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11. 若$m$是方程$x^2 - 2x -1=0$的根，则$m^2 + \dfrac{1}{m^2} =$
6
.答案
11. 6
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据一元二次方程根的定义，将$x=m$代入原方程，得到关于$m$的等式；第二步，观察所求代数式$m^2+\frac{1}{m^2}$的结构，需要先得到$m$和$\frac{1}{m}$的关系，首先判断$m≠0$（若$m=0$代入原方程不成立），将关于$m$的等式两边同时除以$m$，整理得到$m-\frac{1}{m}$的值；第三步，利用完全平方公式对所求代数式变形，将$m-\frac{1}{m}$的值整体代入即可求出结果。
【解析】
∵ $m$是方程$x^2 - 2x -1=0$的根
∴ 把$x=m$代入方程得：$m^2 - 2m -1 = 0$
当$m=0$时，左边$=0 - 0 -1=-1≠0$，故$m≠0$
等式两边同时除以$m$得：$m - 2 - \frac{1}{m}=0$，整理得$m - \frac{1}{m}=2$
根据完全平方公式变形可得：
$m^2 + \frac{1}{m^2}=(m - \frac{1}{m})^2 + 2· m· \frac{1}{m}$
将$m - \frac{1}{m}=2$代入上式：
原式$=2^2 + 2×1=4 + 2=6$
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程根的定义，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题重点考查方程根的定义和代数式的变形计算，解题的核心是通过对原方程变形得到$m-\frac{1}{m}$的值，再利用完全平方公式整体代入求解，避免了直接求解$m$的复杂运算，体现了整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，根据一元二次方程根的定义，将$x=m$代入原方程，得到关于$m$的等式；第二步，观察所求代数式$m^2+\frac{1}{m^2}$的结构，需要先得到$m$和$\frac{1}{m}$的关系，首先判断$m≠0$（若$m=0$代入原方程不成立），将关于$m$的等式两边同时除以$m$，整理得到$m-\frac{1}{m}$的值；第三步，利用完全平方公式对所求代数式变形，将$m-\frac{1}{m}$的值整体代入即可求出结果。
【解析】
∵ $m$是方程$x^2 - 2x -1=0$的根
∴ 把$x=m$代入方程得：$m^2 - 2m -1 = 0$
当$m=0$时，左边$=0 - 0 -1=-1≠0$，故$m≠0$
等式两边同时除以$m$得：$m - 2 - \frac{1}{m}=0$，整理得$m - \frac{1}{m}=2$
根据完全平方公式变形可得：
$m^2 + \frac{1}{m^2}=(m - \frac{1}{m})^2 + 2· m· \frac{1}{m}$
将$m - \frac{1}{m}=2$代入上式：
原式$=2^2 + 2×1=4 + 2=6$
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程根的定义，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题重点考查方程根的定义和代数式的变形计算，解题的核心是通过对原方程变形得到$m-\frac{1}{m}$的值，再利用完全平方公式整体代入求解，避免了直接求解$m$的复杂运算，体现了整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.7
12. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式.
（1）一个微信群里共有$ x $个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息，这样共有756条消息；
（2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14 cm，面积为24 $ \mathrm{cm}^2 $，求它的两条直角边的长.
（1）一个微信群里共有$ x $个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息，这样共有756条消息；
（2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14 cm，面积为24 $ \mathrm{cm}^2 $，求它的两条直角边的长.
答案
12. (1)依题意得$x(x-1)=756,x^2-x-756=0$；(2)设其中一条直角边的长为$x$ cm，则另一条直角边为$(14-x)$ cm，根据题意得:$\frac{1}{2}x(14-x)=24$,整理得:$x^2-14x+48=0$.
解析
【分析】
（1）解本问首先明确发消息的规则：每个好友无需给自己发消息，因此1个好友会给剩余$(x-1)$个好友各发1条消息，总消息数等于总人数乘单人发送的消息数，据此列方程后，再整理为等号右侧为0、整式形式的一元二次方程一般形式即可。
（2）解本问可先设其中一条直角边长为未知数，根据两条直角边的和为14cm表示出另一条直角边的长度，再结合直角三角形面积公式“面积=$\frac{1}{2}$×两条直角边的乘积”列方程，最后整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
（1）每个好友发送$(x-1)$条消息，共有$x$个好友，依题意列方程：
$x(x-1)=756$
展开移项整理为一般形式：
$x^2 - x - 756 = 0$
（2）设其中一条直角边的长为$x$ cm，则另一条直角边的长为$(14-x)$ cm，根据面积公式列方程：
$\frac{1}{2}x(14-x)=24$
两边同乘2后展开移项整理为一般形式：
$x^2 -14x +48=0$
【答案】
(1)依题意得$x(x-1)=756$，化成一般形式为$x^2-x-756=0$；(2)设其中一条直角边的长为$x$ cm，则另一条直角边为$(14-x)$ cm，根据题意得$\frac{1}{2}x(14-x)=24$，整理成一般形式为$x^2-14x+48=0$
【知识点】
列一元二次方程；一元二次方程的一般形式；实际问题的等量关系
【点评】
本题侧重考查从实际场景中提取等量关系列方程的能力，解题时要注意区分“互发消息”和“握手问题”的等量差异，熟练掌握一元二次方程一般形式的化简要求。
【难度系数】
0.75
（1）解本问首先明确发消息的规则：每个好友无需给自己发消息，因此1个好友会给剩余$(x-1)$个好友各发1条消息，总消息数等于总人数乘单人发送的消息数，据此列方程后，再整理为等号右侧为0、整式形式的一元二次方程一般形式即可。
（2）解本问可先设其中一条直角边长为未知数，根据两条直角边的和为14cm表示出另一条直角边的长度，再结合直角三角形面积公式“面积=$\frac{1}{2}$×两条直角边的乘积”列方程，最后整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
（1）每个好友发送$(x-1)$条消息，共有$x$个好友，依题意列方程：
$x(x-1)=756$
展开移项整理为一般形式：
$x^2 - x - 756 = 0$
（2）设其中一条直角边的长为$x$ cm，则另一条直角边的长为$(14-x)$ cm，根据面积公式列方程：
$\frac{1}{2}x(14-x)=24$
两边同乘2后展开移项整理为一般形式：
$x^2 -14x +48=0$
【答案】
(1)依题意得$x(x-1)=756$，化成一般形式为$x^2-x-756=0$；(2)设其中一条直角边的长为$x$ cm，则另一条直角边为$(14-x)$ cm，根据题意得$\frac{1}{2}x(14-x)=24$，整理成一般形式为$x^2-14x+48=0$
【知识点】
列一元二次方程；一元二次方程的一般形式；实际问题的等量关系
【点评】
本题侧重考查从实际场景中提取等量关系列方程的能力，解题时要注意区分“互发消息”和“握手问题”的等量差异，熟练掌握一元二次方程一般形式的化简要求。
【难度系数】
0.75
13. 已知$a$是方程$x^2 - 2027x + 1 = 0$一个根，则$a^2 - 2026a + \frac{2027}{a^2 + 1}$的值为
2026
.答案
13. 2 026
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将根a代入原方程得到关于a的等式，再对等式进行合理变形，得到$a^2$、$a^2+1$以及$a$与$\frac{1}{a}$的和的表达式，最后将这些表达式整体代入所求代数式，通过降次、化简计算即可得到结果，不需要求出a的具体数值，整体代入是核心思路。
【解析】
∵a是方程$x^2 - 2027x + 1 = 0$的一个根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 - 2027a + 1 = 0$，且$a≠0$（若$a=0$，左边$=1≠0$，矛盾），
对等式变形可得：
①$a^2 = 2027a - 1$，
②$a^2 + 1 = 2027a$，
③将等式两边同时除以a，得$a - 2027 + \frac{1}{a} = 0$，即$a + \frac{1}{a} = 2027$。
将①②代入所求代数式：
$a^2 - 2026a + \frac{2027}{a^2 + 1}$
$=(2027a - 1) - 2026a + \frac{2027}{2027a}$
$=a - 1 + \frac{1}{a}$
$=(a + \frac{1}{a}) - 1$
将③代入上式得：$2027 - 1 = 2026$。
【答案】
2026
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代数式整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程相关的典型求值题，无需计算根的具体值，核心是利用方程根的性质对已知等式变形，将所求代数式降次后整体代入计算即可，解题时要注意验证a不为0，保证分式变形合法。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将根a代入原方程得到关于a的等式，再对等式进行合理变形，得到$a^2$、$a^2+1$以及$a$与$\frac{1}{a}$的和的表达式，最后将这些表达式整体代入所求代数式，通过降次、化简计算即可得到结果，不需要求出a的具体数值，整体代入是核心思路。
【解析】
∵a是方程$x^2 - 2027x + 1 = 0$的一个根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 - 2027a + 1 = 0$，且$a≠0$（若$a=0$，左边$=1≠0$，矛盾），
对等式变形可得：
①$a^2 = 2027a - 1$，
②$a^2 + 1 = 2027a$，
③将等式两边同时除以a，得$a - 2027 + \frac{1}{a} = 0$，即$a + \frac{1}{a} = 2027$。
将①②代入所求代数式：
$a^2 - 2026a + \frac{2027}{a^2 + 1}$
$=(2027a - 1) - 2026a + \frac{2027}{2027a}$
$=a - 1 + \frac{1}{a}$
$=(a + \frac{1}{a}) - 1$
将③代入上式得：$2027 - 1 = 2026$。
【答案】
2026
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代数式整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程相关的典型求值题，无需计算根的具体值，核心是利用方程根的性质对已知等式变形，将所求代数式降次后整体代入计算即可，解题时要注意验证a不为0，保证分式变形合法。
【难度系数】
0.7
14. 关于x的一元二次方程$(a-1)x^2 + x + |a| - 1 = 0$的一个根是0，则实数a的值为
-1
答案
14. $-1$
解析
【分析】
解题时需结合两个条件推导：①方程的根满足方程，将根代入方程可得到关于参数a的等式；②题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0。首先将x=0代入方程求出a的所有可能值，再结合一元二次方程的定义排除不符合要求的解，即可得到正确的a值。
【解析】
∵ 方程的一个根是0，将x=0代入原方程得：
$(a-1)×0^2 + 0 + |a| - 1 = 0$
化简得：$|a| - 1 = 0$，解得$a=1$或$a=-1$
又
∵ 原方程是关于x的一元二次方程，
∴ 二次项系数$a-1≠0$，即$a≠1$
综上，实数a的值为$-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义；方程根的性质；绝对值运算
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题型，易错点是忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接得到a=±1的错误结果，解题时要注意对隐含条件的挖掘。
【难度系数】
0.7
解题时需结合两个条件推导：①方程的根满足方程，将根代入方程可得到关于参数a的等式；②题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0。首先将x=0代入方程求出a的所有可能值，再结合一元二次方程的定义排除不符合要求的解，即可得到正确的a值。
【解析】
∵ 方程的一个根是0，将x=0代入原方程得：
$(a-1)×0^2 + 0 + |a| - 1 = 0$
化简得：$|a| - 1 = 0$，解得$a=1$或$a=-1$
又
∵ 原方程是关于x的一元二次方程，
∴ 二次项系数$a-1≠0$，即$a≠1$
综上，实数a的值为$-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义；方程根的性质；绝对值运算
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题型，易错点是忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接得到a=±1的错误结果，解题时要注意对隐含条件的挖掘。
【难度系数】
0.7
15. 已知$m$为方程$x^2 + 3x - 2026 = 0$的根，那么$m^3 + 2m^2 - 2029m + 2026$的值为（
A.$-2026$
B.$0$
C.$2026$
D.$4052$
B
）A.$-2026$
B.$0$
C.$2026$
D.$4052$
答案
15. B
解析
【分析】
已知m是一元二次方程的根，首先根据方程根的定义，将x=m代入方程可得m²+3m=2026，所求代数式是三次多项式，我们可以通过降次的思路，把三次项转化为二次项，再利用得到的m²+3m=2026的关系，把二次项转化为一次项，最后整体代入化简即可求出结果，不需要直接解出m的值，能大幅简化计算。
【解析】
∵ m是方程$x^2 + 3x - 2026 = 0$的根，
∴ 把x=m代入方程得：$m^2 + 3m - 2026 = 0$，即$m^2 + 3m = 2026$，且$m^2 = 2026 - 3m$。
对所求代数式变形降次：
$m^3 + 2m^2 - 2029m + 2026$
$= m · m^2 + 2m^2 - 2029m + 2026$
把$m^2 = 2026 - 3m$代入上式：
$= m(2026 - 3m) + 2m^2 - 2029m + 2026$
$= 2026m - 3m^2 + 2m^2 - 2029m + 2026$
合并同类项得：
$= -m^2 - 3m + 2026$
$= -(m^2 + 3m) + 2026$
将$m^2 + 3m = 2026$整体代入：
$= -2026 + 2026 = 0$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义、代数式化简、整体代入法
【点评】
本题是一元二次方程根的应用的典型题型，无需直接求解方程的根，通过降次和整体代入的方法即可快速求出代数式的值，熟练掌握这类技巧能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
已知m是一元二次方程的根，首先根据方程根的定义，将x=m代入方程可得m²+3m=2026，所求代数式是三次多项式，我们可以通过降次的思路，把三次项转化为二次项，再利用得到的m²+3m=2026的关系，把二次项转化为一次项，最后整体代入化简即可求出结果，不需要直接解出m的值，能大幅简化计算。
【解析】
∵ m是方程$x^2 + 3x - 2026 = 0$的根，
∴ 把x=m代入方程得：$m^2 + 3m - 2026 = 0$，即$m^2 + 3m = 2026$，且$m^2 = 2026 - 3m$。
对所求代数式变形降次：
$m^3 + 2m^2 - 2029m + 2026$
$= m · m^2 + 2m^2 - 2029m + 2026$
把$m^2 = 2026 - 3m$代入上式：
$= m(2026 - 3m) + 2m^2 - 2029m + 2026$
$= 2026m - 3m^2 + 2m^2 - 2029m + 2026$
合并同类项得：
$= -m^2 - 3m + 2026$
$= -(m^2 + 3m) + 2026$
将$m^2 + 3m = 2026$整体代入：
$= -2026 + 2026 = 0$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义、代数式化简、整体代入法
【点评】
本题是一元二次方程根的应用的典型题型，无需直接求解方程的根，通过降次和整体代入的方法即可快速求出代数式的值，熟练掌握这类技巧能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
16. 已知关于$x$的方程$(m^2 -9)x^2 + (m+3)x -5=0$.
（1）当$m$为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解.
（2）当$m$为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项.
（1）当$m$为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解.
（2）当$m$为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项.
答案
16. (1) 根据一元一次方程的定义可知:$m^2-9=0,m+3≠0$,解得:$m=3$,此时化简方程为:$6x-5=0$,解得:$x=\frac{5}{6}$；(2) 根据一元二次方程的定义可知:$m^2-9≠0$,解得:$m≠±3$. 该方程的二次项系数为:$m^2-9$；一次项系数为:$m+3$；常数项为:$-5$.
解析
【分析】
解题时需结合一元一次方程、一元二次方程的定义分别推导参数的取值：
1. 求解第一问时，首先明确一元一次方程的核心特征：只含1个未知数、未知数最高次数为1、整式方程，因此原方程的二次项系数必须为0，同时保证一次项系数不为0，据此列等式和不等式求解m，再代入方程求解即可。
2. 求解第二问时，明确一元二次方程的核心特征是未知数最高次数为2，因此只需保证二次项系数不为0，即可得到m的取值范围，再对应识别方程的各项系数即可。
【解析】
（1）根据一元一次方程的定义，需满足：二次项系数为0，且一次项系数不为0，即
$\begin{cases}m^2 - 9 = 0 \\ m + 3 ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 - 9 = 0$得$m = 3$或$m = -3$，结合$m + 3 ≠ 0$即$m ≠ -3$，得$m = 3$。
将$m=3$代入原方程，化简得$6x - 5 = 0$，解得$x = \frac{5}{6}$。
（2）根据一元二次方程的定义，需满足二次项系数不为0，即$m^2 - 9 ≠ 0$，解得$m ≠ \pm 3$。
此时方程的二次项系数为$m^2 - 9$，一次项系数为$m + 3$，常数项为$-5$。
【答案】
(1) $m=3$，方程的解为$x=\frac{5}{6}$；
(2) $m≠±3$，二次项系数为$m^2-9$，一次项系数为$m+3$，常数项为$-5$。
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 一元二次方程的定义
3. 方程系数的识别
【点评】
本题是方程概念类基础题，核心考查两类整式方程的定义辨析，解题的关键是牢记一元一次方程需同时满足“最高次项次数为1、一次项系数不为0”，一元二次方程需满足“二次项系数不为0”的限制条件，避免遗漏约束出错。
【难度系数】
0.8
解题时需结合一元一次方程、一元二次方程的定义分别推导参数的取值：
1. 求解第一问时，首先明确一元一次方程的核心特征：只含1个未知数、未知数最高次数为1、整式方程，因此原方程的二次项系数必须为0，同时保证一次项系数不为0，据此列等式和不等式求解m，再代入方程求解即可。
2. 求解第二问时，明确一元二次方程的核心特征是未知数最高次数为2，因此只需保证二次项系数不为0，即可得到m的取值范围，再对应识别方程的各项系数即可。
【解析】
（1）根据一元一次方程的定义，需满足：二次项系数为0，且一次项系数不为0，即
$\begin{cases}m^2 - 9 = 0 \\ m + 3 ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 - 9 = 0$得$m = 3$或$m = -3$，结合$m + 3 ≠ 0$即$m ≠ -3$，得$m = 3$。
将$m=3$代入原方程，化简得$6x - 5 = 0$，解得$x = \frac{5}{6}$。
（2）根据一元二次方程的定义，需满足二次项系数不为0，即$m^2 - 9 ≠ 0$，解得$m ≠ \pm 3$。
此时方程的二次项系数为$m^2 - 9$，一次项系数为$m + 3$，常数项为$-5$。
【答案】
(1) $m=3$，方程的解为$x=\frac{5}{6}$；
(2) $m≠±3$，二次项系数为$m^2-9$，一次项系数为$m+3$，常数项为$-5$。
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 一元二次方程的定义
3. 方程系数的识别
【点评】
本题是方程概念类基础题，核心考查两类整式方程的定义辨析，解题的关键是牢记一元一次方程需同时满足“最高次项次数为1、一次项系数不为0”，一元二次方程需满足“二次项系数不为0”的限制条件，避免遗漏约束出错。
【难度系数】
0.8
17. 若$ x_0 $是方程$ ax^2 + 2x + c = 0(a ≠ 0) $的一个根，设$ M = 1 - ac $，$ N = (ax_0 + 1)^2 $，试比较$ M $与$ N $的大小。
答案
17. $\because x_0$ 是方程 $ax^2 +2x +c=0(a≠0)$ 的一个根,$\therefore ax_0^2+2x_0 +c=0$,即 $ax_0^2+2x_0=-c$,则 $N-M=(ax_0+1)^2-(1-ac)=a^2x_0^2+2ax_0+1-1+ac=a(ax_0^2+2x_0)+ac=-ac+ac=0,\therefore M=N.$
解析
【分析】
要比较M和N的大小，优先选用作差法：计算N-M的结果，若结果为0则二者相等，大于0则N更大，小于0则M更大。已知$x_0$是方程的根，根据一元二次方程根的定义，将$x_0$代入方程可得到含$x_0$的等式，再把N展开化简，将得到的等式代入$N-M$的表达式中计算，即可判断二者的大小关系。
【解析】
$\because x_0$是方程$ax^2 + 2x + c = 0(a ≠ 0)$的一个根，
$\therefore$将$x=x_0$代入方程得：$ax_0^2 + 2x_0 + c = 0$，即$ax_0^2 + 2x_0 = -c$。
计算$N-M$：
$\begin{aligned}N-M&=(ax_0 + 1)^2 - (1 - ac)\\&=a^2x_0^2 + 2ax_0 + 1 - 1 + ac\\&=a(ax_0^2 + 2x_0) + ac\end{aligned}$
把$ax_0^2 + 2x_0 = -c$代入上式：
$N-M=a×(-c) + ac=-ac + ac=0$
$\therefore M=N$
【答案】
$M=N$
【知识点】
一元二次方程根的定义；作差法比较大小；整式化简
【点评】
本题核心是利用一元二次方程根的性质得到等量关系，结合作差法比较代数式大小的思路求解，解题时注意整式展开和代入化简的准确性，掌握基础方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要比较M和N的大小，优先选用作差法：计算N-M的结果，若结果为0则二者相等，大于0则N更大，小于0则M更大。已知$x_0$是方程的根，根据一元二次方程根的定义，将$x_0$代入方程可得到含$x_0$的等式，再把N展开化简，将得到的等式代入$N-M$的表达式中计算，即可判断二者的大小关系。
【解析】
$\because x_0$是方程$ax^2 + 2x + c = 0(a ≠ 0)$的一个根，
$\therefore$将$x=x_0$代入方程得：$ax_0^2 + 2x_0 + c = 0$，即$ax_0^2 + 2x_0 = -c$。
计算$N-M$：
$\begin{aligned}N-M&=(ax_0 + 1)^2 - (1 - ac)\\&=a^2x_0^2 + 2ax_0 + 1 - 1 + ac\\&=a(ax_0^2 + 2x_0) + ac\end{aligned}$
把$ax_0^2 + 2x_0 = -c$代入上式：
$N-M=a×(-c) + ac=-ac + ac=0$
$\therefore M=N$
【答案】
$M=N$
【知识点】
一元二次方程根的定义；作差法比较大小；整式化简
【点评】
本题核心是利用一元二次方程根的性质得到等量关系，结合作差法比较代数式大小的思路求解，解题时注意整式展开和代入化简的准确性，掌握基础方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
