1. 下列以a,b,c为边的三角形中,不是直角三角形的是 （）

A.$a=1.5,b=2,c=3$
B.$a=7,b=24,c=25$
C.$a=6,b=8,c=10$
D.$a=3,b=4,c=5$

1.A

【分析】
本题考查直角三角形的判定，需运用勾股定理的逆定理解题。解题思路为：对每个选项的三条边，先确定最长边，再分别计算两条较短边的平方和、最长边的平方，若二者相等则对应的三角形是直角三角形，反之则不是，最终选出不是直角三角形的选项即可。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形的三边$a、b、c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形。我们逐个分析选项：
选项A：最长边为$c=3$，计算得$a^2+b^2=1.5^2+2^2=2.25+4=6.25$，$c^2=3^2=9$，$6.25≠9$，不满足勾股定理的逆定理，不是直角三角形；
选项B：最长边为$c=25$，计算得$a^2+b^2=7^2+24^2=49+576=625$，$c^2=25^2=625$，满足$a^2+b^2=c^2$，是直角三角形；
选项C：最长边为$c=10$，计算得$a^2+b^2=6^2+8^2=36+64=100$，$c^2=10^2=100$，满足$a^2+b^2=c^2$，是直角三角形；
选项D：最长边为$c=5$，计算得$a^2+b^2=3^2+4^2=9+16=25$，$c^2=5^2=25$，满足$a^2+b^2=c^2$，是直角三角形。
综上，不是直角三角形的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握勾股定理逆定理的使用方法，解题时注意先确定最长边，再进行平方的计算与比较，避免因找错最长边或计算失误丢分。
【难度系数】
0.9

2.下列各组数中,是勾股数的是 （）

A.0.3,0.4,0.5
B.$\frac{3}{5},\frac{4}{5},1$
C.4,5,6
D.8,15,17

2.D

【分析】
要判断一组数是不是勾股数，首先需明确勾股数的两个判定条件：第一，三个数都必须是正整数；第二，较小两个数的平方和等于最大数的平方。解题时可先依据第一个条件排除非正整数的选项，再对剩余选项验证是否满足勾股定理，即可快速得出结果。
【解析】
勾股数的定义为：可以构成直角三角形三边长的一组正整数，需同时满足两个要求：①三个数均为正整数；②两较短边的平方和等于最长边的平方。
对各选项逐一分析：
A. 0.3、0.4、0.5均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义，排除；
B. $\frac{3}{5}$、$\frac{4}{5}$均为分数，不是正整数，不符合勾股数定义，排除；
C. 4、5、6均为正整数，计算得$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不满足勾股定理，排除；
D. 8、15、17均为正整数，计算得$8^2+15^2=64+225=289$，$17^2=289$，即$8^2+15^2=17^2$，符合勾股数的全部要求。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义、勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股数判定的基础题，易错点是容易忽略勾股数必须为正整数的前提，只验证平方和是否相等而错选A、B选项，解题时先判定数的类型再验证勾股关系，可提升解题准确率和效率。
【难度系数】
0.8

3.如图1,明明早晨去散步,从A到B走了41米,从B到C走了40米,从C到A走了9米,则∠A+∠B的度数是

3.90°

【分析】
本题给出了三角形ABC的三边长度，要求∠A与∠B的和，解题思路如下：首先先确定三边的大小关系，找到最长边，再通过计算两条短边的平方和与最长边的平方，验证是否满足勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形；若为直角三角形，确定直角的位置，最后结合三角形内角和为180°，即可求出两个锐角的和。
【解析】
解：由题意可知，△ABC的三边长分别为：AC=9米，BC=40米，AB=41米。
先计算两条短边的平方和：
$AC^2 + BC^2 = 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$
再计算最长边AB的平方：
$AB^2 = 41^2 = 1681$
因此$AC^2 + BC^2 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且最长边AB对应的角∠C=90°。
根据三角形内角和为180°，可得：
∠A + ∠B = 180° - ∠C = 180° - 90° = 90°
【答案】
90°
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，核心是利用三边长度关系判断三角形形状，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键，计算量较小，思路直接。
【难度系数】
0.8

4.若一个直角三角尺的两直角边长分别为12 cm和5 cm，不移动三角尺，能画出的最长线段是 cm.

4.13

【分析】
要解决这道题，首先明确不移动三角尺时，能画出的最长线段就是该直角三角尺对应的直角三角形的最长边。而直角三角形中斜边是最长的边，因此我们只需要用勾股定理计算出斜边的长度，就能得到答案。勾股定理指的是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，已知两条直角边的长度，直接代入公式计算即可。
【解析】
已知直角三角尺的两直角边长分别为12 cm和5 cm，直角三角形中斜边为最长边。
根据勾股定理，斜边长$c=\sqrt{a^2+b^2}$，将$a=12$、$b=5$代入公式：
$c=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\,\mathrm{cm}$
因此不移动三角尺能画出的最长线段长度为13 cm。
【答案】
13
【知识点】
勾股定理；直角三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题，解题核心是先明确直角三角形中斜边最长的性质，再结合勾股定理计算即可，主要考查基础知识点的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.9

5.若一个直角三角形的三边长为连续整数，则它的各边长分别为.

5.3,4,5

【分析】
解答本题首先要明确直角三角形的三边满足勾股定理，结合三边长为连续整数的条件，因为直角三角形中斜边最长，因此可设最短的直角边长为正整数n，则另外两边长依次为n+1、n+2，其中n+2为斜边长，再代入勾股定理列方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可得到三边长。
【解析】
设这个直角三角形的三边长分别为n，n+1，n+2（n为正整数），
∵直角三角形中斜边为最长边，
∴斜边长为n+2，两条直角边长为n和n+1，
根据勾股定理可得：$n^2 + (n+1)^2 = (n+2)^2$，
展开整理得：$n^2 - 2n - 3 = 0$，
因式分解得：$(n-3)(n+1)=0$，
解得：$n_1=3$，$n_2=-1$（边长不能为负，舍去），
∴$n+1=4$，$n+2=5$，
即该直角三角形的三边长分别为3,4,5。
【答案】
3,4,5
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题的关键是结合连续整数的特征合理设未知数，利用勾股定理建立方程，同时要注意结合实际意义对解进行取舍。
【难度系数】
0.8

6.一艘轮船以 30 km/h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以 16 km/h 的速度向东南方向航行.半小时后，它们相距 km.

6.17

【分析】
解题时首先根据方位角的特征判断两艘轮船的航行方向夹角：东北方向与东南方向的夹角为90°，因此两艘轮船的行驶路程和它们的距离刚好构成直角三角形，其中行驶路程为两条直角边，相距距离为斜边。接下来先根据“路程=速度×时间”分别算出两艘轮船半小时行驶的路程（即直角三角形的两条直角边长），最后用勾股定理计算斜边长度，就是两船的距离。
【解析】
解：1. 先计算两艘轮船半小时行驶的路程：
第一艘轮船的路程：$s_1 = v_1t = 30\mathrm{km/h} × 0.5\mathrm{h} = 15\mathrm{km}$
第二艘轮船的路程：$s_2 = v_2t = 16\mathrm{km/h} × 0.5\mathrm{h} = 8\mathrm{km}$
2. 由方位角可知，两艘轮船的航行方向夹角为90°，因此两船距离为直角三角形的斜边，根据勾股定理：
两船距离$s = \sqrt{s_1^2 + s_2^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\mathrm{km}$
【答案】
17
【知识点】
1.方位角识别
2.勾股定理应用
3.行程公式应用
【点评】
本题是结合生活实际的几何应用题，解题核心是先通过方位角确定直角三角形结构，再结合行程运算得到直角边长，最后用勾股定理求斜边，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

7.如图2，在△ABC中，$∠C=45°,AC=\sqrt{2},∠A=105°,$求△ABC的面积. 图2

7.$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

【分析】
要计算△ABC的面积，已知AC的长度和两个内角，首先利用三角形内角和求出第三个角∠B的度数，再通过作BC边上的高AD，将原三角形拆分为两个含特殊角的直角三角形，分别求出高AD和底BC的长度，最后代入三角形面积公式求解即可。
【解析】
解：过点A作$AD⊥ BC$，垂足为D。
1. 求$∠ B$的度数：
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ B=180°-∠ BAC-∠ C=180°-105°-45°=30°$。
2. 在$Rt△ ACD$中计算AD、CD的长度：
$\because ∠ C=45°$，$\therefore △ ACD$是等腰直角三角形，$AD=CD$。
由勾股定理得$AD^2+CD^2=AC^2$，代入$AC=\sqrt{2}$、$AD=CD$，得$2AD^2=(\sqrt{2})^2$，
解得$AD=CD=1$。
3. 在$Rt△ ABD$中计算BD的长度：
$\because ∠ B=30°$，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，
$\therefore AB=2AD=2$，
由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
4. 计算三角形面积：
$BC=CD+BD=1+\sqrt{3}$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×(1+\sqrt{3})×1=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
三角形内角和定理，特殊直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题的解题核心是通过作辅助线将非特殊三角形转化为两个含特殊角的直角三角形，结合勾股定理和特殊直角三角形的边角关系求出底和高，进而计算面积，解题时注意不要混淆不同特殊角对应的边的数量关系。
【难度系数】
0.6

8. 如图3，在$△ ABC$中，$CD⊥ AB$于点$D$，$AC=4$，$BC=3$，$DB=\frac{9}{5}$。
(1)求$CD$，$AD$的长度；
(2)判断$△ ABC$的形状，并说明理由。

8. (1)$CD=\frac{12}{5},AD=\frac{16}{5}$
(2)$△ ABC$为直角三角形，理由略.

【分析】
(1) 由CD⊥AB可知△CDB和△CDA均为直角三角形，已知Rt△CDB的两条边BC、BD的长度，可先利用勾股定理求出CD的长度；再将CD的长度代入Rt△CDA中，结合AC的长度，再次用勾股定理即可求出AD的长度。
(2) 要判断△ABC的形状，可先计算出AB的总长度（AB=AD+DB），再验证AC²、BC²的和是否等于AB²，若相等则可根据勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形。
【解析】
(1)
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB=∠CDA=90°，即△CDB、△CDA均为直角三角形。
① 在Rt△CDB中，BC=3，DB=$\frac{9}{5}$，根据勾股定理$CD^2 + BD^2 = BC^2$，则：
$CD=\sqrt{BC^2 - BD^2}=\sqrt{3^2 - (\frac{9}{5})^2}=\sqrt{9 - \frac{81}{25}}=\sqrt{\frac{144}{25}}=\frac{12}{5}$
② 在Rt△CDA中，AC=4，CD=$\frac{12}{5}$，根据勾股定理$AD^2 + CD^2 = AC^2$，则：
$AD=\sqrt{AC^2 - CD^2}=\sqrt{4^2 - (\frac{12}{5})^2}=\sqrt{16 - \frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{256}{25}}=\frac{16}{5}$
(2) △ABC是直角三角形，理由如下：
∵ AB = AD + DB = $\frac{16}{5} + \frac{9}{5} = 5$
∴ $AC^2 + BC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，$AB^2 = 5^2 = 25$
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$
根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
【答案】
(1) $CD=\frac{12}{5}$，$AD=\frac{16}{5}$
(2) △ABC为直角三角形
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形判定
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的基础应用题型，解题核心是抓住垂直条件构造直角三角形，通过勾股定理计算未知边长，再利用边长关系借助逆定理判定三角形形状，是几何部分的常见基础考题。
【难度系数】
0.8