12. 利用完全平方公式进行简便计算：
(1) $301^2$；
(2) $99.9^2$。

解：
(1) 原式$=(300+1)^2$
$=300^2 + 2×300×1 + 1^2$
$=90000 + 600 + 1$
$=90601$
(2) 原式$=(100-0.1)^2$
$=100^2 - 2×100×0.1 + 0.1^2$
$=10000 - 20 + 0.01$
$=9980.01$

13. 已知$x+\frac{1}{x}=3$，求下列各式的值：
(1)$(x-\frac{1}{x})^2$；
(2)$x^4+\frac{1}{x^4}$。

解：
(1) 已知$x+\frac{1}{x}=3$，两边同时平方得：
$(x+\frac{1}{x})^2 = 3^2$
由完全平方公式展开：
$x^2 + 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9$
化简得：
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2 =7$
又因为：
$(x-\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} -2$
将$x^2+\frac{1}{x^2}=7$代入，得：
$(x-\frac{1}{x})^2 =7-2=5$
(2) 将$x^2 + \frac{1}{x^2}=7$两边同时平方得：
$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 =7^2$
由完全平方公式展开：
$x^4 + 2· x^2· \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4} =49$
化简得：
$x^4 + \frac{1}{x^4} =49 -2 =47$
综上，(1)式的值为$\boldsymbol{5}$，(2)式的值为$\boldsymbol{47}$。

14.【背景】
对于两数和(差)的完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$中的三个代数式$a\pm b,a^2+b^2$和$ab$,若已知其中任意两个代数式的值,则可求第三个代数式的值。由此解决下列问题:
【应用】
(1)若$(a+b)^2=49,ab=6$,求$(a-b)^2$的值。
【迁移】
(2)如图,在长方形$ABCD$中,$AB=14,AD=10$,点$E,F$分别是边$AD,AB$上的点,且$DE=BF=a$,分别以$AE,AF$为边在长方形$ABCD$外侧作正方形$AEMN$和正方形$APQF$。若长方形$AFGE$的面积为$60$,求图中两个正方形的面积之和。

解：
(1) 由完全平方公式得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
将$(a+b)^2=49$，$ab=6$代入，得：
$a^2 + b^2 + 2×6=49$
解得$a^2+b^2=37$。
又$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，代入$a^2+b^2=37$，$ab=6$：
$(a-b)^2=37 - 2×6=25$。
(2) 由题意可知：
$AE=AD-DE=10-a$，$AF=AB-BF=14-a$，
两个正方形的面积之和为$AE^2+AF^2$。
已知长方形$AFGE$的面积为$AE· AF=60$，
且$AF-AE=(14-a)-(10-a)=4$。
由完全平方公式变形可得：
$AE^2+AF^2=(AF-AE)^2 + 2· AE· AF$
代入数值计算：
$AE^2+AF^2=4^2 + 2×60=16+120=136$。
答：图中两个正方形的面积之和为136。