 1 - 1) - 3$
$=-(x-1)^2 + 1 - 3$
$=-(x-1)^2 - 2$
∵$(x-1)^2 ≥ 0$，
∴$-(x-1)^2 ≤ 0$
当$x=1$时，$-(x-1)^2=0$，此时$y$取得最大值，最大值为$-2$。
方法二（顶点公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入函数可得顶点纵坐标。
本题中$a=-1$，$b=2$，$c=-3$，
∴顶点横坐标$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，
将$x=1$代入函数得：$y=-1^2 + 2×1 - 3 = -1 + 2 - 3 = -2$，
即$y$的最大值为$-2$。
【答案】
-2
【知识点】
二次函数的性质；配方法；顶点坐标公式
【点评】
本题是二次函数最值的基础题型，解题核心是先根据二次项系数判断开口方向，再选择配方法或顶点公式计算顶点纵坐标即可，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 抛物线 $ y = 2x^2 - bx + 3 $ 的对称轴是直线 $ x = 1 $，则该函数的最小值是
1
。答案
2. 1
解析
【分析】
解题思路：本题需结合二次函数的对称轴公式与最值性质求解。第一步，先明确二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的对称轴公式为$x=-\frac{一次项系数}{2×二次项系数}$，结合题目给出的对称轴$x=1$，先求出未知系数$b$的值；第二步，因为二次项系数$a=2＞0$，抛物线开口向上，对称轴处即为函数取最小值的位置，将$x=1$代入求出的函数解析式，即可算出最小值。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对称轴公式为$x=-\frac{B}{2A}$（其中$A$为二次项系数，$B$为一次项系数）。
本题中函数为$y=2x^2 - bx + 3$，则$A=2$，一次项系数$B=-b$，已知对称轴为$x=1$，代入公式得：
$1 = -\frac{(-b)}{2×2}$
解得$b=4$，因此函数解析式为$y=2x^2 -4x +3$。
因为$a=2＞0$，抛物线开口向上，在对称轴$x=1$处取得最小值，将$x=1$代入解析式：
$y=2×1^2 -4×1 +3 = 2-4+3=1$
【答案】
1
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数最值计算；二次函数图像性质
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，解题核心是熟练掌握对称轴公式，明确开口向上的抛物线在对称轴处取最小值，只要掌握基础公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题思路：本题需结合二次函数的对称轴公式与最值性质求解。第一步，先明确二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的对称轴公式为$x=-\frac{一次项系数}{2×二次项系数}$，结合题目给出的对称轴$x=1$，先求出未知系数$b$的值；第二步，因为二次项系数$a=2＞0$，抛物线开口向上，对称轴处即为函数取最小值的位置，将$x=1$代入求出的函数解析式，即可算出最小值。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对称轴公式为$x=-\frac{B}{2A}$（其中$A$为二次项系数，$B$为一次项系数）。
本题中函数为$y=2x^2 - bx + 3$，则$A=2$，一次项系数$B=-b$，已知对称轴为$x=1$，代入公式得：
$1 = -\frac{(-b)}{2×2}$
解得$b=4$，因此函数解析式为$y=2x^2 -4x +3$。
因为$a=2＞0$，抛物线开口向上，在对称轴$x=1$处取得最小值，将$x=1$代入解析式：
$y=2×1^2 -4×1 +3 = 2-4+3=1$
【答案】
1
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数最值计算；二次函数图像性质
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，解题核心是熟练掌握对称轴公式，明确开口向上的抛物线在对称轴处取最小值，只要掌握基础公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
3. 已知抛物线 $ y = ax^2 - 2ax - 1(a ＜ 0) $。
(1) 抛物线的对称轴为 ______。
(2) 若当 $-2 ≤ x ≤ 2$ 时，$y$ 的最大值是1，则当 $-2 ≤ x ≤ 2$ 时，$y$ 的最小值是 ______。
(1) 抛物线的对称轴为 ______。
(2) 若当 $-2 ≤ x ≤ 2$ 时，$y$ 的最大值是1，则当 $-2 ≤ x ≤ 2$ 时，$y$ 的最小值是 ______。
答案
3. (1)直线 $x=1$ (2)$-17$
解析
【分析】
(1) 求二次函数的对称轴可直接使用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，也可将解析式配方为顶点式得到对称轴，两种方法均符合当前学段知识要求。
(2) 已知$a＜0$，抛物线开口向下，对称轴$x=1$落在区间$-2≤x≤2$内，因此区间内的最大值为顶点的纵坐标，先利用最大值为1求出参数$a$的取值；再结合开口向下的性质，区间内离对称轴越远的点函数值越小，找到取最小值的$x$后代入解析式即可算出最小值。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$b=-2a$，代入得：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，因此抛物线的对称轴为直线$x=1$。
(2) 因为$a＜0$，抛物线开口向下，对称轴$x=1$在区间$-2≤x≤2$内，所以当$x=1$时$y$取最大值1。
将$x=1、y=1$代入解析式得：
$a×1^2 - 2a×1 -1 = 1$
化简得$-a-1=1$，解得$a=-2$。
因此抛物线解析式为$y=-2x^2+4x-1$。
开口向下时区间内离对称轴越远函数值越小，比较$x=-2$和$x=2$到$x=1$的距离：$|-2-1|=3$，$|2-1|=1$，$3＞1$，因此当$x=-2$时$y$取最小值。
代入$x=-2$计算：
$y=-2×(-2)^2 +4×(-2) -1 = -8 -8 -1 = -17$。
【答案】
(1)直线$x=1$ (2)$-17$
【知识点】
二次函数的对称轴；二次函数的区间最值
【点评】
本题是二次函数最值的典型题型，解题核心是先确定对称轴，再结合开口方向判断区间内最值的取值点，计算时要注意参数$a$的符号对抛物线性质的影响。
【难度系数】
0.7
(1) 求二次函数的对称轴可直接使用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，也可将解析式配方为顶点式得到对称轴，两种方法均符合当前学段知识要求。
(2) 已知$a＜0$，抛物线开口向下，对称轴$x=1$落在区间$-2≤x≤2$内，因此区间内的最大值为顶点的纵坐标，先利用最大值为1求出参数$a$的取值；再结合开口向下的性质，区间内离对称轴越远的点函数值越小，找到取最小值的$x$后代入解析式即可算出最小值。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$b=-2a$，代入得：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，因此抛物线的对称轴为直线$x=1$。
(2) 因为$a＜0$，抛物线开口向下，对称轴$x=1$在区间$-2≤x≤2$内，所以当$x=1$时$y$取最大值1。
将$x=1、y=1$代入解析式得：
$a×1^2 - 2a×1 -1 = 1$
化简得$-a-1=1$，解得$a=-2$。
因此抛物线解析式为$y=-2x^2+4x-1$。
开口向下时区间内离对称轴越远函数值越小，比较$x=-2$和$x=2$到$x=1$的距离：$|-2-1|=3$，$|2-1|=1$，$3＞1$，因此当$x=-2$时$y$取最小值。
代入$x=-2$计算：
$y=-2×(-2)^2 +4×(-2) -1 = -8 -8 -1 = -17$。
【答案】
(1)直线$x=1$ (2)$-17$
【知识点】
二次函数的对称轴；二次函数的区间最值
【点评】
本题是二次函数最值的典型题型，解题核心是先确定对称轴，再结合开口方向判断区间内最值的取值点，计算时要注意参数$a$的符号对抛物线性质的影响。
【难度系数】
0.7
4.如图，点$P(x,y)$在抛物线$y=-(x-1)^2+2$上.若$-1＜x＜2$，则$y$的取值范围是
第4题图
$-2＜y≤2$
. 第4题图答案
4. $-2＜y≤2$
解析
【分析】
解决本题首先需要明确抛物线的基本性质，先通过顶点式判断开口方向、对称轴和顶点坐标，确定函数的最值位置；再判断给定x区间是否包含顶点，确定y的最大值；最后计算区间端点处的函数值，结合开口方向和端点是否可取，确定y的取值下限。
【解析】
解：对于抛物线$y=-(x-1)^2+2$：
1. 分析基本性质：二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,2)$。
2. 确定最大值：顶点的横坐标$x=1$满足$-1＜x＜2$，因此当$x=1$时，$y$可取到最大值$2$。
3. 计算端点函数值：
当$x=-1$时，代入解析式得$y=-(-1-1)^2+2=-2$；
当$x=2$时，代入解析式得$y=-(2-1)^2+2=1$。
4. 确定取值范围：抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，$x=-1$离对称轴更远，且x取不到$-1$，因此$y＞-2$。
综上，$y$的取值范围是$-2＜y≤2$。
【答案】
$-2＜y≤2$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的最值，函数取值范围求解
【点评】
本题核心是结合二次函数的图像性质求解给定区间的函数值范围，解题时要注意先判断顶点是否在给定区间内，同时关注区间端点是否可取，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.7
解决本题首先需要明确抛物线的基本性质，先通过顶点式判断开口方向、对称轴和顶点坐标，确定函数的最值位置；再判断给定x区间是否包含顶点，确定y的最大值；最后计算区间端点处的函数值，结合开口方向和端点是否可取，确定y的取值下限。
【解析】
解：对于抛物线$y=-(x-1)^2+2$：
1. 分析基本性质：二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,2)$。
2. 确定最大值：顶点的横坐标$x=1$满足$-1＜x＜2$，因此当$x=1$时，$y$可取到最大值$2$。
3. 计算端点函数值：
当$x=-1$时，代入解析式得$y=-(-1-1)^2+2=-2$；
当$x=2$时，代入解析式得$y=-(2-1)^2+2=1$。
4. 确定取值范围：抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，$x=-1$离对称轴更远，且x取不到$-1$，因此$y＞-2$。
综上，$y$的取值范围是$-2＜y≤2$。
【答案】
$-2＜y≤2$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的最值，函数取值范围求解
【点评】
本题核心是结合二次函数的图像性质求解给定区间的函数值范围，解题时要注意先判断顶点是否在给定区间内，同时关注区间端点是否可取，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.7
5.如下图，已知抛物线$y=-x^2+mx+3$经过点$M(-2,3)$。
(1)求$m$的值，并求出此抛物线的顶点坐标。
(2)当$-3≤ x≤0$时，求出$y$的取值范围。
(1)求$m$的值，并求出此抛物线的顶点坐标。
(2)当$-3≤ x≤0$时，求出$y$的取值范围。
答案
5. 解:(1)把 $M(-2,3)$ 代入 $y=-x^2 + mx + 3$,得 $-4-2m+3=3$,解得 $m=-2$,
$\therefore y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$,
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $(-1,4)$.
(2)$\because y=-(x+1)^2+4$,
$\therefore$ 抛物线开口向下, 对称轴为直线 $x=-1$, 最大值为 4.
$\because$ 当 $x=0$ 时, $y=3$;
当 $x=-3$ 时, $y=0$.
故当 $-3≤ x≤ 0$ 时, $y$ 的取值范围是 $0≤ y≤ 4$.
$\therefore y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$,
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $(-1,4)$.
(2)$\because y=-(x+1)^2+4$,
$\therefore$ 抛物线开口向下, 对称轴为直线 $x=-1$, 最大值为 4.
$\because$ 当 $x=0$ 时, $y=3$;
当 $x=-3$ 时, $y=0$.
故当 $-3≤ x≤ 0$ 时, $y$ 的取值范围是 $0≤ y≤ 4$.
解析
【分析】
(1) 第一问已知点在抛物线上，点的坐标必然满足抛物线的解析式，因此可以将点M的横、纵坐标代入函数表达式，得到仅含参数m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。求顶点坐标时，可以用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，直接从顶点式中读出顶点坐标，也可以用顶点坐标公式计算，两种方法均符合要求。
(2) 第二问求指定x区间内y的取值范围，首先要明确抛物线的开口方向和对称轴：由二次项系数为负可知抛物线开口向下，对称轴处取得函数最大值；观察给定区间$-3≤x≤0$包含对称轴，因此最大值就是顶点的纵坐标；再分别计算区间两个端点对应的y值，比较两个值的大小，较小值就是该区间内y的最小值，最终得到y的取值范围。
【解析】
(1) 把点$M(-2,3)$代入$y=-x^2 + mx + 3$，得：
$-(-2)^2 + m×(-2) + 3 = 3$
化简得$-4-2m+3=3$，解得$m=-2$。
将$m=-2$代入解析式，得$y=-x^2-2x+3$，配方法转化为顶点式：
$y=-(x^2+2x)+3=-(x^2+2x+1-1)+3=-(x+1)^2+4$
因此抛物线的顶点坐标为$(-1,4)$。
(2) 由顶点式$y=-(x+1)^2+4$可知，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，函数最大值为4（在$x=-1$处取得）。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=-0^2-2×0+3=3$；
当$x=-3$时，$y=-(-3)^2-2×(-3)+3=0$。
结合抛物线开口向下的性质，在$-3≤x≤0$范围内，y的最小值为0，最大值为4。
【答案】
(1) $m=-2$，顶点坐标为$(-1,4)$；
(2) $0≤y≤4$
【知识点】
1. 待定系数法求参数
2. 二次函数顶点坐标求解
3. 二次函数增减性应用
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题核心是先通过已知点确定函数解析式，再结合抛物线的开口方向、对称轴分析函数的增减变化，进而求解指定区间内的函数值范围，掌握配方法和二次函数的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问已知点在抛物线上，点的坐标必然满足抛物线的解析式，因此可以将点M的横、纵坐标代入函数表达式，得到仅含参数m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。求顶点坐标时，可以用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，直接从顶点式中读出顶点坐标，也可以用顶点坐标公式计算，两种方法均符合要求。
(2) 第二问求指定x区间内y的取值范围，首先要明确抛物线的开口方向和对称轴：由二次项系数为负可知抛物线开口向下，对称轴处取得函数最大值；观察给定区间$-3≤x≤0$包含对称轴，因此最大值就是顶点的纵坐标；再分别计算区间两个端点对应的y值，比较两个值的大小，较小值就是该区间内y的最小值，最终得到y的取值范围。
【解析】
(1) 把点$M(-2,3)$代入$y=-x^2 + mx + 3$，得：
$-(-2)^2 + m×(-2) + 3 = 3$
化简得$-4-2m+3=3$，解得$m=-2$。
将$m=-2$代入解析式，得$y=-x^2-2x+3$，配方法转化为顶点式：
$y=-(x^2+2x)+3=-(x^2+2x+1-1)+3=-(x+1)^2+4$
因此抛物线的顶点坐标为$(-1,4)$。
(2) 由顶点式$y=-(x+1)^2+4$可知，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，函数最大值为4（在$x=-1$处取得）。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=-0^2-2×0+3=3$；
当$x=-3$时，$y=-(-3)^2-2×(-3)+3=0$。
结合抛物线开口向下的性质，在$-3≤x≤0$范围内，y的最小值为0，最大值为4。
【答案】
(1) $m=-2$，顶点坐标为$(-1,4)$；
(2) $0≤y≤4$
【知识点】
1. 待定系数法求参数
2. 二次函数顶点坐标求解
3. 二次函数增减性应用
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题核心是先通过已知点确定函数解析式，再结合抛物线的开口方向、对称轴分析函数的增减变化，进而求解指定区间内的函数值范围，掌握配方法和二次函数的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
6.已知二次函数$y=ax^2 +4x +a -1$的最小值为2，则a的值为 （
A.3
B.$-1$
C.4
D.4或$-1$
C
）A.3
B.$-1$
C.4
D.4或$-1$
答案
6. C
解析
【分析】
遇到二次函数最值问题，首先要明确隐含条件：二次函数有最小值，说明开口向上，即二次项系数a＞0，若忽略这个条件容易选错答案。其次回忆二次函数的最值公式：对于$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。最后将已知的最小值、各项系数代入公式列方程求解，再舍去不符合a符号的解即可。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2 +4x +a -1$有最小值，
∴函数开口向上，即$a＞0$。
根据二次函数最值公式，其中$b=4$，$c=a-1$，最小值为2，代入得：
$\frac{4a(a-1) - 4^2}{4a}=2$
化简方程：
分子计算得$4a(a-1)-16=4a^2-4a-16$，
等式两边同乘$4a$得：$4a^2-4a-16=8a$，
移项整理得：$a^2-3a-4=0$，
因式分解得：$(a-4)(a+1)=0$，
解得$a=4$或$a=-1$。
结合$a＞0$的前提，舍去$a=-1$，故$a=4$。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的图象与性质；2.二次函数的最值公式；3.一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数最值的常见题型，易错点是忽略“有最小值”对应的$a＞0$的隐含条件，误选两个解。解题时要先根据最值类型判断a的符号，再代入公式计算，最后对解进行取舍，避免漏看条件出错。
【难度系数】
0.6
遇到二次函数最值问题，首先要明确隐含条件：二次函数有最小值，说明开口向上，即二次项系数a＞0，若忽略这个条件容易选错答案。其次回忆二次函数的最值公式：对于$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。最后将已知的最小值、各项系数代入公式列方程求解，再舍去不符合a符号的解即可。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2 +4x +a -1$有最小值，
∴函数开口向上，即$a＞0$。
根据二次函数最值公式，其中$b=4$，$c=a-1$，最小值为2，代入得：
$\frac{4a(a-1) - 4^2}{4a}=2$
化简方程：
分子计算得$4a(a-1)-16=4a^2-4a-16$，
等式两边同乘$4a$得：$4a^2-4a-16=8a$，
移项整理得：$a^2-3a-4=0$，
因式分解得：$(a-4)(a+1)=0$，
解得$a=4$或$a=-1$。
结合$a＞0$的前提，舍去$a=-1$，故$a=4$。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的图象与性质；2.二次函数的最值公式；3.一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数最值的常见题型，易错点是忽略“有最小值”对应的$a＞0$的隐含条件，误选两个解。解题时要先根据最值类型判断a的符号，再代入公式计算，最后对解进行取舍，避免漏看条件出错。
【难度系数】
0.6
7.已知二次函数$y=ax^2+2ax+3a^2+3$（其中x是自变量），当$x≥2$时，y随x的增大而增大，且当$-2≤x≤1$时，y的最大值为9，则a的值为（
A.1或-2
B.$-\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.1
D
）A.1或-2
B.$-\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.1
答案
7. D 【解析】$\because$ 二次函数 $y=ax^2+2ax+3a^2+3$,
$\therefore$ 其图象的对称轴是直线 $x=-\dfrac{2a}{2a}=-1$.
$\because$ 当 $x≥ 2$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而增大, $\therefore a＞0$.
$\because$ 当 $-2≤ x≤ 1$ 时, $y$ 的最大值为 9, $\therefore$ 当 $x=1$ 时, $y$ $=a+2a+3a^2+3=9$,
$\therefore 3a^2+3a-6=0$,
解得 $a_1=1,a_2=-2$(舍去).
$\therefore$ 其图象的对称轴是直线 $x=-\dfrac{2a}{2a}=-1$.
$\because$ 当 $x≥ 2$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而增大, $\therefore a＞0$.
$\because$ 当 $-2≤ x≤ 1$ 时, $y$ 的最大值为 9, $\therefore$ 当 $x=1$ 时, $y$ $=a+2a+3a^2+3=9$,
$\therefore 3a^2+3a-6=0$,
解得 $a_1=1,a_2=-2$(舍去).
解析
【分析】
解题时先从二次函数的基本性质入手：第一步先求函数图象的对称轴，再根据“x≥2时y随x增大而增大”的条件判断开口方向，确定a的取值范围；第二步结合对称轴和开口方向，判断在区间[-2,1]内函数取最大值时对应的x值，代入函数解析式列方程求解，最后结合之前得到的a的取值范围对解进行取舍，即可得到正确结果。
【解析】
解：对于二次函数$y=ax^2+2ax+3a^2+3$，根据对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，代入$b=2a$，可得图象的对称轴为直线$x=-\dfrac{2a}{2a}=-1$。
$\because$ 当$x≥ 2$时，$y$随$x$的增大而增大，二次函数开口向上时对称轴右侧y随x增大而增大，$\therefore a＞0$。
$\because$ 开口向上时，点离对称轴越远对应的函数值越大，在$-2≤x≤1$范围内，$x=1$到对称轴$x=-1$的距离最远，$\therefore$ 当$x=1$时，y取得最大值9。
将$x=1$、$y=9$代入解析式得：
$a+2a+3a^2+3=9$
整理得$3a^2+3a-6=0$，即$a^2+a-2=0$
解得$a_1=1,a_2=-2$
结合$a＞0$的前提，$a=-2$不符合要求，舍去，故$a=1$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称轴；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题重点考查二次函数性质的综合应用，解题的关键是结合开口方向和对称轴判断函数的增减性与最值位置，求解参数后要注意根据前提条件对结果进行取舍，避免忽略隐含条件导致错解。
【难度系数】
0.6
解题时先从二次函数的基本性质入手：第一步先求函数图象的对称轴，再根据“x≥2时y随x增大而增大”的条件判断开口方向，确定a的取值范围；第二步结合对称轴和开口方向，判断在区间[-2,1]内函数取最大值时对应的x值，代入函数解析式列方程求解，最后结合之前得到的a的取值范围对解进行取舍，即可得到正确结果。
【解析】
解：对于二次函数$y=ax^2+2ax+3a^2+3$，根据对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，代入$b=2a$，可得图象的对称轴为直线$x=-\dfrac{2a}{2a}=-1$。
$\because$ 当$x≥ 2$时，$y$随$x$的增大而增大，二次函数开口向上时对称轴右侧y随x增大而增大，$\therefore a＞0$。
$\because$ 开口向上时，点离对称轴越远对应的函数值越大，在$-2≤x≤1$范围内，$x=1$到对称轴$x=-1$的距离最远，$\therefore$ 当$x=1$时，y取得最大值9。
将$x=1$、$y=9$代入解析式得：
$a+2a+3a^2+3=9$
整理得$3a^2+3a-6=0$，即$a^2+a-2=0$
解得$a_1=1,a_2=-2$
结合$a＞0$的前提，$a=-2$不符合要求，舍去，故$a=1$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称轴；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题重点考查二次函数性质的综合应用，解题的关键是结合开口方向和对称轴判断函数的增减性与最值位置，求解参数后要注意根据前提条件对结果进行取舍，避免忽略隐含条件导致错解。
【难度系数】
0.6
8.已知二次函数$y=ax^2 -2ax +a +5$的图象上有两点$(-2,y_1),(3,y_2)$，满足$y_1 ＜ y_2$，当$-2≤ x ＜3$时，$y$的最小值为$-4$，则$a$的值为
-1
。答案
8. $-1$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先将二次函数解析式配方为顶点式，确定函数的对称轴；第二步计算两个已知点到对称轴的距离，结合$y_1＜y_2$的条件判断$a$的正负，确定开口方向；第三步根据开口方向和给定的$x$取值范围，确定最小值对应的$x$取值，最后代入最小值列方程求解$a$即可。
【解析】
先对二次函数解析式配方：
$y=ax^2 -2ax +a +5=a(x^2-2x+1)+5=a(x-1)^2+5$
因此该二次函数的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,5)$。
计算两点到对称轴的距离：
点$(-2,y_1)$到$x=1$的距离：$|-2-1|=3$
点$(3,y_2)$到$x=1$的距离：$|3-1|=2$
已知$y_1＜y_2$，即离对称轴更远的点函数值更小，说明二次函数开口向下，即$a＜0$。
当$a＜0$时，二次函数开口向下，在区间$[-2≤x＜3)$内，离对称轴越远函数值越小，因此最小值出现在$x=-2$处。
将$x=-2$，$y=-4$代入解析式得：
$a×(-2-1)^2+5=-4$
$9a+5=-4$
解得$a=-1$，满足$a＜0$的条件。
【答案】
$-1$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题核心是利用二次函数的对称性判断开口方向，再结合区间范围确定最值的取值位置，解题时要注意先判断$a$的正负，避免出现最值位置判断错误的问题。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：第一步先将二次函数解析式配方为顶点式，确定函数的对称轴；第二步计算两个已知点到对称轴的距离，结合$y_1＜y_2$的条件判断$a$的正负，确定开口方向；第三步根据开口方向和给定的$x$取值范围，确定最小值对应的$x$取值，最后代入最小值列方程求解$a$即可。
【解析】
先对二次函数解析式配方：
$y=ax^2 -2ax +a +5=a(x^2-2x+1)+5=a(x-1)^2+5$
因此该二次函数的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,5)$。
计算两点到对称轴的距离：
点$(-2,y_1)$到$x=1$的距离：$|-2-1|=3$
点$(3,y_2)$到$x=1$的距离：$|3-1|=2$
已知$y_1＜y_2$，即离对称轴更远的点函数值更小，说明二次函数开口向下，即$a＜0$。
当$a＜0$时，二次函数开口向下，在区间$[-2≤x＜3)$内，离对称轴越远函数值越小，因此最小值出现在$x=-2$处。
将$x=-2$，$y=-4$代入解析式得：
$a×(-2-1)^2+5=-4$
$9a+5=-4$
解得$a=-1$，满足$a＜0$的条件。
【答案】
$-1$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题核心是利用二次函数的对称性判断开口方向，再结合区间范围确定最值的取值位置，解题时要注意先判断$a$的正负，避免出现最值位置判断错误的问题。
【难度系数】
0.65
9.已知二次函数$y=-x^2 -4ax -a^2$图象的对称轴为直线$x=-2a$，抛物线开口向下.当$-1≤ x≤2$时，若对称轴在这个区间内（$-1≤ -2a≤2$），$y$的最大值是3，则$a$的值是
-1
.答案
9. $-1$
解析
【分析】
本题是二次函数区间最值问题，解题思路如下：1. 首先明确开口向下的抛物线顶点是最高点，当对称轴在给定区间内部时，函数的最大值就是顶点的纵坐标；2. 将对称轴对应的x值代入函数表达式，令所得函数值等于最大值3，列方程求解a；3. 注意求解出的a需要满足“对称轴在[-1,2]区间内”的前提条件，舍去不符合要求的解，即可得到正确结果。
【解析】
已知二次函数开口向下，且对称轴$x=-2a$在区间$[-1,2]$内，因此当$x=-2a$时，$y$取得最大值3。
将$x=-2a$代入函数解析式得：
$\begin{aligned}y&=-(-2a)^2 -4a·(-2a) -a^2\\&=-4a^2 +8a^2 -a^2\\&=3a^2\end{aligned}$
由最大值为3可得：$3a^2=3$，解得$a=1$或$a=-1$。
再结合对称轴在区间内的条件$-1≤ -2a≤2$，解不等式得$-1≤ a≤0.5$。
其中$a=1$不满足该范围，舍去；$a=-1$符合要求。
【答案】
$-1$
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的图象性质；解一元一次不等式
【点评】
本题的关键是掌握开口方向确定的二次函数在区间内的最值规律，易错点是求出a的解后忽略题干给出的“对称轴在区间内”的限制条件，未检验解的合理性导致多解。
【难度系数】
0.6
本题是二次函数区间最值问题，解题思路如下：1. 首先明确开口向下的抛物线顶点是最高点，当对称轴在给定区间内部时，函数的最大值就是顶点的纵坐标；2. 将对称轴对应的x值代入函数表达式，令所得函数值等于最大值3，列方程求解a；3. 注意求解出的a需要满足“对称轴在[-1,2]区间内”的前提条件，舍去不符合要求的解，即可得到正确结果。
【解析】
已知二次函数开口向下，且对称轴$x=-2a$在区间$[-1,2]$内，因此当$x=-2a$时，$y$取得最大值3。
将$x=-2a$代入函数解析式得：
$\begin{aligned}y&=-(-2a)^2 -4a·(-2a) -a^2\\&=-4a^2 +8a^2 -a^2\\&=3a^2\end{aligned}$
由最大值为3可得：$3a^2=3$，解得$a=1$或$a=-1$。
再结合对称轴在区间内的条件$-1≤ -2a≤2$，解不等式得$-1≤ a≤0.5$。
其中$a=1$不满足该范围，舍去；$a=-1$符合要求。
【答案】
$-1$
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的图象性质；解一元一次不等式
【点评】
本题的关键是掌握开口方向确定的二次函数在区间内的最值规律，易错点是求出a的解后忽略题干给出的“对称轴在区间内”的限制条件，未检验解的合理性导致多解。
【难度系数】
0.6
10. 分类讨论思想 当$-2≤ x≤ 1$时，二次函数$y=-(x-m)^2 + m^2 +1$有最大值4.求实数$m$的值.
答案
10. 解:由题意可知,二次函数图象的开口向下,对称轴为直线 $x=m$. 分以下三种情况讨论:
①当 $m＜-2$ 时,函数的最大值在 $x=-2$ 处取得,即 $-(-2-m)^2+m^2+1=4$,解得 $m=-\dfrac{7}{4}$,不合题意,舍去;
②当 $-2≤ m≤ 1$ 时,函数的最大值在 $x=m$ 处取得,即 $m^2+1=4$,解得 $m_1=\sqrt{3}$(不合题意,舍去), $m_2=-\sqrt{3}$;
③当 $m＞1$ 时,函数的最大值在 $x=1$ 处取得,即 $-(1-m)^2+m^2+1=4$,
解得 $m=2$.
综上所述,实数 $m$ 的值为 $-\sqrt{3}$ 或 2.
①当 $m＜-2$ 时,函数的最大值在 $x=-2$ 处取得,即 $-(-2-m)^2+m^2+1=4$,解得 $m=-\dfrac{7}{4}$,不合题意,舍去;
②当 $-2≤ m≤ 1$ 时,函数的最大值在 $x=m$ 处取得,即 $m^2+1=4$,解得 $m_1=\sqrt{3}$(不合题意,舍去), $m_2=-\sqrt{3}$;
③当 $m＞1$ 时,函数的最大值在 $x=1$ 处取得,即 $-(1-m)^2+m^2+1=4$,
解得 $m=2$.
综上所述,实数 $m$ 的值为 $-\sqrt{3}$ 或 2.
解析
【分析】
本题是定区间、动对称轴的二次函数最值问题，解题思路如下：首先从二次函数顶点式判断开口方向和对称轴：该函数开口向下，对称轴为直线$x=m$，开口向下的二次函数最大值出现在顶点或区间端点处，具体位置由对称轴与给定区间$[-2,1]$的相对位置决定，因此需要分三类讨论：①对称轴在区间左侧（$m＜-2$），此时区间在对称轴右侧，函数单调递减，最大值在$x=-2$处取得；②对称轴在区间内（$-2≤m≤1$），此时最大值为顶点纵坐标，在$x=m$处取得；③对称轴在区间右侧（$m＞1$），此时区间在对称轴左侧，函数单调递增，最大值在$x=1$处取得。每类分别列方程求解后，要检验解是否符合对应分类下$m$的取值范围，舍去不符合的解。
【解析】
解：二次函数$y=-(x-m)^2 + m^2 +1$的图象开口向下，对称轴为直线$x=m$，分三种情况讨论：
① 当$m＜-2$时，区间$[-2,1]$在对称轴右侧，函数单调递减，最大值在$x=-2$处取得，代入得：
$\begin{aligned}-(-2-m)^2 + m^2 +1&=4\\-(4+4m+m^2)+m^2+1&=4\\-4m-3&=4\\m&=-\dfrac{7}{4}\end{aligned}$
$\because -\dfrac{7}{4}＞-2$，不符合$m＜-2$的前提，故舍去；
② 当$-2≤m≤1$时，最大值为顶点纵坐标，在$x=m$处取得，代入得：
$\begin{aligned}m^2 +1&=4\\m&=\pm\sqrt{3}\end{aligned}$
$\because \sqrt{3}＞1$，不符合$-2≤m≤1$的前提，舍去；$-\sqrt{3}$符合取值范围，保留；
③ 当$m＞1$时，区间$[-2,1]$在对称轴左侧，函数单调递增，最大值在$x=1$处取得，代入得：
$\begin{aligned}-(1-m)^2 + m^2 +1&=4\\-(1-2m+m^2)+m^2+1&=4\\2m&=4\\m&=2\end{aligned}$
$m=2$符合$m＞1$的前提，保留。
【答案】
$m=-\sqrt{3}$或$m=2$
【知识点】
二次函数最值、分类讨论思想、二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数最值的典型题型，核心考查对称轴与定区间的位置关系对最值的影响，解题时要注意分类标准清晰，求解后务必验证解是否符合对应分类的取值范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
本题是定区间、动对称轴的二次函数最值问题，解题思路如下：首先从二次函数顶点式判断开口方向和对称轴：该函数开口向下，对称轴为直线$x=m$，开口向下的二次函数最大值出现在顶点或区间端点处，具体位置由对称轴与给定区间$[-2,1]$的相对位置决定，因此需要分三类讨论：①对称轴在区间左侧（$m＜-2$），此时区间在对称轴右侧，函数单调递减，最大值在$x=-2$处取得；②对称轴在区间内（$-2≤m≤1$），此时最大值为顶点纵坐标，在$x=m$处取得；③对称轴在区间右侧（$m＞1$），此时区间在对称轴左侧，函数单调递增，最大值在$x=1$处取得。每类分别列方程求解后，要检验解是否符合对应分类下$m$的取值范围，舍去不符合的解。
【解析】
解：二次函数$y=-(x-m)^2 + m^2 +1$的图象开口向下，对称轴为直线$x=m$，分三种情况讨论：
① 当$m＜-2$时，区间$[-2,1]$在对称轴右侧，函数单调递减，最大值在$x=-2$处取得，代入得：
$\begin{aligned}-(-2-m)^2 + m^2 +1&=4\\-(4+4m+m^2)+m^2+1&=4\\-4m-3&=4\\m&=-\dfrac{7}{4}\end{aligned}$
$\because -\dfrac{7}{4}＞-2$，不符合$m＜-2$的前提，故舍去；
② 当$-2≤m≤1$时，最大值为顶点纵坐标，在$x=m$处取得，代入得：
$\begin{aligned}m^2 +1&=4\\m&=\pm\sqrt{3}\end{aligned}$
$\because \sqrt{3}＞1$，不符合$-2≤m≤1$的前提，舍去；$-\sqrt{3}$符合取值范围，保留；
③ 当$m＞1$时，区间$[-2,1]$在对称轴左侧，函数单调递增，最大值在$x=1$处取得，代入得：
$\begin{aligned}-(1-m)^2 + m^2 +1&=4\\-(1-2m+m^2)+m^2+1&=4\\2m&=4\\m&=2\end{aligned}$
$m=2$符合$m＞1$的前提，保留。
【答案】
$m=-\sqrt{3}$或$m=2$
【知识点】
二次函数最值、分类讨论思想、二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数最值的典型题型，核心考查对称轴与定区间的位置关系对最值的影响，解题时要注意分类标准清晰，求解后务必验证解是否符合对应分类的取值范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
