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12. 有甲、乙两个箱子，其中甲箱内有98个球，分别标记号码1～98，且号码为不重复的整数，乙箱内没有球.已知小悦从甲箱内拿出m个球放入乙箱后，此时甲箱内剩有a个球的号码小于40，b个球的号码大于40.
（1）若乙箱内球的号码的中位数为40，当m=49时，求a、b的值，并回答甲箱内球的号码的中位数能否为40，说明理由；
（2）当甲箱内球的号码的中位数与乙箱内球的号码的中位数都是x时，求x的值.
（1）若乙箱内球的号码的中位数为40，当m=49时，求a、b的值，并回答甲箱内球的号码的中位数能否为40，说明理由；
（2）当甲箱内球的号码的中位数与乙箱内球的号码的中位数都是x时，求x的值.
答案
12. (1)甲箱98−49=49(颗),
∵乙箱中位数40,
∴小于、大于40各有(49−1)÷2=24(颗),
∴甲箱中小于40的球有a=39−24=15(颗),大于40的有b=49−15=34(颗),甲箱内球的号码的中位数不能为40,
∵a≠b,(40号球在乙箱内,甲箱内有49颗球,不可能有40号球)
∴a=15,b=34;甲箱内球的号码的中位数不能为40.
(2)由(1)可知:当甲、乙箱内球的号码的中位数相同时,甲、乙箱内球的数量应该都是偶数.设在甲箱内球的号码小于x的数量是c颗,则大于x的数量也是c颗;设在乙箱内球的号码小于x数量是d颗,则大于x数量也是d颗,于是在全部98颗球中,号码小于x数量是(c+d)颗,大于x数量也是(c+d)颗,即1~98的中位数是x.
∴$x=\frac{1}{2}(49+50)=49.5$.
∵乙箱中位数40,
∴小于、大于40各有(49−1)÷2=24(颗),
∴甲箱中小于40的球有a=39−24=15(颗),大于40的有b=49−15=34(颗),甲箱内球的号码的中位数不能为40,
∵a≠b,(40号球在乙箱内,甲箱内有49颗球,不可能有40号球)
∴a=15,b=34;甲箱内球的号码的中位数不能为40.
(2)由(1)可知:当甲、乙箱内球的号码的中位数相同时,甲、乙箱内球的数量应该都是偶数.设在甲箱内球的号码小于x的数量是c颗,则大于x的数量也是c颗;设在乙箱内球的号码小于x数量是d颗,则大于x数量也是d颗,于是在全部98颗球中,号码小于x数量是(c+d)颗,大于x数量也是(c+d)颗,即1~98的中位数是x.
∴$x=\frac{1}{2}(49+50)=49.5$.
解析
【分析】
解题需紧扣中位数的核心性质：将数据从小到大排列后，中位数两侧小于、大于它的数据个数相等。
（1）先计算甲箱剩余球数，结合乙箱中位数为40，可推出乙箱中小于40、大于40的球的数量，结合原甲箱小于40的球总个数，即可求出a、b；再根据中位数性质，判断甲箱是否满足中位数为40的条件即可。
（2）当两箱中位数均为x时，甲箱、乙箱内小于x和大于x的球数分别相等，因此所有球中小于x和大于x的总数量也相等，即x是1~98这组数据的中位数，按偶数个数据的中位数计算方法求解即可。
【解析】
(1) 甲箱剩余球的数量：$98 - 49 = 49$（个）
∵ 乙箱共有49个球，中位数为40，
∴ 乙箱中号码小于40、大于40的球各有 $\frac{49-1}{2}=24$（个），且40号球在乙箱内。
∵ 原甲箱中号码小于40的球共39个（号码1~39），
∴ 甲箱剩余小于40的球数 $a = 39 - 24 = 15$（个），
甲箱剩余大于40的球数 $b = 49 - 15 = 34$（个）。
甲箱内球的号码的中位数不能为40，理由：40号球在乙箱内，甲箱无40号球，且甲箱剩余49个球中$a=15≠b=34$，不满足中位数两侧数据个数相等的性质，因此甲箱中位数不能为40。
(2) 当甲、乙两箱中位数均为x时：
甲箱内号码小于x、大于x的数量相等，设均为c颗；乙箱内号码小于x、大于x的数量相等，设均为d颗。
因此全部98个球中，号码小于x的总数量为$c+d$，大于x的总数量也为$c+d$，即x是1~98这组数据的中位数。
1~98共98个数据，中位数为第49、50个数据的平均数，即 $x=\frac{49+50}{2}=49.5$。
【答案】
(1) $a=15$，$b=34$；甲箱内球的号码的中位数不能为40，理由见解析；
(2) $x=49.5$
【知识点】
中位数的定义；中位数的计算
【点评】
本题侧重考查中位数性质的灵活运用，核心是抓住中位数两侧数据数量相等的特征，结合整体数据分布推理，能有效检验对统计概念的理解和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
解题需紧扣中位数的核心性质：将数据从小到大排列后，中位数两侧小于、大于它的数据个数相等。
（1）先计算甲箱剩余球数，结合乙箱中位数为40，可推出乙箱中小于40、大于40的球的数量，结合原甲箱小于40的球总个数，即可求出a、b；再根据中位数性质，判断甲箱是否满足中位数为40的条件即可。
（2）当两箱中位数均为x时，甲箱、乙箱内小于x和大于x的球数分别相等，因此所有球中小于x和大于x的总数量也相等，即x是1~98这组数据的中位数，按偶数个数据的中位数计算方法求解即可。
【解析】
(1) 甲箱剩余球的数量：$98 - 49 = 49$（个）
∵ 乙箱共有49个球，中位数为40，
∴ 乙箱中号码小于40、大于40的球各有 $\frac{49-1}{2}=24$（个），且40号球在乙箱内。
∵ 原甲箱中号码小于40的球共39个（号码1~39），
∴ 甲箱剩余小于40的球数 $a = 39 - 24 = 15$（个），
甲箱剩余大于40的球数 $b = 49 - 15 = 34$（个）。
甲箱内球的号码的中位数不能为40，理由：40号球在乙箱内，甲箱无40号球，且甲箱剩余49个球中$a=15≠b=34$，不满足中位数两侧数据个数相等的性质，因此甲箱中位数不能为40。
(2) 当甲、乙两箱中位数均为x时：
甲箱内号码小于x、大于x的数量相等，设均为c颗；乙箱内号码小于x、大于x的数量相等，设均为d颗。
因此全部98个球中，号码小于x的总数量为$c+d$，大于x的总数量也为$c+d$，即x是1~98这组数据的中位数。
1~98共98个数据，中位数为第49、50个数据的平均数，即 $x=\frac{49+50}{2}=49.5$。
【答案】
(1) $a=15$，$b=34$；甲箱内球的号码的中位数不能为40，理由见解析；
(2) $x=49.5$
【知识点】
中位数的定义；中位数的计算
【点评】
本题侧重考查中位数性质的灵活运用，核心是抓住中位数两侧数据数量相等的特征，结合整体数据分布推理，能有效检验对统计概念的理解和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
13. 某公司为提高员工的专业能力,定期对员工进行技能测试.考虑多种因素影响,需将测试的原始成绩$x$(分)换算为报告成绩$y$(分).已知原始成绩满分150分,报告成绩满分100分、换算规则如下:当$0≤x＜p$时,$y=\frac{80x}{p}$;当$p≤x≤150$时,$y=\frac{20(x-p)}{150-p}+80$.(其中$p$是小于150的常数,是原始成绩的合格分数线,80是报告成绩的合格分数线)公司规定报告成绩为80分及80分以上(即原始成绩为$p$及$p$以上)为合格.
(1) 甲、乙的原始成绩分别为95分和130分,若$p=100$,求甲、乙的报告成绩;
(2) 下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表:
① 直接写出这100名员工原始成绩的中位数;
② 若①中的中位数换算成报告成绩为90分,直接写出该公司此次测试的合格率.
(1) 甲、乙的原始成绩分别为95分和130分,若$p=100$,求甲、乙的报告成绩;
(2) 下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表:
① 直接写出这100名员工原始成绩的中位数;
② 若①中的中位数换算成报告成绩为90分,直接写出该公司此次测试的合格率.
答案
13. (1)当$p=100$时,甲的报告成绩为:$y=\frac{80×95}{100}=76$(分),乙的报告成绩为:$y=\frac{20×(130−100)}{150−100}+80=92$(分)；
(2) ① 130； ② 95%.
(2) ① 130； ② 95%.
解析
【分析】
(1) 换算规则为分段函数，解题时先判断甲、乙的原始成绩所属的区间，再将$p=100$和原始成绩代入对应公式，即可计算出两人的报告成绩。
(2) ① 100个数据的中位数是排序后第50、第51个数据的平均数，按原始成绩从低到高累加人数，找到第50和51个数据对应的成绩，求平均数即可得到中位数。② 先将中位数130、对应报告成绩90代入$p≤x≤150$的换算公式，求出合格分数线$p$，再统计原始成绩≥$p$的人数，除以总人数100即可得到合格率。
【解析】
(1) 当$p=100$时：
甲的原始成绩为95分，满足$0≤95＜100$，代入$y=\frac{80x}{p}$得：
$y=\frac{80×95}{100}=76$（分）
乙的原始成绩为130分，满足$100≤130≤150$，代入$y=\frac{20(x-p)}{150-p}+80$得：
$y=\frac{20×(130-100)}{150-100}+80=\frac{600}{50}+80=92$（分）
(2) ① 总共有100个成绩数据，中位数为排序后第50、51个数据的平均数。按原始成绩从低到高累加人数：
$1+2+2+5+8+10+7=35$，即前35个数据都小于130分；
$35+16=51$，即第36到51个数据均为130分，因此第50、51个数据都是130分，中位数为$\frac{130+130}{2}=130$。
② 已知原始成绩130分对应的报告成绩为90分，代入$y=\frac{20(x-p)}{150-p}+80$得：
$90=\frac{20×(130-p)}{150-p}+80$
移项化简得：$10(150-p)=20(130-p)$
解得$p=110$，即合格分数线为原始成绩110分。
原始成绩小于110分的人数为$1+2+2=5$人，因此合格人数为$100-5=95$人，合格率为$\frac{95}{100}×100\%=95\%$。
【答案】
(1) 甲的报告成绩为76分，乙的报告成绩为92分；(2) ①$\boxed{130}$；②$\boxed{95\%}$
【知识点】
分段函数应用；中位数计算；百分率计算
【点评】
本题结合实际考核场景命题，既考查了分段函数的代入求值，也考查了中位数的计算和百分率的应用，需要学生准确理解分段规则，正确累加数据定位中位数，侧重对基础概念的掌握和信息提取能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 换算规则为分段函数，解题时先判断甲、乙的原始成绩所属的区间，再将$p=100$和原始成绩代入对应公式，即可计算出两人的报告成绩。
(2) ① 100个数据的中位数是排序后第50、第51个数据的平均数，按原始成绩从低到高累加人数，找到第50和51个数据对应的成绩，求平均数即可得到中位数。② 先将中位数130、对应报告成绩90代入$p≤x≤150$的换算公式，求出合格分数线$p$，再统计原始成绩≥$p$的人数，除以总人数100即可得到合格率。
【解析】
(1) 当$p=100$时：
甲的原始成绩为95分，满足$0≤95＜100$，代入$y=\frac{80x}{p}$得：
$y=\frac{80×95}{100}=76$（分）
乙的原始成绩为130分，满足$100≤130≤150$，代入$y=\frac{20(x-p)}{150-p}+80$得：
$y=\frac{20×(130-100)}{150-100}+80=\frac{600}{50}+80=92$（分）
(2) ① 总共有100个成绩数据，中位数为排序后第50、51个数据的平均数。按原始成绩从低到高累加人数：
$1+2+2+5+8+10+7=35$，即前35个数据都小于130分；
$35+16=51$，即第36到51个数据均为130分，因此第50、51个数据都是130分，中位数为$\frac{130+130}{2}=130$。
② 已知原始成绩130分对应的报告成绩为90分，代入$y=\frac{20(x-p)}{150-p}+80$得：
$90=\frac{20×(130-p)}{150-p}+80$
移项化简得：$10(150-p)=20(130-p)$
解得$p=110$，即合格分数线为原始成绩110分。
原始成绩小于110分的人数为$1+2+2=5$人，因此合格人数为$100-5=95$人，合格率为$\frac{95}{100}×100\%=95\%$。
【答案】
(1) 甲的报告成绩为76分，乙的报告成绩为92分；(2) ①$\boxed{130}$；②$\boxed{95\%}$
【知识点】
分段函数应用；中位数计算；百分率计算
【点评】
本题结合实际考核场景命题，既考查了分段函数的代入求值，也考查了中位数的计算和百分率的应用，需要学生准确理解分段规则，正确累加数据定位中位数，侧重对基础概念的掌握和信息提取能力的考查。
【难度系数】
0.7
