2026年思维新观察九年级数学上册人教版第97页答案
【典例1】在平面直角坐标系中，函数$y=\frac{\sqrt{2}}{x}(x＜0)$与$y=x+1$的图象交于点$P(a,b)$，则代数式$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$的值是（
B
）

A.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$-\sqrt{2}$

答案

解:$\because ab=\sqrt{2},b=a+1$，
$\therefore \frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
变式.反比例函数$y=\frac{2023}{x}$的图象与一次函数$y=x+2023$的图象交于点$P(a,b)$，则$\frac{1}{a(a+1)}$的值为(
B
)

A.2
B.1
C.$\frac{2020}{2021}$
D.2021

答案

解:$\because ab=2023,b=a+2023$，
原 式 $= (\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}) + (\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a+2}) + \dots + (\frac{1}{a+2022}-\frac{1}{a+2023}) =\frac{1}{a}-\frac{1}{a+2023}=\frac{2023}{a(a+2023)}=1$。
【典例2】直线$y=-2x+6$与双曲线$y=\dfrac{k}{x}(k＜0)$交于$A$、$B$两点，$A$、$B$的横坐标分别为$m$、$n$，则$m+n$的值为________。

答案

解:联立$\begin{cases} y=-2x+6, \\ y=\dfrac{k}{x}, \end{cases}$
$\therefore -2x^2+6x-k=0,\therefore m+n=3$。
变式1.直线$y=x+m$与双曲线$y=\dfrac{4}{x}$交于A、B两点，直线$y=x+m$与y轴交于C点，且$OC^2=AC· BC$，则m的值为（
C
）

A.$2\sqrt{2}$
B.2
C.$\pm2\sqrt{2}$
D.4

答案

解:联立$\begin{cases} y=x+m, \\ y=\dfrac{4}{x}, \end{cases} x^2+mx-4=0$，
则 $x_A · x_B=-4$，
又$\because AC=\sqrt{2}|x_A|,BC=\sqrt{2}|x_B|$，
$\therefore AC · BC=2|x_A x_B|=8=OC^2$，
$\therefore m=\pm2\sqrt{2}$。
变式2.直线$y=kx(k＞0)$与双曲线$y=\frac{2}{x}$交于A、B两点，若A、B两点的坐标分别为$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，则$x_1y_2 + x_2y_1$的值为(
C
)

A.－8
B.4
C.－4
D.0

答案

解:$y_2=\frac{2}{x_2},y_1=\frac{2}{x_1},\therefore x_1 · y_2 + x_2 · y_1=\frac{2x_1}{x_2}+\frac{2x_2}{x_1}=\frac{2(x_1^2+x_2^2)}{x_1x_2}$，
又$\because x_1x_2=-\frac{2}{k},x_1+x_2=0,\therefore x_1y_2+x_2y_1=-4$。