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三、解答题
11. 解方程组 $\begin{cases}2x + 3y - z = 11, \\2x + y - 5z = 8, \\-2x + 7y + z = 19.\end{cases}$
11. 解方程组 $\begin{cases}2x + 3y - z = 11, \\2x + y - 5z = 8, \\-2x + 7y + z = 19.\end{cases}$
答案
11.解:$\begin{cases}2x+3y-z=11,①\\2x+y-5z=8,②\\-2x+7y+z=19,③\end{cases}$
①+③,得$10y=30$,解得$y=3$,
②+③,得$8y-4z=27$,④
将$y=3$代入④,得$z=-\dfrac{3}{4}$,
将$z=-\dfrac{3}{4},y=3$代入②,得$x=\dfrac{5}{8}$,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=\dfrac{5}{8},\\y=3,\\z=-\dfrac{3}{4}.\end{cases}$
①+③,得$10y=30$,解得$y=3$,
②+③,得$8y-4z=27$,④
将$y=3$代入④,得$z=-\dfrac{3}{4}$,
将$z=-\dfrac{3}{4},y=3$代入②,得$x=\dfrac{5}{8}$,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=\dfrac{5}{8},\\y=3,\\z=-\dfrac{3}{4}.\end{cases}$
解析
【分析】
本题是三元一次方程组求解问题，核心思路是消元降阶，先把三元转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程求解。观察三个方程中x的系数分别为2、2、-2，可通过方程相加直接消去x，先得到关于y和z的关系式，求出y、z的值后，再代入原方程求解x即可。
【解析】
解：将方程组标记为：
$\begin{cases}2x+3y-z=11,①\\2x+y-5z=8,②\\-2x+7y+z=19,③\end{cases}$
①+③，得$10y=30$，解得$y=3$，
②+③，得$8y-4z=27$，④
将$y=3$代入④，得$8×3 -4z=27$，解得$z=-\dfrac{3}{4}$，
将$z=-\dfrac{3}{4},y=3$代入②，得$2x +3 -5×(-\dfrac{3}{4})=8$，解得$x=\dfrac{5}{8}$。
【答案】
$\begin{cases}x=\dfrac{5}{8},\\y=3,\\z=-\dfrac{3}{4}\end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法，加减消元法，代入消元法
【点评】
本题解题的关键是观察未知数的系数特点，优先选择系数易抵消的未知数进行消元，将高阶方程组降阶为低阶方程组逐步求解，计算过程中要注意符号运算，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
本题是三元一次方程组求解问题，核心思路是消元降阶，先把三元转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程求解。观察三个方程中x的系数分别为2、2、-2，可通过方程相加直接消去x，先得到关于y和z的关系式，求出y、z的值后，再代入原方程求解x即可。
【解析】
解：将方程组标记为：
$\begin{cases}2x+3y-z=11,①\\2x+y-5z=8,②\\-2x+7y+z=19,③\end{cases}$
①+③，得$10y=30$，解得$y=3$，
②+③，得$8y-4z=27$，④
将$y=3$代入④，得$8×3 -4z=27$，解得$z=-\dfrac{3}{4}$，
将$z=-\dfrac{3}{4},y=3$代入②，得$2x +3 -5×(-\dfrac{3}{4})=8$，解得$x=\dfrac{5}{8}$。
【答案】
$\begin{cases}x=\dfrac{5}{8},\\y=3,\\z=-\dfrac{3}{4}\end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法，加减消元法，代入消元法
【点评】
本题解题的关键是观察未知数的系数特点，优先选择系数易抵消的未知数进行消元，将高阶方程组降阶为低阶方程组逐步求解，计算过程中要注意符号运算，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
12.某中学组织学生进行安全知识竞赛，共有30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分.用二元一次方程组的知识解决下列问题.
（1）甲同学参加了竞赛，成绩是6分，设甲同学在竞赛中答对了x道题，不答或答错了y道题，求x和y的值；
（2）乙同学也参加了竞赛，考完后他说：“这次竞赛我一定能拿到100分.”请问乙同学有没有可能拿到100分？请说明理由.
（1）甲同学参加了竞赛，成绩是6分，设甲同学在竞赛中答对了x道题，不答或答错了y道题，求x和y的值；
（2）乙同学也参加了竞赛，考完后他说：“这次竞赛我一定能拿到100分.”请问乙同学有没有可能拿到100分？请说明理由.
答案
12.解:(1)根据题意,得$\begin{cases}x+y=30,\\4x-2y=6,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=11,\\y=19.\end{cases}$
答:$x$的值为11,$y$的值为19.
(2)乙同学不可能拿到100分.
理由如下:
假设乙同学能拿到100分,设乙同学答对了$m$道题,则不答或答错了$(30-m)$道题.
根据题意,得$4m-2(30-m)=100$,
解得$m=\dfrac{80}{3}$.
又因为$m$为正整数,
所以$m=\dfrac{80}{3}$不符合题意,假设不成立,
所以乙同学不可能拿到100分.
解得$\begin{cases}x=11,\\y=19.\end{cases}$
答:$x$的值为11,$y$的值为19.
(2)乙同学不可能拿到100分.
理由如下:
假设乙同学能拿到100分,设乙同学答对了$m$道题,则不答或答错了$(30-m)$道题.
根据题意,得$4m-2(30-m)=100$,
解得$m=\dfrac{80}{3}$.
又因为$m$为正整数,
所以$m=\dfrac{80}{3}$不符合题意,假设不成立,
所以乙同学不可能拿到100分.
解析
【分析】
（1）解决第一问需先找准两个等量关系：一是总题数固定为30道，即答对题数+不答或答错题数=30；二是总得分计算规则：答对总得分减去不答或答错总扣分为最终成绩，将已知的x、y和得分6代入即可列出二元一次方程组，再用消元法求解方程组就能得到x、y的值。
（2）解决第二问可采用假设法，先假设乙同学能拿到100分，设答对题数为m，用含m的式子表示不答或答错的题数，再根据得分规则列一元一次方程求解，最后判断解是否符合实际意义（题数必须为非负整数），若不符合则假设不成立。
【解析】
（1）根据题意，可列二元一次方程组：
$\begin{cases}x+y=30\\4x-2y=6\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得$2x+2y=60$，再与第二个方程相加消去y，得$6x=66$，解得$x=11$，将$x=11$代入$x+y=30$，得$y=19$。
（2）乙同学不可能拿到100分，理由如下：
假设乙同学能拿到100分，设乙同学答对了$m$道题，则不答或答错了$(30-m)$道题。
根据得分规则列方程：$4m-2(30-m)=100$
去括号、合并同类项得$6m=160$，解得$m=\dfrac{80}{3}$。
由于竞赛题数为正整数，$m=\dfrac{80}{3}$不是正整数，不符合实际情况，因此假设不成立，乙同学不可能拿到100分。
【答案】
（1）x的值为11，y的值为19；（2）乙同学不可能拿到100分。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次方程应用，实际解合理性判定
【点评】
本题属于方程实际应用类基础题，解题核心是准确提取题目中的等量关系列方程，需要注意的是实际问题中未知数的取值需符合现实意义，如本题中题数必须为正整数，这是此类题的常见易错点。
【难度系数】
0.75
（1）解决第一问需先找准两个等量关系：一是总题数固定为30道，即答对题数+不答或答错题数=30；二是总得分计算规则：答对总得分减去不答或答错总扣分为最终成绩，将已知的x、y和得分6代入即可列出二元一次方程组，再用消元法求解方程组就能得到x、y的值。
（2）解决第二问可采用假设法，先假设乙同学能拿到100分，设答对题数为m，用含m的式子表示不答或答错的题数，再根据得分规则列一元一次方程求解，最后判断解是否符合实际意义（题数必须为非负整数），若不符合则假设不成立。
【解析】
（1）根据题意，可列二元一次方程组：
$\begin{cases}x+y=30\\4x-2y=6\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得$2x+2y=60$，再与第二个方程相加消去y，得$6x=66$，解得$x=11$，将$x=11$代入$x+y=30$，得$y=19$。
（2）乙同学不可能拿到100分，理由如下：
假设乙同学能拿到100分，设乙同学答对了$m$道题，则不答或答错了$(30-m)$道题。
根据得分规则列方程：$4m-2(30-m)=100$
去括号、合并同类项得$6m=160$，解得$m=\dfrac{80}{3}$。
由于竞赛题数为正整数，$m=\dfrac{80}{3}$不是正整数，不符合实际情况，因此假设不成立，乙同学不可能拿到100分。
【答案】
（1）x的值为11，y的值为19；（2）乙同学不可能拿到100分。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次方程应用，实际解合理性判定
【点评】
本题属于方程实际应用类基础题，解题核心是准确提取题目中的等量关系列方程，需要注意的是实际问题中未知数的取值需符合现实意义，如本题中题数必须为正整数，这是此类题的常见易错点。
【难度系数】
0.75
13.小明从家到学校的路程为 3.3 km，其中有一段上坡路、平路和下坡路.如果速度保持上坡路每小时行 3 km，平路每小时行 4 km，下坡路每小时行 5 km，那么小明从家到学校要用 1 h，从学校到家要用 44 min.求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米.
答案
13.解:设小明家到学校上坡路是$x$ km,平路是$y$ km,下坡路是$z$ km.依题意,得
$\begin{cases}x+y+z=3.3,\\\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{5}=1,\\\dfrac{z}{3}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{x}{5}=\dfrac{44}{60},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=2.25,\\y=0.8,\\z=0.25.\end{cases}$
答:小明家到学校上坡路是2.25 km,平路是0.8 km,下坡路是0.25 km.
$\begin{cases}x+y+z=3.3,\\\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{5}=1,\\\dfrac{z}{3}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{x}{5}=\dfrac{44}{60},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=2.25,\\y=0.8,\\z=0.25.\end{cases}$
答:小明家到学校上坡路是2.25 km,平路是0.8 km,下坡路是0.25 km.
解析
【分析】
这是一道行程类的三元一次方程组应用题，解题思路如下：首先明确未知量是上坡、平路、下坡的路程，因此设三个未知数对应三个路程；其次找3个等量关系：①三段路程之和等于总路程3.3km；②从家到学校时，上坡、平路、下坡各自的行驶时间之和为1小时（时间=路程÷速度）；③从学校回家时，原来的上坡路变成下坡路、下坡路变成上坡路，平路不变，此时三段路程的行驶时间之和为44分钟（需先统一单位为小时）；最后列三元一次方程组求解即可。
【解析】
解：设小明家到学校上坡路是$x$ km，平路是$y$ km，下坡路是$z$ km。
根据题意列方程组：
1. 总路程关系：$x + y + z = 3.3$
2. 从家到学校的时间关系：$\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} + \dfrac{z}{5} = 1$
3. 从学校到家的时间关系（上下坡互换，44min换算为$\dfrac{44}{60}$h）：$\dfrac{z}{3} + \dfrac{y}{4} + \dfrac{x}{5} = \dfrac{44}{60}$
接下来解方程组：
用第二个方程减去第三个方程，消去$y$：
$\dfrac{x}{3} + \dfrac{z}{5} - \dfrac{z}{3} - \dfrac{x}{5} = 1 - \dfrac{44}{60}$
通分化简得：$\dfrac{2x - 2z}{15} = \dfrac{16}{60}$，进一步计算得$x - z = 2$，即$x = z + 2$。
将$x = z + 2$代入总路程方程，得$y = 3.3 - (z + 2) - z = 1.3 - 2z$。
把$x = z + 2$、$y = 1.3 - 2z$代入第二个方程：
$\dfrac{z+2}{3} + \dfrac{1.3 - 2z}{4} + \dfrac{z}{5} = 1$
通分计算后解得$z = 0.25$，则$x = 0.25 + 2 = 2.25$，$y = 1.3 - 2×0.25 = 0.8$。
【答案】
小明家到学校上坡路是2.25 km，平路是0.8 km，下坡路是0.25 km。
【知识点】
三元一次方程组的应用；行程问题公式
【点评】
本题核心难点是理解往返行程中上下坡路程互换的特点，解题时要注意时间单位的统一，解方程组时可优先观察系数特点，先消去系数相同的未知数，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.6
这是一道行程类的三元一次方程组应用题，解题思路如下：首先明确未知量是上坡、平路、下坡的路程，因此设三个未知数对应三个路程；其次找3个等量关系：①三段路程之和等于总路程3.3km；②从家到学校时，上坡、平路、下坡各自的行驶时间之和为1小时（时间=路程÷速度）；③从学校回家时，原来的上坡路变成下坡路、下坡路变成上坡路，平路不变，此时三段路程的行驶时间之和为44分钟（需先统一单位为小时）；最后列三元一次方程组求解即可。
【解析】
解：设小明家到学校上坡路是$x$ km，平路是$y$ km，下坡路是$z$ km。
根据题意列方程组：
1. 总路程关系：$x + y + z = 3.3$
2. 从家到学校的时间关系：$\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} + \dfrac{z}{5} = 1$
3. 从学校到家的时间关系（上下坡互换，44min换算为$\dfrac{44}{60}$h）：$\dfrac{z}{3} + \dfrac{y}{4} + \dfrac{x}{5} = \dfrac{44}{60}$
接下来解方程组：
用第二个方程减去第三个方程，消去$y$：
$\dfrac{x}{3} + \dfrac{z}{5} - \dfrac{z}{3} - \dfrac{x}{5} = 1 - \dfrac{44}{60}$
通分化简得：$\dfrac{2x - 2z}{15} = \dfrac{16}{60}$，进一步计算得$x - z = 2$，即$x = z + 2$。
将$x = z + 2$代入总路程方程，得$y = 3.3 - (z + 2) - z = 1.3 - 2z$。
把$x = z + 2$、$y = 1.3 - 2z$代入第二个方程：
$\dfrac{z+2}{3} + \dfrac{1.3 - 2z}{4} + \dfrac{z}{5} = 1$
通分计算后解得$z = 0.25$，则$x = 0.25 + 2 = 2.25$，$y = 1.3 - 2×0.25 = 0.8$。
【答案】
小明家到学校上坡路是2.25 km，平路是0.8 km，下坡路是0.25 km。
【知识点】
三元一次方程组的应用；行程问题公式
【点评】
本题核心难点是理解往返行程中上下坡路程互换的特点，解题时要注意时间单位的统一，解方程组时可优先观察系数特点，先消去系数相同的未知数，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.6
