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【典例1】二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象的最高点是$(-1,-3)$，则$b,c$的值分别是（
A.$2,4$
B.$2,-4$
C.$-2,4$
D.$-2,-4$
D
）A.$2,4$
B.$2,-4$
C.$-2,4$
D.$-2,-4$
答案
D
变式.依图求抛物线的解析式. 
答案
(1)解:$y=a(x-1)^2-2$过$(0,0)$，
$\therefore a=2,\therefore y=2(x-1)^2-2.$
(2)$y=a(x-1)^2$过$(0,2)$，
$a=2,\therefore y=2(x-1)^2.$
(3)$y=a(x-2)^2+4$过$(-1,0)$，
$9a+4=0,a=-\frac{4}{9},$
$\therefore y=-\frac{4}{9}(x-2)^2+4.$
$\therefore a=2,\therefore y=2(x-1)^2-2.$
(2)$y=a(x-1)^2$过$(0,2)$，
$a=2,\therefore y=2(x-1)^2.$
(3)$y=a(x-2)^2+4$过$(-1,0)$，
$9a+4=0,a=-\frac{4}{9},$
$\therefore y=-\frac{4}{9}(x-2)^2+4.$
【典例2】(2026·北京)二次函数$y=ax^2+bx+c$的部分对应值如表：
| $x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | … |
| $y$ | … | $5$ | $0$ |
| $-4$ | $-3$ | $0$ | … |
则二次函数的解析式为
| $x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | … |
| $y$ | … | $5$ | $0$ |
| $-4$ | $-3$ | $0$ | … |则二次函数的解析式为
$y=x^2-2x-3$
。答案
$y=x^2-2x-3$
提示:由表知抛物线顶点$(1,-4),\therefore y=a(x-1)^2-4$过$(0,-3),\therefore a=1.$
提示:由表知抛物线顶点$(1,-4),\therefore y=a(x-1)^2-4$过$(0,-3),\therefore a=1.$
变式1.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的$y$与$x$的部分对应值如表：
则二次函数解析式为
则二次函数解析式为
$y=-x^2-2x+8$
.答案
$y=-x^2-2x+8$
解:顶点$(-1,9)$，
$y=a(x+1)^2+9$过$(1,5)$，
$\therefore 4a+9=5,a=-1,$
$\therefore y=-(x+1)^2+9.$
解:顶点$(-1,9)$，
$y=a(x+1)^2+9$过$(1,5)$，
$\therefore 4a+9=5,a=-1,$
$\therefore y=-(x+1)^2+9.$
变式2.在探索二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的系数$a,b,c$与图象的关系活动中，老师给出了四个点$A(0,1),B(2,1),C(4,1),D(3,2)$，同学们分别画出经过这四个点中三个点的二次函数图象，得到$y=ax^2+bx+c$，则$a+b+c$的最大值为(
A.－5
B.$\frac{2}{3}$
C.2
D.5
C
)A.－5
B.$\frac{2}{3}$
C.2
D.5
答案
C
解:$x=1,y=a+b+c$，
过哪三点时,$x=1$时最大，
由对称知过$A,C,D$三点时,$x=1$,此时$y=2.$
