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9. 如图4,四边形ABCD中,AB=3 cm,BC=4 cm,CD=12 cm,DA=13 cm,且∠ABC=90°,则四边形ABCD的面积是 （
A.84 cm²
B.36 cm²
C.25.5 cm²
D.无法确定
B
）A.84 cm²
B.36 cm²
C.25.5 cm²
D.无法确定
答案
9.B
解析
【分析】
解题思路为：首先作辅助线连接AC，已知∠ABC=90°且AB、BC长度已知，可先用勾股定理求出AC的长度；再对△ACD的三边进行计算，通过勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形；最后将不规则四边形ABCD的面积拆分为两个直角三角形的面积之和，分别计算两个三角形的面积后相加，即可得到四边形的面积。
【解析】
1. 连接AC：
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，根据勾股定理可得：
$AC^2=AB^2+BC^2=3^2+4^2=25$，因此$AC=5cm$（边长为正数）。
2. 判断△ACD的形状：
已知CD=12cm，DA=13cm，计算可得$AC^2+CD^2=5^2+12^2=25+144=169$，而$DA^2=13^2=169$，即$AC^2+CD^2=DA^2$，根据勾股定理的逆定理可知∠ACD=90°，△ACD为直角三角形。
3. 计算四边形面积：
四边形ABCD的面积等于两个直角三角形面积之和，即：
$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×3×4=6cm^2$
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× CD=\frac{1}{2}×5×12=30cm^2$
因此$S_{四边形ABCD}=6+30=36cm^2$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题核心是将不规则四边形通过作辅助线转化为两个规则的直角三角形求解，需要熟练掌握勾股定理计算边长、勾股定理逆定理判定直角三角形的方法，解题的关键是合理作出辅助线，掌握割补法求不规则图形面积的思路。
【难度系数】
0.7
解题思路为：首先作辅助线连接AC，已知∠ABC=90°且AB、BC长度已知，可先用勾股定理求出AC的长度；再对△ACD的三边进行计算，通过勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形；最后将不规则四边形ABCD的面积拆分为两个直角三角形的面积之和，分别计算两个三角形的面积后相加，即可得到四边形的面积。
【解析】
1. 连接AC：
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，根据勾股定理可得：
$AC^2=AB^2+BC^2=3^2+4^2=25$，因此$AC=5cm$（边长为正数）。
2. 判断△ACD的形状：
已知CD=12cm，DA=13cm，计算可得$AC^2+CD^2=5^2+12^2=25+144=169$，而$DA^2=13^2=169$，即$AC^2+CD^2=DA^2$，根据勾股定理的逆定理可知∠ACD=90°，△ACD为直角三角形。
3. 计算四边形面积：
四边形ABCD的面积等于两个直角三角形面积之和，即：
$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×3×4=6cm^2$
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× CD=\frac{1}{2}×5×12=30cm^2$
因此$S_{四边形ABCD}=6+30=36cm^2$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题核心是将不规则四边形通过作辅助线转化为两个规则的直角三角形求解，需要熟练掌握勾股定理计算边长、勾股定理逆定理判定直角三角形的方法，解题的关键是合理作出辅助线，掌握割补法求不规则图形面积的思路。
【难度系数】
0.7
10.如图5,正方形A的面积是144,正方形B的面积是169,则正方形C的边长是
5
.答案
10.5
解析
【分析】
观察图形可知，三个正方形的边长对应中间直角三角形的三条边：正方形B的边长是直角三角形的斜边，正方形A和C的边长是直角三角形的两条直角边。解题时先利用正方形面积与边长的平方相等的性质，得到直角三角形三边的平方值，再结合勾股定理求出正方形C的面积，最后对面积开算术平方根即可得到C的边长。
【解析】
设正方形A、B、C的边长分别为$a$、$b$、$c$。
根据正方形面积等于边长的平方，可得：
$a^2=S_A=144$，$b^2=S_B=169$
因为中间的三角形是直角三角形，由勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）可得：
$a^2 + c^2 = b^2$
代入数值计算正方形C的面积：
$c^2 = b^2 - a^2 = 169 - 144 = 25$
由于正方形边长为正数，因此$c=\sqrt{25}=5$
【答案】
5
【知识点】
勾股定理、正方形的性质
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题核心是建立正方形边长与直角三角形三边的对应关系，结合正方形面积的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
观察图形可知，三个正方形的边长对应中间直角三角形的三条边：正方形B的边长是直角三角形的斜边，正方形A和C的边长是直角三角形的两条直角边。解题时先利用正方形面积与边长的平方相等的性质，得到直角三角形三边的平方值，再结合勾股定理求出正方形C的面积，最后对面积开算术平方根即可得到C的边长。
【解析】
设正方形A、B、C的边长分别为$a$、$b$、$c$。
根据正方形面积等于边长的平方，可得：
$a^2=S_A=144$，$b^2=S_B=169$
因为中间的三角形是直角三角形，由勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）可得：
$a^2 + c^2 = b^2$
代入数值计算正方形C的面积：
$c^2 = b^2 - a^2 = 169 - 144 = 25$
由于正方形边长为正数，因此$c=\sqrt{25}=5$
【答案】
5
【知识点】
勾股定理、正方形的性质
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题核心是建立正方形边长与直角三角形三边的对应关系，结合正方形面积的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11. 如图6是一张直角三角形纸片，$∠ C=90°$，BC,AC的长分别为3 cm,4 cm.现要给它再拼接一张直角三角形纸片，两张纸片不重叠且无缝隙，使拼成的图形是等腰三角形，求拼接成的等腰三角形的周长.
答案
11.16 cm或18 cm
解析
【分析】
首先利用勾股定理计算出原直角三角形斜边AB的长度，要拼接成符合要求的等腰三角形，需结合等腰三角形“两腰相等”的性质分类讨论：第一种是以AB为等腰三角形的腰，延长BC边拼接全等直角三角形得到等腰三角形；第二种是以AB为等腰三角形的腰，延长AC边拼接全等直角三角形得到等腰三角形，分别计算两种情况的周长即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4\mathrm{cm}$，$BC=3\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
1. 延长$BC$至点$D$，使$CD=BC=3\mathrm{cm}$，连接$AD$。此时$AC$垂直平分$BD$，根据垂直平分线的性质得$AD=AB=5\mathrm{cm}$，拼成的等腰$△ ABD$的三边长为$AB=5\mathrm{cm}$，$AD=5\mathrm{cm}$，$BD=BC+CD=6\mathrm{cm}$，周长为$5+5+6=16\mathrm{cm}$。
2. 延长$AC$至点$D$，使$CD=AC=4\mathrm{cm}$，连接$BD$。此时$BC$垂直平分$AD$，根据垂直平分线的性质得$BD=AB=5\mathrm{cm}$，拼成的等腰$△ ABD$的三边长为$AB=5\mathrm{cm}$，$BD=5\mathrm{cm}$，$AD=AC+CD=8\mathrm{cm}$，周长为$5+5+8=18\mathrm{cm}$。
【答案】
16 cm或18 cm
【知识点】
勾股定理，等腰三角形的性质，图形拼接
【点评】
本题需要结合等腰三角形的性质进行分类讨论，解题时要注意不要漏解，同时要符合拼接时无重叠、无缝隙的要求，是几何基础综合题。
【难度系数】
0.6
首先利用勾股定理计算出原直角三角形斜边AB的长度，要拼接成符合要求的等腰三角形，需结合等腰三角形“两腰相等”的性质分类讨论：第一种是以AB为等腰三角形的腰，延长BC边拼接全等直角三角形得到等腰三角形；第二种是以AB为等腰三角形的腰，延长AC边拼接全等直角三角形得到等腰三角形，分别计算两种情况的周长即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4\mathrm{cm}$，$BC=3\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
1. 延长$BC$至点$D$，使$CD=BC=3\mathrm{cm}$，连接$AD$。此时$AC$垂直平分$BD$，根据垂直平分线的性质得$AD=AB=5\mathrm{cm}$，拼成的等腰$△ ABD$的三边长为$AB=5\mathrm{cm}$，$AD=5\mathrm{cm}$，$BD=BC+CD=6\mathrm{cm}$，周长为$5+5+6=16\mathrm{cm}$。
2. 延长$AC$至点$D$，使$CD=AC=4\mathrm{cm}$，连接$BD$。此时$BC$垂直平分$AD$，根据垂直平分线的性质得$BD=AB=5\mathrm{cm}$，拼成的等腰$△ ABD$的三边长为$AB=5\mathrm{cm}$，$BD=5\mathrm{cm}$，$AD=AC+CD=8\mathrm{cm}$，周长为$5+5+8=18\mathrm{cm}$。
【答案】
16 cm或18 cm
【知识点】
勾股定理，等腰三角形的性质，图形拼接
【点评】
本题需要结合等腰三角形的性质进行分类讨论，解题时要注意不要漏解，同时要符合拼接时无重叠、无缝隙的要求，是几何基础综合题。
【难度系数】
0.6
12.如图7,某海滨浴场岸边A处救生员发现海中B处有人求救,救生员没有直接从A处游向B处,而是沿岸边自A处跑到离B处最近的C处,然后从C处游向B处.若救生员在岸边的行进速度是6 m/s,在海中的行进速度为2 m/s,请分析救生员的做法是否正确.（参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41$）
答案
12.正确
解析
【分析】
要判断救生员的做法是否正确，只需比较两种救援方式的用时：一种是直接从A游到B的用时，另一种是先沿岸边从A跑到C再从C游到B的用时，用时更短的方案更优。首先结合等腰直角三角形的性质求出AC、AB的长度，再根据“时间=路程÷速度”分别计算两种方案的时间，最后比较时间大小即可得出结论。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，
∴∠B=∠A=45°，
∴AC=BC=300m。
根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{300^2+300^2}=300\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
方案1：直接从A游向B的时间
$t_1=\frac{AB}{2}=\frac{300\sqrt{2}}{2}=150\sqrt{2}\approx150×1.41=211.5\ \mathrm{s}$。
方案2：先从A跑到C，再从C游向B的总时间
$t_2=\frac{AC}{6}+\frac{BC}{2}=\frac{300}{6}+\frac{300}{2}=50+150=200\ \mathrm{s}$。
∵200 ＜ 211.5，即$t_2 ＜ t_1$，
∴救生员选择的方案用时更短，做法正确。
【答案】
正确
【知识点】
等腰直角三角形性质；勾股定理；行程问题公式
【点评】
本题结合生活救援场景，将几何计算与行程问题相结合，解题的核心是将实际问题转化为数学计算问题，通过对比两种方案的时间判断合理性，考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要判断救生员的做法是否正确，只需比较两种救援方式的用时：一种是直接从A游到B的用时，另一种是先沿岸边从A跑到C再从C游到B的用时，用时更短的方案更优。首先结合等腰直角三角形的性质求出AC、AB的长度，再根据“时间=路程÷速度”分别计算两种方案的时间，最后比较时间大小即可得出结论。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，
∴∠B=∠A=45°，
∴AC=BC=300m。
根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{300^2+300^2}=300\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
方案1：直接从A游向B的时间
$t_1=\frac{AB}{2}=\frac{300\sqrt{2}}{2}=150\sqrt{2}\approx150×1.41=211.5\ \mathrm{s}$。
方案2：先从A跑到C，再从C游向B的总时间
$t_2=\frac{AC}{6}+\frac{BC}{2}=\frac{300}{6}+\frac{300}{2}=50+150=200\ \mathrm{s}$。
∵200 ＜ 211.5，即$t_2 ＜ t_1$，
∴救生员选择的方案用时更短，做法正确。
【答案】
正确
【知识点】
等腰直角三角形性质；勾股定理；行程问题公式
【点评】
本题结合生活救援场景，将几何计算与行程问题相结合，解题的核心是将实际问题转化为数学计算问题，通过对比两种方案的时间判断合理性，考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
13.如图8,某台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动,已知点C为一海港,且点C与直线AB上的两点A,B的距离分别为AC=300 km,BC=400 km,又AB=500 km. 经测量,距离台风中心260 km及以内的地区会受到影响.
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为25 km/h,求海港C受台风影响的时长.
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为25 km/h,求海港C受台风影响的时长.
答案
13. (1)受影响,理由略.
(2)8 h
(2)8 h
解析
【分析】
(1)要判断海港C是否受台风影响，核心是比较点C到直线AB的最短距离（垂线段长度）和影响半径260km的大小：若最短距离≤260km则受影响，否则不受。首先根据AC、BC、AB的长度，用勾股定理逆定理可判断△ABC是直角三角形，再用面积法即可求出C到AB的垂线段长度。
(2)求海港C受影响的时长，需先求出台风中心在AB上移动时，到C的距离≤260km的路径长度：先找到AB上到C距离等于260km的两个临界点，用勾股定理求出两个临界点之间的距离，再结合速度公式“时间=路程÷速度”即可求出影响时长。
【解析】
(1) 过点C作CD⊥AB于点D，
∵ AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴ $AC^2+BC^2=300^2+400^2=90000+160000=250000$，$AB^2=500^2=250000$，
∴ $AC^2+BC^2=AB^2$，即△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
根据三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，
代入数据得：$\frac{1}{2}×300×400=\frac{1}{2}×500× CD$，
解得$CD=240\mathrm{km}$。
∵ $240\mathrm{km}＜260\mathrm{km}$，
∴ 海港C受台风影响。
(2) 设台风中心移动到点E时刚好开始影响C，移动到点F时影响刚好结束，此时$CE=CF=260\mathrm{km}$。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，由勾股定理得：
$DE^2=CE^2-CD^2=260^2-240^2=(260-240)×(260+240)=20×500=10000$，
∴ $DE=100\mathrm{km}$，同理可得$DF=100\mathrm{km}$，
∴ 台风影响C时移动的路程$EF=DE+DF=100+100=200\mathrm{km}$。
已知台风移动速度为$25\mathrm{km/h}$，
∴ 影响时长$t=200÷25=8(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) 海港C受台风影响，理由见解析；
(2) 8 h
【知识点】
勾股定理及逆定理，点到直线的距离，行程公式
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的计算问题，通过作垂线构造直角三角形，结合勾股定理求解，注重考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
(1)要判断海港C是否受台风影响，核心是比较点C到直线AB的最短距离（垂线段长度）和影响半径260km的大小：若最短距离≤260km则受影响，否则不受。首先根据AC、BC、AB的长度，用勾股定理逆定理可判断△ABC是直角三角形，再用面积法即可求出C到AB的垂线段长度。
(2)求海港C受影响的时长，需先求出台风中心在AB上移动时，到C的距离≤260km的路径长度：先找到AB上到C距离等于260km的两个临界点，用勾股定理求出两个临界点之间的距离，再结合速度公式“时间=路程÷速度”即可求出影响时长。
【解析】
(1) 过点C作CD⊥AB于点D，
∵ AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴ $AC^2+BC^2=300^2+400^2=90000+160000=250000$，$AB^2=500^2=250000$，
∴ $AC^2+BC^2=AB^2$，即△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
根据三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，
代入数据得：$\frac{1}{2}×300×400=\frac{1}{2}×500× CD$，
解得$CD=240\mathrm{km}$。
∵ $240\mathrm{km}＜260\mathrm{km}$，
∴ 海港C受台风影响。
(2) 设台风中心移动到点E时刚好开始影响C，移动到点F时影响刚好结束，此时$CE=CF=260\mathrm{km}$。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，由勾股定理得：
$DE^2=CE^2-CD^2=260^2-240^2=(260-240)×(260+240)=20×500=10000$，
∴ $DE=100\mathrm{km}$，同理可得$DF=100\mathrm{km}$，
∴ 台风影响C时移动的路程$EF=DE+DF=100+100=200\mathrm{km}$。
已知台风移动速度为$25\mathrm{km/h}$，
∴ 影响时长$t=200÷25=8(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) 海港C受台风影响，理由见解析；
(2) 8 h
【知识点】
勾股定理及逆定理，点到直线的距离，行程公式
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的计算问题，通过作垂线构造直角三角形，结合勾股定理求解，注重考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
