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1. 下列方程中是一元二次方程的是 （
A.$x+\frac{1}{x}=1$
B.$2x+1=0$
C.$y^2 + x =1$
D.$x^2 +1=0$
D
）A.$x+\frac{1}{x}=1$
B.$2x+1=0$
C.$y^2 + x =1$
D.$x^2 +1=0$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断哪个是一元二次方程，首先要明确一元二次方程的3个核心判定条件：①是整式方程（分母、根号中不含未知数）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0。接下来我们用这三个条件逐一排查每个选项，不符合的直接排除，最终就能选出正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，需同时满足上述三个判定条件：
选项A：$x+\frac{1}{x}=1$的分母含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
选项B：$2x+1=0$中未知数x的最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求，排除；
选项C：$y^2 + x =1$中含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合要求，排除；
选项D：$x^2 +1=0$是整式方程，仅含未知数x，且x的最高次数为2，满足一元二次方程的所有判定条件，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的概念、整式方程的识别
【点评】
本题是基础概念类题型，核心考查对一元二次方程判定标准的理解，只要牢记三个判定条件逐一核对选项，就能轻松选出正确答案，是方程分类相关考点的典型入门题。
【难度系数】
0.9
要判断哪个是一元二次方程，首先要明确一元二次方程的3个核心判定条件：①是整式方程（分母、根号中不含未知数）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0。接下来我们用这三个条件逐一排查每个选项，不符合的直接排除，最终就能选出正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，需同时满足上述三个判定条件：
选项A：$x+\frac{1}{x}=1$的分母含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
选项B：$2x+1=0$中未知数x的最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求，排除；
选项C：$y^2 + x =1$中含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合要求，排除；
选项D：$x^2 +1=0$是整式方程，仅含未知数x，且x的最高次数为2，满足一元二次方程的所有判定条件，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的概念、整式方程的识别
【点评】
本题是基础概念类题型，核心考查对一元二次方程判定标准的理解，只要牢记三个判定条件逐一核对选项，就能轻松选出正确答案，是方程分类相关考点的典型入门题。
【难度系数】
0.9
2. 若关于$x$的方程$(m+1)x^2 -3x +2=0$是一元二次方程，则（
A.$m＞-1$
B.$m≠0$
C.$m≥0$
D.$m≠-1$
D
）A.$m＞-1$
B.$m≠0$
C.$m≥0$
D.$m≠-1$
答案
2. D
解析
【分析】
要判断方程是一元二次方程，需结合一元二次方程的定义思考：一元二次方程需满足3个条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。本题给出的方程已经满足前两个条件，且x的最高次数为2，因此只需保证二次项系数不为0即可求解m的取值范围。
【解析】
根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0。
本题中方程的二次项系数为$m+1$，因此有：
$m+1≠0$
解得$m≠-1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是对一元二次方程概念的基础考查，解题的关键是牢记一元二次方程中二次项系数不为0这一隐含限制条件，避免遗漏该条件导致错选。
【难度系数】
0.9
要判断方程是一元二次方程，需结合一元二次方程的定义思考：一元二次方程需满足3个条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。本题给出的方程已经满足前两个条件，且x的最高次数为2，因此只需保证二次项系数不为0即可求解m的取值范围。
【解析】
根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0。
本题中方程的二次项系数为$m+1$，因此有：
$m+1≠0$
解得$m≠-1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是对一元二次方程概念的基础考查，解题的关键是牢记一元二次方程中二次项系数不为0这一隐含限制条件，避免遗漏该条件导致错选。
【难度系数】
0.9
3. 方程$5x^2 -1=4x$的二次项系数和一次项系数分别为 （
A.5和4
B.5和－4
C.5和－1
D.5和1
B
）A.5和4
B.5和－4
C.5和－1
D.5和1
答案
3. B
解析
【分析】
要确定一元二次方程的二次项系数和一次项系数，首先需要把方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，整理时注意移项要变号，系数要连同前面的符号一起判断。
【解析】
首先将原方程$5x^2 -1=4x$移项，把所有项移到等号左侧，使等号右侧为0，整理为一元二次方程的一般形式：
$5x^2 -4x -1=0$
其中二次项为$5x^2$，对应的系数是5；一次项为$-4x$，对应的系数是$-4$，因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对一元二次方程一般形式的理解，易错点是移项时未改变符号，误将一次项系数判断为4，做题时需先将方程化为右侧为0的标准形式，再对应找各项系数，注意系数要包含前面的符号。
【难度系数】
0.7
要确定一元二次方程的二次项系数和一次项系数，首先需要把方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，整理时注意移项要变号，系数要连同前面的符号一起判断。
【解析】
首先将原方程$5x^2 -1=4x$移项，把所有项移到等号左侧，使等号右侧为0，整理为一元二次方程的一般形式：
$5x^2 -4x -1=0$
其中二次项为$5x^2$，对应的系数是5；一次项为$-4x$，对应的系数是$-4$，因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对一元二次方程一般形式的理解，易错点是移项时未改变符号，误将一次项系数判断为4，做题时需先将方程化为右侧为0的标准形式，再对应找各项系数，注意系数要包含前面的符号。
【难度系数】
0.7
4. 关于x的一元二次方程$x^2 + x + a - 4 = 0$的一个根是0，则a的值是（
A.0
B.4
C.-4
D.4或-4
B
）A.0
B.4
C.-4
D.4或-4
答案
4. B
解析
【分析】
解题时可根据方程根的定义思考：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此已知方程的一个根为0，只需将x=0代入原方程，即可得到只含有参数a的一元一次方程，解该方程就能求出a的值；本题中原方程的二次项系数为1，天然满足一元二次方程二次项系数不为0的要求，无需额外验证。
【解析】
∵x=0是一元二次方程$x^2 + x + a - 4 = 0$的根，
∴将x=0代入方程，等式成立，即：
$0^2 + 0 + a - 4 = 0$
化简得：$a - 4 = 0$
解得：$a = 4$
经检验，当a=4时，原方程为$x^2 + x = 0$，符合一元二次方程的定义，故a的值为4。
【答案】
B
【知识点】
1. 方程的根的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对方程根的定义的应用，解题关键是将已知根代入原方程，把求参数的问题转化为解一元一次方程的问题，计算量小，只要掌握根的定义就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
解题时可根据方程根的定义思考：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此已知方程的一个根为0，只需将x=0代入原方程，即可得到只含有参数a的一元一次方程，解该方程就能求出a的值；本题中原方程的二次项系数为1，天然满足一元二次方程二次项系数不为0的要求，无需额外验证。
【解析】
∵x=0是一元二次方程$x^2 + x + a - 4 = 0$的根，
∴将x=0代入方程，等式成立，即：
$0^2 + 0 + a - 4 = 0$
化简得：$a - 4 = 0$
解得：$a = 4$
经检验，当a=4时，原方程为$x^2 + x = 0$，符合一元二次方程的定义，故a的值为4。
【答案】
B
【知识点】
1. 方程的根的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对方程根的定义的应用，解题关键是将已知根代入原方程，把求参数的问题转化为解一元一次方程的问题，计算量小，只要掌握根的定义就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
5. 关于$x$的一元二次方程$(m-3)x^2 + m^2x = 9x +5$化为一般形式后不含一次项，则$m$的值为（
A.0
B.$\pm3$
C.3
D.$-3$
D
）A.0
B.$\pm3$
C.3
D.$-3$
答案
5. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的相关要求：一是一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），二是不含一次项意味着一次项系数为0，同时要注意二次项系数不能为0（否则就不是一元二次方程了）。解题步骤为：①先将给定方程化为一元二次方程的一般形式，合并同类项确定各项系数；②根据“不含一次项”列等式求m的可能值；③结合二次项系数不为0的条件筛选出最终的m值。
【解析】
首先将原方程移项，整理为一般形式：
$(m-3)x^2 + m^2x - 9x -5 = 0$
合并同类项得：
$(m-3)x^2 + (m^2 - 9)x - 5 = 0$
∵ 该方程是一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即：
$m-3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$
又
∵ 方程不含一次项，
∴ 一次项系数为0，即：
$m^2 - 9 = 0$，解得$m = 3$或$m = -3$
结合$m ≠ 3$的条件，得$m = -3$
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的一般形式
3. 合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，直接根据一次项系数为0选$\pm3$，解题时要注意同时满足所有约束条件。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的相关要求：一是一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），二是不含一次项意味着一次项系数为0，同时要注意二次项系数不能为0（否则就不是一元二次方程了）。解题步骤为：①先将给定方程化为一元二次方程的一般形式，合并同类项确定各项系数；②根据“不含一次项”列等式求m的可能值；③结合二次项系数不为0的条件筛选出最终的m值。
【解析】
首先将原方程移项，整理为一般形式：
$(m-3)x^2 + m^2x - 9x -5 = 0$
合并同类项得：
$(m-3)x^2 + (m^2 - 9)x - 5 = 0$
∵ 该方程是一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即：
$m-3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$
又
∵ 方程不含一次项，
∴ 一次项系数为0，即：
$m^2 - 9 = 0$，解得$m = 3$或$m = -3$
结合$m ≠ 3$的条件，得$m = -3$
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的一般形式
3. 合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，直接根据一次项系数为0选$\pm3$，解题时要注意同时满足所有约束条件。
【难度系数】
0.6
6. 方程$x^2 - 2(3x - 2) + (x + 1) = 0$的一般形式是 （
A.$x^2 -5x +5=0$
B.$x^2 +5x +5=0$
C.$x^2 +5x -5=0$
D.$x^2 +5=0$
A
）A.$x^2 -5x +5=0$
B.$x^2 +5x +5=0$
C.$x^2 +5x -5=0$
D.$x^2 +5=0$
答案
6. A
解析
【分析】要得到一元二次方程的一般形式，首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a$、$b$、$c$为常数）。解题时先对原方程去括号，再合并同类项，将方程整理为左边按$x$的降幂排列、右边为0的形式，再对应选项判断即可。注意去括号时若括号前是负号，括号内各项要变号，合并同类项时要准确计算同类项的系数和。
【解析】对原方程逐步化简：
1. 去括号：
将$x^2 - 2(3x - 2) + (x + 1) = 0$去括号，可得：
$x^2 - 6x + 4 + x + 1 = 0$
2. 合并同类项：
分别合并二次项、一次项、常数项：
$x^2 + (-6x + x) + (4 + 1) = 0$
计算后得：$x^2 -5x +5 = 0$
该结果与A选项一致。
【答案】A
【知识点】一元二次方程的一般形式；整式化简
【点评】本题属于基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的化简，易错点是去括号时符号处理错误，计算时细心即可得分。
【难度系数】0.9
【解析】对原方程逐步化简：
1. 去括号：
将$x^2 - 2(3x - 2) + (x + 1) = 0$去括号，可得：
$x^2 - 6x + 4 + x + 1 = 0$
2. 合并同类项：
分别合并二次项、一次项、常数项：
$x^2 + (-6x + x) + (4 + 1) = 0$
计算后得：$x^2 -5x +5 = 0$
该结果与A选项一致。
【答案】A
【知识点】一元二次方程的一般形式；整式化简
【点评】本题属于基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的化简，易错点是去括号时符号处理错误，计算时细心即可得分。
【难度系数】0.9
7. “指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态. 如图是在一幅长80 cm，宽60 cm的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是6 300 cm². 设边框的宽度为x cm，则列出的方程为 （
A.$(60+x)(80+x)=6\ 300$
B.$(60-x)(80-x)=6\ 300$
C.$(60+2x)(80+2x)=6\ 300$
D.$(60-2x)(80-2x)=6\ 300$
C
）A.$(60+x)(80+x)=6\ 300$
B.$(60-x)(80-x)=6\ 300$
C.$(60+2x)(80+2x)=6\ 300$
D.$(60-2x)(80-2x)=6\ 300$
答案
7. C
解析
【分析】
解题时首先明确等量关系：矩形挂图的面积=长×宽。接下来分析镶嵌边框后挂图的长和宽：由于边框在刺绣四周，宽度均为x cm，因此长的方向左右各增加x cm，总长度为原刺绣长加2x；宽的方向上下各增加x cm，总宽度为原刺绣宽加2x。最后代入面积公式即可列出对应方程。
【解析】
设边框的宽度为x cm，
∵ 边框在刺绣四周，
∴ 镶嵌后整个挂图的长为$(80 + 2x)$ cm，宽为$(60 + 2x)$ cm，
根据矩形面积公式：面积=长×宽，已知整个挂图面积为$6300\ \mathrm{cm}^2$，
可列方程：$\boldsymbol{(60 + 2x)(80 + 2x) = 6300}$，
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、列方程建模
【点评】
本题结合非遗文化背景考查实际问题的方程列写，易错点是易忽略边框在两侧同时存在，误将长和宽仅加x，解题时需结合实际图形准确判断边长变化。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确等量关系：矩形挂图的面积=长×宽。接下来分析镶嵌边框后挂图的长和宽：由于边框在刺绣四周，宽度均为x cm，因此长的方向左右各增加x cm，总长度为原刺绣长加2x；宽的方向上下各增加x cm，总宽度为原刺绣宽加2x。最后代入面积公式即可列出对应方程。
【解析】
设边框的宽度为x cm，
∵ 边框在刺绣四周，
∴ 镶嵌后整个挂图的长为$(80 + 2x)$ cm，宽为$(60 + 2x)$ cm，
根据矩形面积公式：面积=长×宽，已知整个挂图面积为$6300\ \mathrm{cm}^2$，
可列方程：$\boldsymbol{(60 + 2x)(80 + 2x) = 6300}$，
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、列方程建模
【点评】
本题结合非遗文化背景考查实际问题的方程列写，易错点是易忽略边框在两侧同时存在，误将长和宽仅加x，解题时需结合实际图形准确判断边长变化。
【难度系数】
0.8
8. 某工厂要建一个面积为$130\ \mathrm{m}^2$的仓库，仓库的一边靠墙（墙长为$16\ \mathrm{m}$），并在与墙平行的一边开一道$1\ \mathrm{m}$宽的门，现有能围成$32\ \mathrm{m}$的木板，求仓库的长与宽。若设垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，则列出的方程为 （
A.$x(32-2x+1)=130$
B.$\dfrac{32-2x+1}{2}x=130$
C.$x(32-2x-1)=130$
D.$\dfrac{32-2x-1}{2}x=130$
A
）A.$x(32-2x+1)=130$
B.$\dfrac{32-2x+1}{2}x=130$
C.$x(32-2x-1)=130$
D.$\dfrac{32-2x-1}{2}x=130$
答案
8. A
解析
【分析】
解题时先明确各边与木板长度的关系：首先垂直于墙的边有2条，每条长x m，因此这两条边共消耗木板2x m。剩余木板都用于搭建与墙平行的边，由于该边有1m宽的门不需要木板，因此平行边的实际长度 = 剩余木板长度 + 门的宽度。再根据“矩形面积=长×宽”的公式，代入各量即可列出方程。
【解析】
设垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$：
1. 两条垂直于墙的边共用木板长度：$2x\ \mathrm{m}$
2. 用于与墙平行的边的木板长度为：$32 - 2x\ \mathrm{m}$，由于该边有1m宽的门不需要木板，因此平行边的实际长度为$(32 - 2x + 1)\ \mathrm{m}$
3. 根据仓库面积为$130\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(32 - 2x + 1) = 130$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题等量关系
【点评】
本题是列方程解实际问题的常见题型，易错点是容易错误处理门的宽度，误将平行边长度算成$32-2x-1$，解题时要结合实际场景，理清材料长度和实际边长的差异。
【难度系数】
0.7
解题时先明确各边与木板长度的关系：首先垂直于墙的边有2条，每条长x m，因此这两条边共消耗木板2x m。剩余木板都用于搭建与墙平行的边，由于该边有1m宽的门不需要木板，因此平行边的实际长度 = 剩余木板长度 + 门的宽度。再根据“矩形面积=长×宽”的公式，代入各量即可列出方程。
【解析】
设垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$：
1. 两条垂直于墙的边共用木板长度：$2x\ \mathrm{m}$
2. 用于与墙平行的边的木板长度为：$32 - 2x\ \mathrm{m}$，由于该边有1m宽的门不需要木板，因此平行边的实际长度为$(32 - 2x + 1)\ \mathrm{m}$
3. 根据仓库面积为$130\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(32 - 2x + 1) = 130$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题等量关系
【点评】
本题是列方程解实际问题的常见题型，易错点是容易错误处理门的宽度，误将平行边长度算成$32-2x-1$，解题时要结合实际场景，理清材料长度和实际边长的差异。
【难度系数】
0.7
9.(2025·绵阳)若关于$x$的一元二次方程$x^2 -6x +a=0$的一个根为1，则$a$的值为
5
.答案
9. 5
解析
【分析】
解题的核心依据是一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。已知x=1是给定方程的根，我们只需将x=1代入原方程，即可将原方程转化为只含未知数a的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出a的值。
【解析】
解：
∵$x=1$是一元二次方程$x^2 -6x +a=0$的一个根
∴将$x=1$代入方程可得：
$1^2 - 6×1 + a = 0$
计算得：$1 - 6 + a = 0$
移项解得：$a = 5$
【答案】
5
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的定义的应用，计算量小，熟练掌握根的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题的核心依据是一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。已知x=1是给定方程的根，我们只需将x=1代入原方程，即可将原方程转化为只含未知数a的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出a的值。
【解析】
解：
∵$x=1$是一元二次方程$x^2 -6x +a=0$的一个根
∴将$x=1$代入方程可得：
$1^2 - 6×1 + a = 0$
计算得：$1 - 6 + a = 0$
移项解得：$a = 5$
【答案】
5
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的定义的应用，计算量小，熟练掌握根的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
10. 一元二次方程$3x(x-3)=2x^2+1$化为一般形式为
$x^2-9x-1=0$
.答案
10. $x^2-9x-1=0$
解析
【分析】
要得到一元二次方程的一般形式，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），解题步骤依次为：先利用单项式乘多项式法则去掉等号左边的括号，再通过移项把所有项移到等号左侧，最后合并同类项，整理为等号右侧为0、左侧按未知数降幂排列的形式即可。
【解析】
对原方程逐步化简：
1. 去括号：将等号左侧的$3x(x-3)$展开，得$3x^2 - 9x = 2x^2 + 1$
2. 移项：把等号右侧的所有项移到左侧，移项需变号，得$3x^2 - 9x - 2x^2 - 1 = 0$
3. 合并同类项：对同类项的系数进行运算，得$x^2 - 9x - 1 = 0$
【答案】
$x^2-9x-1=0$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；整式乘法运算；移项合并同类项
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的化简，解题时要注意移项时符号的变化，合并同类项时系数计算要准确，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.9
要得到一元二次方程的一般形式，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），解题步骤依次为：先利用单项式乘多项式法则去掉等号左边的括号，再通过移项把所有项移到等号左侧，最后合并同类项，整理为等号右侧为0、左侧按未知数降幂排列的形式即可。
【解析】
对原方程逐步化简：
1. 去括号：将等号左侧的$3x(x-3)$展开，得$3x^2 - 9x = 2x^2 + 1$
2. 移项：把等号右侧的所有项移到左侧，移项需变号，得$3x^2 - 9x - 2x^2 - 1 = 0$
3. 合并同类项：对同类项的系数进行运算，得$x^2 - 9x - 1 = 0$
【答案】
$x^2-9x-1=0$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；整式乘法运算；移项合并同类项
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的化简，解题时要注意移项时符号的变化，合并同类项时系数计算要准确，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.9
