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一、细心选一选。
①如图，将△ABE向右平移2 cm，得到△DCF，若△ABE周长为18 cm，则四边形ABFD周长为（
A.24 cm
B.22 cm
C.20 cm
D.18 cm
①如图，将△ABE向右平移2 cm，得到△DCF，若△ABE周长为18 cm，则四边形ABFD周长为（
B
）A.24 cm
B.22 cm
C.20 cm
D.18 cm
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先回忆平移的基本性质：平移前后对应线段相等，对应点所连的线段长度等于平移距离。要求四边形ABFD的周长，我们可以先把四边形的周长拆分为各边之和，再利用平移性质把未知的线段替换成和△ABE周长相关的线段，最后代入已知的三角形周长计算即可。
【解析】
解：
∵△ABE向右平移2 cm得到△DCF，
∴根据平移的性质可得：DF=AE，AD=EF=2 cm。
四边形ABFD的周长=AB + BF + DF + AD，
其中BF=BE + EF，将DF=AE、BF=BE+EF代入周长公式得：
周长=AB + (BE + EF) + AE + AD
= (AB + BE + AE) + EF + AD
已知△ABE的周长为18 cm，即AB+BE+AE=18 cm，代入得：
周长=18 + 2 + 2 = 22 cm。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质；周长计算
【点评】
本题考查平移性质的实际应用，解题的核心是利用平移的等量关系将四边形周长转化为已知三角形周长与两段平移距离的和，解题时注意不要漏算平移产生的新增线段长度。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平移的基本性质：平移前后对应线段相等，对应点所连的线段长度等于平移距离。要求四边形ABFD的周长，我们可以先把四边形的周长拆分为各边之和，再利用平移性质把未知的线段替换成和△ABE周长相关的线段，最后代入已知的三角形周长计算即可。
【解析】
解：
∵△ABE向右平移2 cm得到△DCF，
∴根据平移的性质可得：DF=AE，AD=EF=2 cm。
四边形ABFD的周长=AB + BF + DF + AD，
其中BF=BE + EF，将DF=AE、BF=BE+EF代入周长公式得：
周长=AB + (BE + EF) + AE + AD
= (AB + BE + AE) + EF + AD
已知△ABE的周长为18 cm，即AB+BE+AE=18 cm，代入得：
周长=18 + 2 + 2 = 22 cm。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质；周长计算
【点评】
本题考查平移性质的实际应用，解题的核心是利用平移的等量关系将四边形周长转化为已知三角形周长与两段平移距离的和，解题时注意不要漏算平移产生的新增线段长度。
【难度系数】
0.7
②如图，已知坐标$A_1(1,0),A_2(1,1),A_3(-1,1),A_4(-1,-1),A_5(2,-1),A_6(2,2)···$，则$A_{2024}$的坐标是（
A.$(505,-505)$
B.$(-505,505)$
C.$(506,-506)$
D.$(-506,-506)$
D
）A.$(505,-505)$
B.$(-505,505)$
C.$(506,-506)$
D.$(-506,-506)$
答案
2.D
解析
【分析】
我们可以先观察已知点的坐标特征，优先找下标为4的倍数的特殊点的规律：发现A₄（下标4=4×1）坐标为(-1,-1)，按序列推导A₈（下标8=4×2）坐标为(-2,-2)，可总结出当下标n=4k（k为正整数）时，点Aₙ的坐标为(-k,-k)。接下来只需要判断2024是否符合4k的形式，计算出k的值后，代入规律即可求出A₂₀₂₄的坐标。
【解析】
步骤1：总结规律
观察已知点：
A₄的下标4=4×1，坐标为(-1,-1)；
按坐标变化规律可推出A₈的下标8=4×2，坐标为(-2,-2)；
A₁₂的下标12=4×3，坐标为(-3,-3)；
因此可得规律：当点的下标n=4k（k为正整数）时，点Aₙ的坐标为(-k, -k)。
步骤2：计算k的值
计算2024÷4=506，即2024=4×506，符合n=4k的形式，此时k=506。
步骤3：代入规律求坐标
将k=506代入规律，可得A₂₀₂₄的坐标为(-506, -506)。
【答案】
D
【知识点】
1. 平面直角坐标系 2. 规律探究
【点评】
本题是平面直角坐标系中典型的找规律类题目，解题的核心是先观察特殊点的坐标与下标的对应关系，总结出通用规律后再代入求解，考查学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
我们可以先观察已知点的坐标特征，优先找下标为4的倍数的特殊点的规律：发现A₄（下标4=4×1）坐标为(-1,-1)，按序列推导A₈（下标8=4×2）坐标为(-2,-2)，可总结出当下标n=4k（k为正整数）时，点Aₙ的坐标为(-k,-k)。接下来只需要判断2024是否符合4k的形式，计算出k的值后，代入规律即可求出A₂₀₂₄的坐标。
【解析】
步骤1：总结规律
观察已知点：
A₄的下标4=4×1，坐标为(-1,-1)；
按坐标变化规律可推出A₈的下标8=4×2，坐标为(-2,-2)；
A₁₂的下标12=4×3，坐标为(-3,-3)；
因此可得规律：当点的下标n=4k（k为正整数）时，点Aₙ的坐标为(-k, -k)。
步骤2：计算k的值
计算2024÷4=506，即2024=4×506，符合n=4k的形式，此时k=506。
步骤3：代入规律求坐标
将k=506代入规律，可得A₂₀₂₄的坐标为(-506, -506)。
【答案】
D
【知识点】
1. 平面直角坐标系 2. 规律探究
【点评】
本题是平面直角坐标系中典型的找规律类题目，解题的核心是先观察特殊点的坐标与下标的对应关系，总结出通用规律后再代入求解，考查学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
③[2024·湖北襄阳期末]若$m＞n$,则下列不等式不一定成立的是 （
A.$m+3＞n+3$
B.$3m＞3n$
C.$-3m＜-3n$
D.$ma^2＞na^2$
D
）A.$m+3＞n+3$
B.$3m＞3n$
C.$-3m＜-3n$
D.$ma^2＞na^2$
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查不等式基本性质的应用，解题思路是结合不等式的三条基本性质逐一判断每个选项的不等式是否一定成立，尤其要注意当不等式两边同时乘一个含字母的式子时，需要考虑这个式子是否可能为0，避免遗漏特殊情况。首先回忆不等式的基本性质：1. 不等式两边加/减同一个数，不等号方向不变；2. 不等式两边乘/除以同一个正数，不等号方向不变；3. 不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向改变，再依次分析各选项即可。
【解析】
我们根据不等式的基本性质对各选项逐一判断：
选项A：已知$m＞n$，不等式两边同时加3，根据不等式性质1，不等号方向不变，可得$m+3＞n+3$，该式一定成立，不符合题意；
选项B：已知$m＞n$，不等式两边同时乘正数3，根据不等式性质2，不等号方向不变，可得$3m＞3n$，该式一定成立，不符合题意；
选项C：已知$m＞n$，不等式两边同时乘负数-3，根据不等式性质3，不等号方向改变，可得$-3m＜-3n$，该式一定成立，不符合题意；
选项D：已知$m＞n$，不等式两边同时乘$a^2$，由于$a^2≥0$：当$a≠0$时，$a^2＞0$，可得$ma^2＞na^2$；当$a=0$时，$a^2=0$，此时$ma^2=na^2=0$，因此$ma^2＞na^2$不一定成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题属于不等式性质的常规考法，易错点是忽略$a^2$可以取0的特殊情况，从而误判D选项的不等式一定成立，解题时要注意分析乘式的取值范围，考虑全面。
【难度系数】
0.7
本题考查不等式基本性质的应用，解题思路是结合不等式的三条基本性质逐一判断每个选项的不等式是否一定成立，尤其要注意当不等式两边同时乘一个含字母的式子时，需要考虑这个式子是否可能为0，避免遗漏特殊情况。首先回忆不等式的基本性质：1. 不等式两边加/减同一个数，不等号方向不变；2. 不等式两边乘/除以同一个正数，不等号方向不变；3. 不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向改变，再依次分析各选项即可。
【解析】
我们根据不等式的基本性质对各选项逐一判断：
选项A：已知$m＞n$，不等式两边同时加3，根据不等式性质1，不等号方向不变，可得$m+3＞n+3$，该式一定成立，不符合题意；
选项B：已知$m＞n$，不等式两边同时乘正数3，根据不等式性质2，不等号方向不变，可得$3m＞3n$，该式一定成立，不符合题意；
选项C：已知$m＞n$，不等式两边同时乘负数-3，根据不等式性质3，不等号方向改变，可得$-3m＜-3n$，该式一定成立，不符合题意；
选项D：已知$m＞n$，不等式两边同时乘$a^2$，由于$a^2≥0$：当$a≠0$时，$a^2＞0$，可得$ma^2＞na^2$；当$a=0$时，$a^2=0$，此时$ma^2=na^2=0$，因此$ma^2＞na^2$不一定成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题属于不等式性质的常规考法，易错点是忽略$a^2$可以取0的特殊情况，从而误判D选项的不等式一定成立，解题时要注意分析乘式的取值范围，考虑全面。
【难度系数】
0.7
④[2024·湖北襄阳期末]如图所示，是古城墙的一角，要测量墙角$∠ AOB$的度数，但人站在墙外，无法直接测量；甲、乙两名同学提供了间接测量方案：
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是 （
A.Ⅰ、Ⅱ都可行
B.Ⅰ、Ⅱ都不可行
C.Ⅰ可行、Ⅱ不可行
D.Ⅰ不可行、Ⅱ可行
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是 （
A
）A.Ⅰ、Ⅱ都可行
B.Ⅰ、Ⅱ都不可行
C.Ⅰ可行、Ⅱ不可行
D.Ⅰ不可行、Ⅱ可行
答案
4.A
解析
【分析】
要测量无法直接获取的∠AOB的度数，可通过邻补角、对顶角的性质，将∠AOB转化为墙外可测量的角。先看方案Ⅰ：延长AO到C后，∠AOB和∠BOC组成平角，二者和为180°，只要测出墙外∠BOC的度数，就能计算出∠AOB，因此方案Ⅰ可行。再看方案Ⅱ：同时延长AO到C、BO到D后，∠AOB和∠COD是对顶角，二者相等，只要测出墙外∠COD的度数，就能直接得到∠AOB的度数，因此方案Ⅱ也可行。
【解析】
1. 验证方案Ⅰ：
延长AO到C后，∠AOB与∠BOC互为邻补角，根据邻补角的性质，$∠ AOB + ∠ BOC = 180°$，因此$∠ AOB = 180° - ∠ BOC$，只需测出∠BOC的度数即可得到∠AOB的度数，方案Ⅰ可行。
2. 验证方案Ⅱ：
延长AO到C、BO到D后，∠AOB与∠COD是对顶角，根据对顶角相等的性质，$∠ AOB = ∠ COD$，只需测出∠COD的度数即可得到∠AOB的度数，方案Ⅱ可行。
综上，方案Ⅰ、Ⅱ都可行，故选A。
【答案】
A
【知识点】
邻补角的性质；对顶角的性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查几何性质的应用，体现了数学知识的实用性，解题关键是熟练掌握邻补角和对顶角的性质，将不可直接测量的角转化为可测量的角。
【难度系数】
0.8
要测量无法直接获取的∠AOB的度数，可通过邻补角、对顶角的性质，将∠AOB转化为墙外可测量的角。先看方案Ⅰ：延长AO到C后，∠AOB和∠BOC组成平角，二者和为180°，只要测出墙外∠BOC的度数，就能计算出∠AOB，因此方案Ⅰ可行。再看方案Ⅱ：同时延长AO到C、BO到D后，∠AOB和∠COD是对顶角，二者相等，只要测出墙外∠COD的度数，就能直接得到∠AOB的度数，因此方案Ⅱ也可行。
【解析】
1. 验证方案Ⅰ：
延长AO到C后，∠AOB与∠BOC互为邻补角，根据邻补角的性质，$∠ AOB + ∠ BOC = 180°$，因此$∠ AOB = 180° - ∠ BOC$，只需测出∠BOC的度数即可得到∠AOB的度数，方案Ⅰ可行。
2. 验证方案Ⅱ：
延长AO到C、BO到D后，∠AOB与∠COD是对顶角，根据对顶角相等的性质，$∠ AOB = ∠ COD$，只需测出∠COD的度数即可得到∠AOB的度数，方案Ⅱ可行。
综上，方案Ⅰ、Ⅱ都可行，故选A。
【答案】
A
【知识点】
邻补角的性质；对顶角的性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查几何性质的应用，体现了数学知识的实用性，解题关键是熟练掌握邻补角和对顶角的性质，将不可直接测量的角转化为可测量的角。
【难度系数】
0.8
