【典例1】如图，已知正方形OABC的顶点A，B在反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，点C在第二象限内，求正方形OABC的面积.

过点 A 作 $AD⊥ x$ 轴于点 D,过点 B 作 $BE⊥ DA$ 交延长线于点 E.

设 $A(a,b)$,
$\because$ 在正方形 OABC 中,$∠ ADO=∠ E$,
$∠ AOD=∠ BAE,OA=AB$,
$\therefore △ DAO≌ △ EBA$,
$\therefore AE=OD=a,BE=AD=b$,
$\therefore B(a-b,b+a)$,即 $\begin{cases}ab=3\\a^2-b^2=3\end{cases}$,
$\therefore (a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+4a^2b^2=9+36=45$,
即 $a^2+b^2=3\sqrt{5}$,
$\therefore S_{\mathrm{正方形}OABC}=OA^2=a^2+b^2=3\sqrt{5}$.

变式.(2026·湖北)如图,已知A,B两点在第一象限的直线$y=x$上,分别过A,B两点作x轴平行线交反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象于C,D两点,若$AC=\sqrt{3}BD$,求$3DO^2 - CO^2$的值.

解:设点 A 的坐标为$(a,a)$,
点 B 的坐标为$(b,b)$,
$\therefore$ 点 C 的坐标为 $(\dfrac{1}{a},a)$,
点 D 的坐标为 $(\dfrac{1}{b},b)$.
$\because AC=\sqrt{3}BD,\therefore \dfrac{1}{a}-a=\sqrt{3}(b-\dfrac{1}{b})$,
$\therefore \dfrac{1}{a^2}+a^2-2=3(b^2+\dfrac{1}{b^2}-2)$.
$\because 3(b^2+\dfrac{1}{b^2})-(\dfrac{1}{a^2}+a^2)=4$,
$\therefore 3DO^2-CO^2=3(b^2+\dfrac{1}{b^2})-(\dfrac{1}{a^2}+a^2)=4$.

【典例2】如图，双曲线$y=\frac{4}{x}$过A，B两点，且△OAB为等边三角形，求OB的长。

解:设 $A(a,\dfrac{4}{a}),B(b,\dfrac{4}{b})$,
由 $OA=OB⇒ a^2+\dfrac{16}{a^2}=b^2+\dfrac{16}{b^2}⇒ ab=4$.
由 $OA=AB⇒ a^2+\dfrac{16}{a^2}=(a-b)^2+(\dfrac{4}{a}-\dfrac{4}{b})^2$,
$\therefore b^2+\dfrac{16}{b^2}=16$.
又 $\because OB^2=b^2+\dfrac{16}{b^2}=16$,
$\therefore OB=4$.