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1.下列命题中,正确的是 （
A.四边相等的四边形是正方形
B.四角相等的四边形是正方形
C.对角线垂直的平行四边形是正方形
D.对角线相等的菱形是正方形
D
）A.四边相等的四边形是正方形
B.四角相等的四边形是正方形
C.对角线垂直的平行四边形是正方形
D.对角线相等的菱形是正方形
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查正方形的判定，解题思路是先明确正方形的判定核心：正方形需要同时具备菱形和矩形的全部特征，我们逐一分析每个选项，判断其描述的图形是否同时满足菱形、矩形的判定条件，即可选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 四边相等的四边形是菱形，若要判定为正方形，还需满足有一个内角是直角（或对角线相等）的条件，因此该命题错误；
B. 四边形内角和为360°，四个角相等则每个角都是90°，此时四边形是矩形，若要判定为正方形，还需满足邻边相等（或对角线互相垂直）的条件，因此该命题错误；
C. 对角线垂直的平行四边形是菱形，若要判定为正方形，还需满足有一个内角是直角（或对角线相等）的条件，因此该命题错误；
D. 菱形是特殊的平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，因此对角线相等的菱形同时具备菱形和矩形的特征，属于正方形，该命题正确。
【答案】
D
【知识点】
正方形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【点评】
本题重点考查不同特殊平行四边形的判定辨析，解题时要注意区分菱形、矩形、正方形的判定条件的异同点，避免混淆不同图形的判定规则。
【难度系数】
0.8
本题考查正方形的判定，解题思路是先明确正方形的判定核心：正方形需要同时具备菱形和矩形的全部特征，我们逐一分析每个选项，判断其描述的图形是否同时满足菱形、矩形的判定条件，即可选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 四边相等的四边形是菱形，若要判定为正方形，还需满足有一个内角是直角（或对角线相等）的条件，因此该命题错误；
B. 四边形内角和为360°，四个角相等则每个角都是90°，此时四边形是矩形，若要判定为正方形，还需满足邻边相等（或对角线互相垂直）的条件，因此该命题错误；
C. 对角线垂直的平行四边形是菱形，若要判定为正方形，还需满足有一个内角是直角（或对角线相等）的条件，因此该命题错误；
D. 菱形是特殊的平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，因此对角线相等的菱形同时具备菱形和矩形的特征，属于正方形，该命题正确。
【答案】
D
【知识点】
正方形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【点评】
本题重点考查不同特殊平行四边形的判定辨析，解题时要注意区分菱形、矩形、正方形的判定条件的异同点，避免混淆不同图形的判定规则。
【难度系数】
0.8
2.在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，能判定这个四边形是正方形的是 （
A.$AO=BO=CO=DO,AC⊥BD$
B.$AB// CD,AC=BD$
C.$AO=BO,∠BAD=∠BCD$
D.$AO=CO,BO=DO,AB=BC$
A
）A.$AO=BO=CO=DO,AC⊥BD$
B.$AB// CD,AC=BD$
C.$AO=BO,∠BAD=∠BCD$
D.$AO=CO,BO=DO,AB=BC$
答案
2.A
解析
【分析】
要判定四边形是正方形，需明确正方形的判定逻辑：正方形既是邻边相等的矩形，也是有一个内角为直角的菱形，也可通过“对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形”直接判定。解题时先逐一分析每个选项能推出的四边形类型，再筛选出符合正方形判定的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：由$AO=BO=CO=DO$可得，对角线互相平分（$AO=CO,BO=DO$）且相等（$AC=BD=2AO$），首先可判定该四边形是矩形；又已知$AC⊥BD$，对角线互相垂直的矩形是正方形，因此A符合要求。
选项B：$AB// CD,AC=BD$，该四边形可能是等腰梯形，也可能是矩形，无法判定为正方形，B错误。
选项C：仅$AO=BO$和$∠ BAD=∠ BCD$，无法证明四边形是平行四边形，更无法判定为正方形，C错误。
选项D：由$AO=CO,BO=DO$可判定四边形是平行四边形，再由$AB=BC$可判定为菱形，但菱形不一定是正方形，缺少“有直角或对角线相等”的条件，D错误。
【答案】
A
【知识点】
正方形的判定；特殊四边形的判定
【点评】
本题重点考查各类特殊四边形判定条件的区分，需要学生熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，尤其要注意不同特殊四边形对角线性质的差异，避免混淆判定条件。
【难度系数】
0.7
要判定四边形是正方形，需明确正方形的判定逻辑：正方形既是邻边相等的矩形，也是有一个内角为直角的菱形，也可通过“对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形”直接判定。解题时先逐一分析每个选项能推出的四边形类型，再筛选出符合正方形判定的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：由$AO=BO=CO=DO$可得，对角线互相平分（$AO=CO,BO=DO$）且相等（$AC=BD=2AO$），首先可判定该四边形是矩形；又已知$AC⊥BD$，对角线互相垂直的矩形是正方形，因此A符合要求。
选项B：$AB// CD,AC=BD$，该四边形可能是等腰梯形，也可能是矩形，无法判定为正方形，B错误。
选项C：仅$AO=BO$和$∠ BAD=∠ BCD$，无法证明四边形是平行四边形，更无法判定为正方形，C错误。
选项D：由$AO=CO,BO=DO$可判定四边形是平行四边形，再由$AB=BC$可判定为菱形，但菱形不一定是正方形，缺少“有直角或对角线相等”的条件，D错误。
【答案】
A
【知识点】
正方形的判定；特殊四边形的判定
【点评】
本题重点考查各类特殊四边形判定条件的区分，需要学生熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，尤其要注意不同特殊四边形对角线性质的差异，避免混淆判定条件。
【难度系数】
0.7
3.如图,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为
（
A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$2\sqrt{2}+1$
（
B
）A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$2\sqrt{2}+1$
答案
3.B
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步，根据正方形ABCD的面积为1，先求出正方形ABCD的边长；第二步，E、F分别是BC、CD的中点，可得Rt△ECF的两条直角边长度，结合勾股定理即可求出EF的长度；第三步，EF是正方形EFGH的边长，利用正方形周长公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ 正方形ABCD的面积为1，
∴ 正方形ABCD的边长$BC=CD=\sqrt{1}=1$，
∵ E是BC的中点，F是CD的中点，
∴ $EC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$，$FC=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}$，
在Rt△ECF中，∠C=90°，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{EC^2+FC^2}=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵ EF是正方形EFGH的边长，
∴ 正方形EFGH的周长$=4× EF=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，正方形周长计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查正方形性质和勾股定理的应用，解题关键是先求出线段EF的长度，计算过程中要注意二次根式的化简，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
解题可按三步思考：第一步，根据正方形ABCD的面积为1，先求出正方形ABCD的边长；第二步，E、F分别是BC、CD的中点，可得Rt△ECF的两条直角边长度，结合勾股定理即可求出EF的长度；第三步，EF是正方形EFGH的边长，利用正方形周长公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ 正方形ABCD的面积为1，
∴ 正方形ABCD的边长$BC=CD=\sqrt{1}=1$，
∵ E是BC的中点，F是CD的中点，
∴ $EC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$，$FC=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}$，
在Rt△ECF中，∠C=90°，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{EC^2+FC^2}=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵ EF是正方形EFGH的边长，
∴ 正方形EFGH的周长$=4× EF=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，正方形周长计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查正方形性质和勾股定理的应用，解题关键是先求出线段EF的长度，计算过程中要注意二次根式的化简，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
4.如图,把含$30°$的直角三角板$PMN$放置在正方形$ABCD$中,$∠ PMN=30°$,直角顶点$P$在正方形$ABCD$的对角线$BD$上,点$M,N$分别在$AB$和$CD$边上,$MN$与$BD$交于点$O$,且点$O$为$MN$的中点,则$∠ AMP$的度数为 （
A.$60°$
B.$65°$
C.$75°$
D.$80°$
C
）A.$60°$
B.$65°$
C.$75°$
D.$80°$
答案
4.C
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：第一步，先结合直角三角形的性质，由O是直角三角形斜边MN的中点，得到线段相等关系，推出等腰三角形，进而求出∠BOM的度数；第二步，利用正方形对角线的性质，得到∠ABD的度数；第三步，在△BOM中利用三角形内角和定理，算出∠BMO的度数，该角就是所求的∠AMP。
【解析】
1. 在Rt△PMN中，∠MPN=90°，O是MN的中点，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得$OM=OP$。
2. 已知∠PMN=30°，即∠OMP=30°，在等腰△OMP中，∠OPM=∠OMP=30°，因此$∠ POM=180° - 30° -30°=120°$，由此可得邻补角$∠ BOM=180°-120°=60°$。
3. 因为四边形ABCD是正方形，BD是对角线，正方形对角线平分内角，所以$∠ OBM=∠ ABD=\frac{1}{2}×90°=45°$。
4. 在△BOM中，由三角形内角和为180°，得$∠ BMO=180°-∠ OBM-∠ BOM=180°-45°-60°=75°$，∠BMO就是∠AMP，因此∠AMP=75°。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；正方形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，考查的都是常见的几何性质，解题的突破口是利用直角三角形斜边中线的性质得到等腰三角形，再结合正方形的特征推导角度，熟练掌握基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步梳理：第一步，先结合直角三角形的性质，由O是直角三角形斜边MN的中点，得到线段相等关系，推出等腰三角形，进而求出∠BOM的度数；第二步，利用正方形对角线的性质，得到∠ABD的度数；第三步，在△BOM中利用三角形内角和定理，算出∠BMO的度数，该角就是所求的∠AMP。
【解析】
1. 在Rt△PMN中，∠MPN=90°，O是MN的中点，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得$OM=OP$。
2. 已知∠PMN=30°，即∠OMP=30°，在等腰△OMP中，∠OPM=∠OMP=30°，因此$∠ POM=180° - 30° -30°=120°$，由此可得邻补角$∠ BOM=180°-120°=60°$。
3. 因为四边形ABCD是正方形，BD是对角线，正方形对角线平分内角，所以$∠ OBM=∠ ABD=\frac{1}{2}×90°=45°$。
4. 在△BOM中，由三角形内角和为180°，得$∠ BMO=180°-∠ OBM-∠ BOM=180°-45°-60°=75°$，∠BMO就是∠AMP，因此∠AMP=75°。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；正方形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，考查的都是常见的几何性质，解题的突破口是利用直角三角形斜边中线的性质得到等腰三角形，再结合正方形的特征推导角度，熟练掌握基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
5.如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形.若AB=4，则OE的长为（
A.$\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{6}$
C.$4\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{3}$
B
）A.$\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{6}$
C.$4\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：①已知正方形ABCD的边长为4，可利用正方形的性质和勾股定理先求出对角线AC的长度；②O是AC中点，△ACE是等边三角形，根据等边三角形“三线合一”的性质，可得OE是AC边上的高，即OE⊥AC；③最后在直角三角形中用勾股定理即可求出OE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=4
∴AB=BC=4，∠B=90°
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$
∵△ACE是等边三角形
∴AE=AC=$4\sqrt{2}$
又
∵O是AC的中点
∴根据等边三角形三线合一的性质，OE⊥AC，$AO=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{2}$
在Rt△AOE中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{AE^2-AO^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{32-8}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是熟练运用正方形和等边三角形的性质得到线段的位置关系与长度关系，再结合勾股定理计算未知线段长度，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手：①已知正方形ABCD的边长为4，可利用正方形的性质和勾股定理先求出对角线AC的长度；②O是AC中点，△ACE是等边三角形，根据等边三角形“三线合一”的性质，可得OE是AC边上的高，即OE⊥AC；③最后在直角三角形中用勾股定理即可求出OE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=4
∴AB=BC=4，∠B=90°
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$
∵△ACE是等边三角形
∴AE=AC=$4\sqrt{2}$
又
∵O是AC的中点
∴根据等边三角形三线合一的性质，OE⊥AC，$AO=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{2}$
在Rt△AOE中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{AE^2-AO^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{32-8}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是熟练运用正方形和等边三角形的性质得到线段的位置关系与长度关系，再结合勾股定理计算未知线段长度，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
6.如图,在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED,过点D作$DF⊥BC$,垂足为F,则DF的长为 （
A.$2\sqrt{3}+2$
B.$5-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C.$3-\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}+1$
D
）A.$2\sqrt{3}+2$
B.$5-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C.$3-\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}+1$
答案
6.D
解析
【分析】
要求DF的长度，可通过构造辅助线，结合等边三角形、正方形、矩形的性质求解：首先利用等边三角形三线合一的性质求出其高的长度；再结合正方形的性质和角度关系，求出辅助直角三角形中对应线段的长度；最后利用矩形对边相等的性质，将DF转化为两条已知线段的和即可得到结果。
【解析】
解：过点A作$AG⊥BC$于点G，过点D作$DH⊥AG$，交GA的延长线于点H。
1.
∵$△ ABC$是边长为2的等边三角形，$AG⊥BC$
∴$BG=\frac{1}{2}BC=1$，$∠BAG=\frac{1}{2}∠BAC=30°$，由勾股定理得$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
2.
∵四边形ABED是正方形
∴$AD=AB=2$，$∠BAD=90°$
∴$∠DAH=180°-∠BAD-∠BAG=180°-90°-30°=60°$
3.
∵$DH⊥AH$，即$∠H=90°$
∴在$Rt△ ADH$中，$∠ADH=30°$，$AH=\frac{1}{2}AD=1$
4.
∵$DF⊥BC$，$AG⊥BC$，$DH⊥AG$
∴四边形HFGD是矩形（三个角为直角的四边形是矩形）
∴$DF=HG=AH+AG=1+\sqrt{3}=\sqrt{3}+1$
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质
【点评】
本题是特殊几何图形的综合应用，解题的关键是合理构造辅助线，将未知线段转化为可求的线段之和，熟练掌握各类特殊图形的性质是快速解题的基础。
【难度系数】
0.65
要求DF的长度，可通过构造辅助线，结合等边三角形、正方形、矩形的性质求解：首先利用等边三角形三线合一的性质求出其高的长度；再结合正方形的性质和角度关系，求出辅助直角三角形中对应线段的长度；最后利用矩形对边相等的性质，将DF转化为两条已知线段的和即可得到结果。
【解析】
解：过点A作$AG⊥BC$于点G，过点D作$DH⊥AG$，交GA的延长线于点H。
1.
∵$△ ABC$是边长为2的等边三角形，$AG⊥BC$
∴$BG=\frac{1}{2}BC=1$，$∠BAG=\frac{1}{2}∠BAC=30°$，由勾股定理得$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
2.
∵四边形ABED是正方形
∴$AD=AB=2$，$∠BAD=90°$
∴$∠DAH=180°-∠BAD-∠BAG=180°-90°-30°=60°$
3.
∵$DH⊥AH$，即$∠H=90°$
∴在$Rt△ ADH$中，$∠ADH=30°$，$AH=\frac{1}{2}AD=1$
4.
∵$DF⊥BC$，$AG⊥BC$，$DH⊥AG$
∴四边形HFGD是矩形（三个角为直角的四边形是矩形）
∴$DF=HG=AH+AG=1+\sqrt{3}=\sqrt{3}+1$
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质
【点评】
本题是特殊几何图形的综合应用，解题的关键是合理构造辅助线，将未知线段转化为可求的线段之和，熟练掌握各类特殊图形的性质是快速解题的基础。
【难度系数】
0.65
7.如图,边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E是BC边上一点,F是BD上一点,连接DE,EF.若$△ DEF$与$△ DEC$关于直线DE对称,则$△ BEF$的周长是（
A.$2\sqrt{2}$
B.$2+\sqrt{2}$
C.$4-2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$
A
）A.$2\sqrt{2}$
B.$2+\sqrt{2}$
C.$4-2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$
答案
7.A
解析
【分析】
解题时先结合已知条件梳理可用性质：首先正方形边长为2，可先求出其对角线长度；其次△DEF与△DEC关于DE对称，根据轴对称性质可得两个三角形全等，对应边相等，即EF=EC、DF=DC。要求△BEF的周长，可将周长表达式中的未知边利用等量关系替换，转化为已知线段的和差计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为2的正方形
∴BC=CD=2，∠BCD=90°
∴对角线BD=$\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
∵△DEF与△DEC关于直线DE对称
∴△DEF≌△DEC
∴EF=EC，DF=DC=2
△BEF的周长=BE + EF + BF
将EF替换为EC，得：
周长=BE + EC + BF
∵BE+EC=BC=2，BF=BD - DF=$2\sqrt{2}-2$
∴周长=$2+(2\sqrt{2}-2)=2\sqrt{2}$
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，轴对称的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是正方形性质应用的典型题目，解题核心是利用轴对称的全等性质，将所求三角形的周长拆解转化为已知线段的和差，避免了单独计算各边长度的繁琐，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件梳理可用性质：首先正方形边长为2，可先求出其对角线长度；其次△DEF与△DEC关于DE对称，根据轴对称性质可得两个三角形全等，对应边相等，即EF=EC、DF=DC。要求△BEF的周长，可将周长表达式中的未知边利用等量关系替换，转化为已知线段的和差计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为2的正方形
∴BC=CD=2，∠BCD=90°
∴对角线BD=$\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
∵△DEF与△DEC关于直线DE对称
∴△DEF≌△DEC
∴EF=EC，DF=DC=2
△BEF的周长=BE + EF + BF
将EF替换为EC，得：
周长=BE + EC + BF
∵BE+EC=BC=2，BF=BD - DF=$2\sqrt{2}-2$
∴周长=$2+(2\sqrt{2}-2)=2\sqrt{2}$
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，轴对称的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是正方形性质应用的典型题目，解题核心是利用轴对称的全等性质，将所求三角形的周长拆解转化为已知线段的和差，避免了单独计算各边长度的繁琐，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
