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1.「2026江苏无锡新吴一模」在平面直角坐标系中，点$A(\sqrt{3},0)$，点$B(0,1)$，将$△ ABO$沿直线AB翻折，原点O的对应点C恰好落在双曲线$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）上，则k的值为（
A.$-\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
D.$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
C
）A.$-\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
D.$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
答案
∵ $A(\sqrt{3},0),B(0,1),∠AOB=90^{\circ },∴ AB=2,$
$∠OAB=30^{\circ },∴ ∠OBA=60^{\circ }$,由翻折得 $BC=OB=1,$
$∠CBA=∠OBA=60^{\circ },∠BOA=∠BCA=90^{\circ }$,如图,过点C 作 $CE⊥y$ 轴于点 E,
则$∠CBE=180^{\circ }-∠CBA-∠OBA=60^{\circ }$,由 $CE⊥y$ 轴得$∠CEB=90^{\circ }$,则$∠ECB=30^{\circ }$,则在 $Rt△CBE$ 中, $BE=$$\frac {1}{2}BC=\frac {1}{2},∴ CE=\frac {\sqrt {3}}{2},OE=OB+BE=\frac {3}{2},∴ C(\frac {\sqrt {3}}{2},\frac {3}{2}),$
∵ C 在双曲线 $y=\frac {k}{x}$ 上, $\therefore k=\frac {\sqrt {3}}{2}×\frac {3}{2}=\frac {3\sqrt {3}}{4}.$
解析
【分析】
要求反比例函数中k的值，需先求出点C的坐标，k等于点C横、纵坐标的乘积。首先根据点A、B的坐标，计算Rt△ABO的边长和内角：由OA=√3，OB=1，可算出AB=2，进而得到∠OBA=60°。再利用翻折的性质，翻折前后对应边相等、对应角相等，可得BC=OB=1，∠CBA=∠OBA=60°，由此推出∠CBE=60°。接下来过点C作CE垂直y轴于点E，构造Rt△CBE，利用含30°角的直角三角形的性质，算出CE和BE的长度，进而得到点C的坐标，最后代入反比例函数解析式即可求出k的值。
【解析】
∵ $A(\sqrt{3},0),B(0,1),∠AOB=90^{\circ },∴ AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2,$
∴ $∠OAB=30^{\circ },∠OBA=60^{\circ }$,
由翻折的性质可得：$BC=OB=1,$ $∠CBA=∠OBA=60^{\circ },∠BOA=∠BCA=90^{\circ }$,
如图，过点C 作 $CE⊥y$ 轴于点 E,
则$∠CBE=180^{\circ }-∠CBA-∠OBA=180°-60°-60°=60°$,
∵ $CE⊥y$ 轴，
∴$∠CEB=90^{\circ }$,
∴ $∠ECB=90°-∠CBE=30°$,
在 $Rt△CBE$ 中, $BE=\frac {1}{2}BC=\frac {1}{2}$,
由勾股定理得 $CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴ $OE=OB+BE=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$,
∴ 点C的坐标为$(\frac {\sqrt {3}}{2},\frac {3}{2})$,
∵ 点C在双曲线 $y=\frac {k}{x}$ 上,
$\therefore k=xy=\frac {\sqrt {3}}{2}×\frac {3}{2}=\frac {3\sqrt{3}}{4}$.
【答案】
C
【知识点】
翻折的性质，含30°角的直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与几何翻折的综合题，解题的关键是利用翻折的性质得到相等的边和角，通过构造直角三角形求出点C的坐标，再结合反比例函数的性质求解，是反比例函数综合类的常考题型，需要熟练掌握特殊直角三角形的相关性质和坐标计算方法。
【难度系数】
0.6
要求反比例函数中k的值，需先求出点C的坐标，k等于点C横、纵坐标的乘积。首先根据点A、B的坐标，计算Rt△ABO的边长和内角：由OA=√3，OB=1，可算出AB=2，进而得到∠OBA=60°。再利用翻折的性质，翻折前后对应边相等、对应角相等，可得BC=OB=1，∠CBA=∠OBA=60°，由此推出∠CBE=60°。接下来过点C作CE垂直y轴于点E，构造Rt△CBE，利用含30°角的直角三角形的性质，算出CE和BE的长度，进而得到点C的坐标，最后代入反比例函数解析式即可求出k的值。
【解析】
∵ $A(\sqrt{3},0),B(0,1),∠AOB=90^{\circ },∴ AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2,$
∴ $∠OAB=30^{\circ },∠OBA=60^{\circ }$,
由翻折的性质可得：$BC=OB=1,$ $∠CBA=∠OBA=60^{\circ },∠BOA=∠BCA=90^{\circ }$,
如图，过点C 作 $CE⊥y$ 轴于点 E,
则$∠CBE=180^{\circ }-∠CBA-∠OBA=180°-60°-60°=60°$,
∵ $CE⊥y$ 轴，
∴$∠CEB=90^{\circ }$,
∴ $∠ECB=90°-∠CBE=30°$,
在 $Rt△CBE$ 中, $BE=\frac {1}{2}BC=\frac {1}{2}$,
由勾股定理得 $CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴ $OE=OB+BE=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$,
∴ 点C的坐标为$(\frac {\sqrt {3}}{2},\frac {3}{2})$,
∵ 点C在双曲线 $y=\frac {k}{x}$ 上,
$\therefore k=xy=\frac {\sqrt {3}}{2}×\frac {3}{2}=\frac {3\sqrt{3}}{4}$.
【答案】
C
【知识点】
翻折的性质，含30°角的直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与几何翻折的综合题，解题的关键是利用翻折的性质得到相等的边和角，通过构造直角三角形求出点C的坐标，再结合反比例函数的性质求解，是反比例函数综合类的常考题型，需要熟练掌握特殊直角三角形的相关性质和坐标计算方法。
【难度系数】
0.6
2.如图,把双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$绕着原点逆时针旋转$45°$,与y轴交于点$B(0,8)$,则$k=$
32
.答案
解析 设 B 的对应点为 $B'$,过 $B'$ 作 $B'M⊥y$ 轴于 M,连接 $OB'$,如图,
$\because B(0,8),\therefore OB'=OB=8,\because ∠BOB'=45^{\circ },\therefore △B'OM$是等腰直角三角形, $\therefore OM=B'M=\frac {OB'}{\sqrt {2}}=4\sqrt {2},$
$\therefore B'(4\sqrt {2},4\sqrt {2}),\therefore k=4\sqrt {2}×4\sqrt {2}=32.$
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心（原点）的距离相等，可得$OB'=OB=8$，且旋转角为$45°$，即$∠ BOB'=45°$。要求反比例函数的$k$值，需要先得到原双曲线上任意一点的坐标，也就是旋转后点$B$对应的原双曲线上的点$B'$的坐标。过$B'$作$y$轴的垂线，可得到等腰直角$△ B'OM$，利用等腰直角三角形的边长关系求出$B'$的横、纵坐标，再代入反比例函数解析式即可求出$k$的值。
【解析】
设$B$的对应点为$B'$，过$B'$作$B'M⊥y$轴于$M$，连接$OB'$，如图，
$\because B(0,8)$，旋转前后对应点到原点的距离相等，$\therefore OB'=OB=8$。
$\because$ 旋转角为$45°$，即$∠ BOB'=45°$，$\therefore △ B'OM$是等腰直角三角形。
根据等腰直角三角形的边长关系，$\therefore OM=B'M=\frac{OB'}{\sqrt{2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$，
$\therefore B'$的坐标为$(4\sqrt{2},4\sqrt{2})$。
$\because B'$在双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$上，$\therefore k=xy=4\sqrt{2}×4\sqrt{2}=32$。
【答案】
$32$
【知识点】
旋转的性质，反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题将图形旋转与反比例函数知识点结合，核心解题思路是抓住旋转的不变性得到线段长度，结合等腰直角三角形的特征求出反比例函数上点的坐标，再代入解析式求解$k$，对学生的图形分析能力和坐标运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先利用旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心（原点）的距离相等，可得$OB'=OB=8$，且旋转角为$45°$，即$∠ BOB'=45°$。要求反比例函数的$k$值，需要先得到原双曲线上任意一点的坐标，也就是旋转后点$B$对应的原双曲线上的点$B'$的坐标。过$B'$作$y$轴的垂线，可得到等腰直角$△ B'OM$，利用等腰直角三角形的边长关系求出$B'$的横、纵坐标，再代入反比例函数解析式即可求出$k$的值。
【解析】
设$B$的对应点为$B'$，过$B'$作$B'M⊥y$轴于$M$，连接$OB'$，如图，
$\because B(0,8)$，旋转前后对应点到原点的距离相等，$\therefore OB'=OB=8$。
$\because$ 旋转角为$45°$，即$∠ BOB'=45°$，$\therefore △ B'OM$是等腰直角三角形。
根据等腰直角三角形的边长关系，$\therefore OM=B'M=\frac{OB'}{\sqrt{2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$，
$\therefore B'$的坐标为$(4\sqrt{2},4\sqrt{2})$。
$\because B'$在双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$上，$\therefore k=xy=4\sqrt{2}×4\sqrt{2}=32$。
【答案】
$32$
【知识点】
旋转的性质，反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题将图形旋转与反比例函数知识点结合，核心解题思路是抓住旋转的不变性得到线段长度，结合等腰直角三角形的特征求出反比例函数上点的坐标，再代入解析式求解$k$，对学生的图形分析能力和坐标运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
3. 聚焦中考直接经验学习「2026 江苏泰州中学附中三模节选」如图，
一次函数$y=mx+n$与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象交于$A(3,1)$，点$B(1,t)$.
(1)求一次函数及反比例函数的表达式.
(2)设一次函数$y=mx+n$的图象与$x$轴，$y$轴的交点分别为$C,D$，反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象关于直线$CD$对称的图形，记为图形$G$，图形$G$与$x$轴，$y$轴的交点分别为$F,E$，求$EF$的长.
一次函数$y=mx+n$与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象交于$A(3,1)$，点$B(1,t)$.
(1)求一次函数及反比例函数的表达式.
(2)设一次函数$y=mx+n$的图象与$x$轴，$y$轴的交点分别为$C,D$，反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象关于直线$CD$对称的图形，记为图形$G$，图形$G$与$x$轴，$y$轴的交点分别为$F,E$，求$EF$的长.
答案
(1)
∵ 点 $A(3,1)$ 在反比例函数 $y=\frac {k}{x}(k＞0,x＞$0) 的图象上,
$\therefore 1=\frac {k}{3},\therefore k=3,$
∴ 反比例函数的表达式为 $y=\frac {3}{x}.$
∵ 点 $B(1,t)$ 在 $y=\frac {3}{x}$ 的图象上,
$\therefore t=\frac {3}{1}=3$,即 $B(1,3),$
∵ 一次函数 $y=mx+n$ 的图象过 $A(3,1),B(1,3),$
$\therefore \{\begin{array}{l} 3m+n=1,\\ m+n=3,\end{array} $ 解得 $\{\begin{array}{l} m=-1,\\ n=4,\end{array} $
∴ 一次函数的表达式为 $y=-x+4.$
(2)对于一次函数 $y=-x+4$,令 $x=0$,得 $y=4$,令 $y=0$,得 $x=4,\therefore D(0,4),C(4,0).\therefore OD=OC=4$,如图,过点D 作 $DI⊥OD$ 交 $y=\frac {3}{x}$ 的图象于点 I,过点 C 作 $CM⊥$OC 交 $y=\frac {3}{x}$ 的图象于点 H,交 DI 的延长线于点 M,则四边形 OCMD 是矩形,
$\because OD=OC=4,\therefore $ 矩形 OCMD 是正方形,
∴ DM 与 OD关于直线 CD 对称,OC 与 CM 关于直线 CD 对称,
∵ 反比例函数 $y=\frac {3}{x}(x＞0)$ 的图象与图形 G 关于直线 CD对称,
∴ E 与 I,F 与 H 关于直线 CD 对称,
∴ OE=IM,$MH=OF$,对于 $y=\frac {3}{x}$,当 $y=4$ 时, $x=\frac {3}{4}$,当 $x=4$ 时, $y=$$\frac {3}{4},\therefore OE=IM=4-\frac {3}{4}=\frac {13}{4},OF=MH=4-\frac {3}{4}=\frac {13}{4},\therefore EF=$$\sqrt {(\frac {13}{4})^{2}+(\frac {13}{4})^{2}}=\frac {13\sqrt {2}}{4}.$
解析
【分析】
(1) 求解函数表达式可利用待定系数法：先将已知点A的坐标代入反比例函数解析式求出k，得到反比例函数表达式；再将点B的横坐标代入反比例函数求出t，得到B点完整坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组得到m、n的值，即可得到一次函数表达式。
(2) 求EF的长需先明确E、F的位置关系：首先求出一次函数与坐标轴交点C、D的坐标，可得OD=OC=4，直线CD是正方形OCMD的对角线，y轴与直线y=4、x轴与直线x=4分别关于CD对称；根据轴对称性质，图形G和反比例函数图象关于CD对称，因此E对应反比例函数上y=4的点I，F对应反比例函数上x=4的点H，求出I、H的坐标后即可得到OE、OF的长度，最后用勾股定理计算EF即可。
【解析】
(1)
∵ 点$A(3,1)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，
$\therefore 1=\frac{k}{3}$，解得$k=3$，
∴ 反比例函数的表达式为$y=\frac{3}{x}$。
∵ 点$B(1,t)$在$y=\frac{3}{x}$的图象上，
$\therefore t=\frac{3}{1}=3$，即$B(1,3)$，
∵ 一次函数$y=mx+n$的图象过$A(3,1)$、$B(1,3)$，
$\therefore \begin{cases} 3m+n=1 \\ m+n=3 \end{cases}$，解得$\begin{cases} m=-1 \\ n=4 \end{cases}$，
∴ 一次函数的表达式为$y=-x+4$。
(2) 对于一次函数$y=-x+4$，令$x=0$，得$y=4$；令$y=0$，得$x=4$，
$\therefore D(0,4)$，$C(4,0)$，即$OD=OC=4$。
如图，过点D作$DI⊥OD$交$y=\frac{3}{x}$的图象于点I，过点C作$CM⊥OC$交$y=\frac{3}{x}$的图象于点H，交DI的延长线于点M，则四边形OCMD是矩形，
$\because OD=OC=4$，
∴ 矩形OCMD是正方形，
∴ DM与OD关于直线CD对称，OC与CM关于直线CD对称，
∵ 反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象与图形G关于直线CD对称，
∴ E与I、F与H分别关于直线CD对称，
$\therefore OE=IM$，$MH=OF$。
对于$y=\frac{3}{x}$，当$y=4$时，$x=\frac{3}{4}$；当$x=4$时，$y=\frac{3}{4}$，
$\therefore OE=IM=4-\frac{3}{4}=\frac{13}{4}$，$OF=MH=4-\frac{3}{4}=\frac{13}{4}$，
在$Rt△ EOF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{OE^2+OF^2}=\sqrt{(\frac{13}{4})^2+(\frac{13}{4})^2}=\frac{13\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{3}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x+4}$；
(2) $\boldsymbol{EF=\frac{13\sqrt{2}}{4}}$
【知识点】
待定系数法求解析式，轴对称的性质，勾股定理
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，第一问为基础题型，核心考查待定系数法的应用；第二问需要结合轴对称的性质，将求对称图形交点的问题转化为求反比例函数上点坐标的问题，对几何性质的迁移应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 求解函数表达式可利用待定系数法：先将已知点A的坐标代入反比例函数解析式求出k，得到反比例函数表达式；再将点B的横坐标代入反比例函数求出t，得到B点完整坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组得到m、n的值，即可得到一次函数表达式。
(2) 求EF的长需先明确E、F的位置关系：首先求出一次函数与坐标轴交点C、D的坐标，可得OD=OC=4，直线CD是正方形OCMD的对角线，y轴与直线y=4、x轴与直线x=4分别关于CD对称；根据轴对称性质，图形G和反比例函数图象关于CD对称，因此E对应反比例函数上y=4的点I，F对应反比例函数上x=4的点H，求出I、H的坐标后即可得到OE、OF的长度，最后用勾股定理计算EF即可。
【解析】
(1)
∵ 点$A(3,1)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，
$\therefore 1=\frac{k}{3}$，解得$k=3$，
∴ 反比例函数的表达式为$y=\frac{3}{x}$。
∵ 点$B(1,t)$在$y=\frac{3}{x}$的图象上，
$\therefore t=\frac{3}{1}=3$，即$B(1,3)$，
∵ 一次函数$y=mx+n$的图象过$A(3,1)$、$B(1,3)$，
$\therefore \begin{cases} 3m+n=1 \\ m+n=3 \end{cases}$，解得$\begin{cases} m=-1 \\ n=4 \end{cases}$，
∴ 一次函数的表达式为$y=-x+4$。
(2) 对于一次函数$y=-x+4$，令$x=0$，得$y=4$；令$y=0$，得$x=4$，
$\therefore D(0,4)$，$C(4,0)$，即$OD=OC=4$。
如图，过点D作$DI⊥OD$交$y=\frac{3}{x}$的图象于点I，过点C作$CM⊥OC$交$y=\frac{3}{x}$的图象于点H，交DI的延长线于点M，则四边形OCMD是矩形，
$\because OD=OC=4$，
∴ 矩形OCMD是正方形，
∴ DM与OD关于直线CD对称，OC与CM关于直线CD对称，
∵ 反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象与图形G关于直线CD对称，
∴ E与I、F与H分别关于直线CD对称，
$\therefore OE=IM$，$MH=OF$。
对于$y=\frac{3}{x}$，当$y=4$时，$x=\frac{3}{4}$；当$x=4$时，$y=\frac{3}{4}$，
$\therefore OE=IM=4-\frac{3}{4}=\frac{13}{4}$，$OF=MH=4-\frac{3}{4}=\frac{13}{4}$，
在$Rt△ EOF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{OE^2+OF^2}=\sqrt{(\frac{13}{4})^2+(\frac{13}{4})^2}=\frac{13\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{3}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x+4}$；
(2) $\boldsymbol{EF=\frac{13\sqrt{2}}{4}}$
【知识点】
待定系数法求解析式，轴对称的性质，勾股定理
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，第一问为基础题型，核心考查待定系数法的应用；第二问需要结合轴对称的性质，将求对称图形交点的问题转化为求反比例函数上点坐标的问题，对几何性质的迁移应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
4.「2026江苏无锡江阴一模」如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$图象上一点，点B在x轴上，$AO=AB$，点C为OA的中点，若$△ ABC$的面积为4，则k的值为（
A.-4
B.-8
C.-6
D.$\frac{1}{2}$
B
）A.-4
B.-8
C.-6
D.$\frac{1}{2}$
答案
过点 A 作 $AE⊥x$ 轴于点 E,如图,
∵ 点 C 为 OA 的中点, $\therefore S_{△ABO}=2S_{△ABC}=8,\because AO=AB,$
∴ E 为 OB 的中点, $\therefore S_{△AEO}=\frac {1}{2}S_{△ABO}=4$,
∵ 点 A 是反比例函数 $y=\frac {k}{x}(x＜0)$ 图象上一点, $\therefore S_{△AEO}=\frac {|k|}{2}=4,$
$\therefore |k|=8$,
∵ 反比例函数 $y=\frac {k}{x}(x＜0)$ 的图象在第二象限, $\therefore k=-8.$
解析
【分析】
我们可以按照以下思路解题：首先，点C是OA的中点，说明△ABC和△BOC同高、底边长相等，因此△ABO的面积是△ABC面积的2倍，可先求出△ABO的面积；其次，已知AO=AB，△ABO是等腰三角形，过A作AE垂直x轴，根据等腰三角形三线合一的性质，E是OB的中点，因此△AEO的面积是△ABO面积的一半；最后，利用反比例函数k的几何意义，即过反比例函数图象上的点向x轴作垂线，所得直角三角形的面积等于$\frac{|k|}{2}$，再结合函数图象在第二象限，k为负数，即可求出k的取值。
【解析】
过点 A 作 $AE⊥x$ 轴于点 E,如图,
∵ 点 C 为 OA 的中点, $△ ABC$和$△ BOC$等底同高，$\therefore S_{△ABO}=2S_{△ABC}=2×4=8$。
$\because AO=AB$，$AE⊥OB$，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴ E 为 OB 的中点, $\therefore S_{△AEO}=\frac {1}{2}S_{△ABO}=4$。
∵ 点 A 是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＜0)$ 图象上一点, 根据反比例函数k的几何意义，$\therefore S_{△AEO}=\frac {|k|}{2}=4,$
$\therefore |k|=8$。
∵ 反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＜0)$ 的图象在第二象限, $k＜0$，$\therefore k=-8$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义；等腰三角形三线合一；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的常见题型，解题核心是通过中点性质、等腰三角形的性质完成面积的转化，再结合反比例函数k的几何意义求解，需要注意结合函数图象所在象限确定k的符号，避免漏看符号出错。
【难度系数】
0.6
我们可以按照以下思路解题：首先，点C是OA的中点，说明△ABC和△BOC同高、底边长相等，因此△ABO的面积是△ABC面积的2倍，可先求出△ABO的面积；其次，已知AO=AB，△ABO是等腰三角形，过A作AE垂直x轴，根据等腰三角形三线合一的性质，E是OB的中点，因此△AEO的面积是△ABO面积的一半；最后，利用反比例函数k的几何意义，即过反比例函数图象上的点向x轴作垂线，所得直角三角形的面积等于$\frac{|k|}{2}$，再结合函数图象在第二象限，k为负数，即可求出k的取值。
【解析】
过点 A 作 $AE⊥x$ 轴于点 E,如图,
∵ 点 C 为 OA 的中点, $△ ABC$和$△ BOC$等底同高，$\therefore S_{△ABO}=2S_{△ABC}=2×4=8$。
$\because AO=AB$，$AE⊥OB$，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴ E 为 OB 的中点, $\therefore S_{△AEO}=\frac {1}{2}S_{△ABO}=4$。
∵ 点 A 是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＜0)$ 图象上一点, 根据反比例函数k的几何意义，$\therefore S_{△AEO}=\frac {|k|}{2}=4,$
$\therefore |k|=8$。
∵ 反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＜0)$ 的图象在第二象限, $k＜0$，$\therefore k=-8$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义；等腰三角形三线合一；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的常见题型，解题核心是通过中点性质、等腰三角形的性质完成面积的转化，再结合反比例函数k的几何意义求解，需要注意结合函数图象所在象限确定k的符号，避免漏看符号出错。
【难度系数】
0.6
5.「2025北京中考」如图,在平面直角坐标系$xOy$中,$A,B$分别是$x$轴、$y$轴正半轴上的动点,四边形$OACB$是矩形,函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象与边$AC$交于点$M$,与边$BC$交于点$N(M,N$不重合$)$.给出下面四个结论:
①$△ COM$与$△ CON$的面积一定相等;
②$△ MON$与$△ MCN$的面积可能相等;
③$△ MON$一定是锐角三角形;
④$△ MON$可能是等边三角形.
上述结论中,所有正确结论的序号是 (
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
①$△ COM$与$△ CON$的面积一定相等;
②$△ MON$与$△ MCN$的面积可能相等;
③$△ MON$一定是锐角三角形;
④$△ MON$可能是等边三角形.
上述结论中,所有正确结论的序号是 (
B
)A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
答案
设点 M 的坐标为 $(a,\frac {1}{a})$,点 N 的坐标为 $(b,\frac {1}{b}),$
则 $A(a,0),B(0,\frac {1}{b}),C(a,\frac {1}{b}),\therefore OB=AC=\frac {1}{b},OA=$$BC=a,BN=b,AM=\frac {1}{a},CN=a-b,CM=\frac {1}{b}-\frac {1}{a},$
$\therefore S_{△COM}=\frac {1}{2}CM· OA=\frac {1}{2}(\frac {1}{b}-\frac {1}{a})· a=\frac {a}{2b}-\frac {1}{2},$
$S_{△CON}=\frac {1}{2}CN· OB=\frac {1}{2}(a-b)· \frac {1}{b}=\frac {a}{2b}-\frac {1}{2},\therefore S_{△COM}=$$S_{△CON}$,故结论①正确;$S_{△MCN}=\frac {1}{2}CN· CM=\frac {1}{2}(a-b)· $$(\frac {1}{b}-\frac {1}{a})=\frac {(a-b)^{2}}{2ab},S_{△MON}=S_{矩形OACB}-S_{△OBN}-S_{△OAM}-$$S_{△MCN}=a· \frac {1}{b}-\frac {1}{2}b· \frac {1}{b}-\frac {1}{2}a· \frac {1}{a}-\frac {(a-b)^{2}}{2ab}=\frac {a^{2}-b^{2}}{2ab}$,当$△MON$ 与 $△MCN$ 的面积相等时, $\frac {(a-b)^{2}}{2ab}=\frac {a^{2}-b^{2}}{2ab}$,此时$a=b$,当 $a=b$ 时,M,N 重合,与题意不符,故结论②错误;函数 $y=\frac {1}{x}(x＞0)$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称,当点M,N 在直线 $y=x$ 同侧时,如图,
此时 $△MON$ 为钝角三角形,故结论 ③ 错误;当$∠BON=∠AOM=15^{\circ }$ 时, $∠MON=90^{\circ }-15^{\circ }-15^{\circ }=60^{\circ },$由反比例函数图象的对称性可知此时 $OM=ON,$
$\therefore △MON$ 为等边三角形,即 $△MON$ 可能是等边三角形,故结论④正确.综上,正确的结论为①④.故选 B.
解析
【分析】
这是反比例函数与矩形、三角形结合的综合题，解题时我们可以通过设点坐标的方法将几何问题转化为代数运算，再结合反比例函数的性质、三角形相关定理逐个验证结论：
1. 首先利用M、N在反比例函数$y=\frac{1}{x}$上的特点，设出两点坐标，进而得到矩形顶点C的坐标，用坐标表示出各线段长度；
2. 分别计算$△ COM$和$△ CON$的面积，验证结论①；
3. 分别计算$△ MON$和$△ MCN$的面积，令二者相等求解，结合M、N不重合的条件验证结论②；
4. 结合反比例函数关于直线$y=x$对称的性质，分析M、N位置不同时$∠ MON$的大小，验证结论③；
5. 利用等边三角形的判定定理，结合反比例函数的对称性分析是否存在等边三角形的情况，验证结论④，最终确定正确选项。
【解析】
设点$M$的坐标为$(a,\frac{1}{a})$，点$N$的坐标为$(b,\frac{1}{b})$，
则$A(a,0)$，$B(0,\frac{1}{b})$，$C(a,\frac{1}{b})$，因此$OB=AC=\frac{1}{b}$，$OA=BC=a$，$BN=b$，$AM=\frac{1}{a}$，$CN=a-b$，$CM=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}$。
1. 验证结论①：
$S_{△ COM}=\frac{1}{2}CM·OA=\frac{1}{2}(\frac{1}{b}-\frac{1}{a})·a=\frac{a}{2b}-\frac{1}{2}$，
$S_{△ CON}=\frac{1}{2}CN·OB=\frac{1}{2}(a-b)·\frac{1}{b}=\frac{a}{2b}-\frac{1}{2}$，
因此$S_{△ COM}=S_{△ CON}$，结论①正确。
2. 验证结论②：
$S_{△ MCN}=\frac{1}{2}CN·CM=\frac{1}{2}(a-b)·(\frac{1}{b}-\frac{1}{a})=\frac{(a-b)^2}{2ab}$，
$S_{△ MON}=S_{矩形OACB}-S_{△ OBN}-S_{△ OAM}-S_{△ MCN}=a·\frac{1}{b}-\frac{1}{2}b·\frac{1}{b}-\frac{1}{2}a·\frac{1}{a}-\frac{(a-b)^2}{2ab}=\frac{a^2-b^2}{2ab}$，
若$△ MON$与$△ MCN$的面积相等，则$\frac{(a-b)^2}{2ab}=\frac{a^2-b^2}{2ab}$，化简得$a=b$，此时M、N重合，与题意中M、N不重合矛盾，因此结论②错误。
3. 验证结论③：
函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象关于直线$y=x$对称，当点M、N在直线$y=x$同侧时，如图：
此时$∠ MON$为钝角，$△ MON$是钝角三角形，因此结论③错误。
4. 验证结论④：
当$∠ BON=∠ AOM=15°$时，$∠ MON=90°-15°-15°=60°$，由反比例函数图象的对称性可知此时$OM=ON$，因此$△ MON$为等边三角形，即$△ MON$可能是等边三角形，结论④正确。
综上，正确的结论为①④，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，三角形面积计算，等边三角形判定
【点评】
本题将反比例函数与几何图形相结合，既考查了代数运算能力，又考查了几何图形性质的应用，解题时通过设坐标将几何问题代数化是核心方法，同时要注意结合函数对称性分析图形的形状特征。
【难度系数】
0.5
这是反比例函数与矩形、三角形结合的综合题，解题时我们可以通过设点坐标的方法将几何问题转化为代数运算，再结合反比例函数的性质、三角形相关定理逐个验证结论：
1. 首先利用M、N在反比例函数$y=\frac{1}{x}$上的特点，设出两点坐标，进而得到矩形顶点C的坐标，用坐标表示出各线段长度；
2. 分别计算$△ COM$和$△ CON$的面积，验证结论①；
3. 分别计算$△ MON$和$△ MCN$的面积，令二者相等求解，结合M、N不重合的条件验证结论②；
4. 结合反比例函数关于直线$y=x$对称的性质，分析M、N位置不同时$∠ MON$的大小，验证结论③；
5. 利用等边三角形的判定定理，结合反比例函数的对称性分析是否存在等边三角形的情况，验证结论④，最终确定正确选项。
【解析】
设点$M$的坐标为$(a,\frac{1}{a})$，点$N$的坐标为$(b,\frac{1}{b})$，
则$A(a,0)$，$B(0,\frac{1}{b})$，$C(a,\frac{1}{b})$，因此$OB=AC=\frac{1}{b}$，$OA=BC=a$，$BN=b$，$AM=\frac{1}{a}$，$CN=a-b$，$CM=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}$。
1. 验证结论①：
$S_{△ COM}=\frac{1}{2}CM·OA=\frac{1}{2}(\frac{1}{b}-\frac{1}{a})·a=\frac{a}{2b}-\frac{1}{2}$，
$S_{△ CON}=\frac{1}{2}CN·OB=\frac{1}{2}(a-b)·\frac{1}{b}=\frac{a}{2b}-\frac{1}{2}$，
因此$S_{△ COM}=S_{△ CON}$，结论①正确。
2. 验证结论②：
$S_{△ MCN}=\frac{1}{2}CN·CM=\frac{1}{2}(a-b)·(\frac{1}{b}-\frac{1}{a})=\frac{(a-b)^2}{2ab}$，
$S_{△ MON}=S_{矩形OACB}-S_{△ OBN}-S_{△ OAM}-S_{△ MCN}=a·\frac{1}{b}-\frac{1}{2}b·\frac{1}{b}-\frac{1}{2}a·\frac{1}{a}-\frac{(a-b)^2}{2ab}=\frac{a^2-b^2}{2ab}$，
若$△ MON$与$△ MCN$的面积相等，则$\frac{(a-b)^2}{2ab}=\frac{a^2-b^2}{2ab}$，化简得$a=b$，此时M、N重合，与题意中M、N不重合矛盾，因此结论②错误。
3. 验证结论③：
函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象关于直线$y=x$对称，当点M、N在直线$y=x$同侧时，如图：
此时$∠ MON$为钝角，$△ MON$是钝角三角形，因此结论③错误。
4. 验证结论④：
当$∠ BON=∠ AOM=15°$时，$∠ MON=90°-15°-15°=60°$，由反比例函数图象的对称性可知此时$OM=ON$，因此$△ MON$为等边三角形，即$△ MON$可能是等边三角形，结论④正确。
综上，正确的结论为①④，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，三角形面积计算，等边三角形判定
【点评】
本题将反比例函数与几何图形相结合，既考查了代数运算能力，又考查了几何图形性质的应用，解题时通过设坐标将几何问题代数化是核心方法，同时要注意结合函数对称性分析图形的形状特征。
【难度系数】
0.5
6.「2025山东东营中考」如图，一次函数$y=3x+3$的图象与坐标轴分别交于点B,C，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点A，$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，则k的值为
-12
。答案
解析 对于一次函数 $y=3x+3$,令 $x=0$,得 $y=3$,令 $y=$0,得 $x=-1,\therefore B(-1,0),C(0,3)$,过点 A 作 $AD⊥y$ 轴于点 D,如图,
$\because ∠ACB=90^{\circ },\therefore ∠ACD+∠BCO=90^{\circ },$
$\because ∠BCO+∠CBO=90^{\circ },\therefore ∠ACD=∠CBO,$
在 $△ACD$ 和 $△CBO$ 中, $\{\begin{array}{l} ∠ADC=∠COB,\\ ∠ACD=∠CBO,\\ AC=BC,\end{array} $
$\therefore △ACD≌△CBO(AAS),\therefore AD=OC=3,CD=OB=1,$
$\therefore OD=OC+CD=4,\therefore A(-3,4)$,把 $A(-3,4)$ 代入反比例函数 $y=\frac {k}{x}$,得 $k=-12.$
解析
【分析】
解题时首先求出一次函数与坐标轴的交点B、C的坐标，代入x=0和y=0即可直接得到。已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°且AC=BC，我们可以过点A作y轴的垂线构造直角三角形，利用同角的余角相等得到对应角相等，证明两个直角三角形全等，再利用全等的性质得到点A的横纵坐标，最后将A点坐标代入反比例函数解析式就能求出k的值。
【解析】
先求一次函数$y=3x+3$与坐标轴的交点：
令$x=0$，得$y=3$，$\therefore C(0,3)$；令$y=0$，得$3x+3=0$，解得$x=-1$，$\therefore B(-1,0)$。
过点A作$AD⊥y$轴于点D，如图
$\because ∠ACB=90^{\circ },\therefore ∠ACD+∠BCO=90^{\circ },$
又$\because$在$Rt△BOC$中，$∠BCO+∠CBO=90^{\circ },\therefore ∠ACD=∠CBO$。
在$△ACD$和$△CBO$中：
$\{\begin{array}{l} ∠ADC=∠COB=90°\\ ∠ACD=∠CBO\\ AC=BC\end{array} $
$\therefore △ACD≌△CBO(AAS),$
$\therefore AD=OC=3,CD=OB=1,$
$\therefore OD=OC+CD=3+1=4,$
$\because$点A在第二象限，$\therefore A(-3,4)$。
把$A(-3,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{-3}$，解得$k=-12$。
【答案】
$\boldsymbol{-12}$
【知识点】
一次函数交点坐标求解，全等三角形判定与性质，反比例函数解析式确定
【点评】
本题是反比例函数与一次函数、三角形全等的综合题，解题核心是通过作辅助线构造全等三角形，将已知线段长度转化为点A的坐标，进而求解反比例函数的参数，考查了学生的几何分析能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先求出一次函数与坐标轴的交点B、C的坐标，代入x=0和y=0即可直接得到。已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°且AC=BC，我们可以过点A作y轴的垂线构造直角三角形，利用同角的余角相等得到对应角相等，证明两个直角三角形全等，再利用全等的性质得到点A的横纵坐标，最后将A点坐标代入反比例函数解析式就能求出k的值。
【解析】
先求一次函数$y=3x+3$与坐标轴的交点：
令$x=0$，得$y=3$，$\therefore C(0,3)$；令$y=0$，得$3x+3=0$，解得$x=-1$，$\therefore B(-1,0)$。
过点A作$AD⊥y$轴于点D，如图
$\because ∠ACB=90^{\circ },\therefore ∠ACD+∠BCO=90^{\circ },$
又$\because$在$Rt△BOC$中，$∠BCO+∠CBO=90^{\circ },\therefore ∠ACD=∠CBO$。
在$△ACD$和$△CBO$中：
$\{\begin{array}{l} ∠ADC=∠COB=90°\\ ∠ACD=∠CBO\\ AC=BC\end{array} $
$\therefore △ACD≌△CBO(AAS),$
$\therefore AD=OC=3,CD=OB=1,$
$\therefore OD=OC+CD=3+1=4,$
$\because$点A在第二象限，$\therefore A(-3,4)$。
把$A(-3,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{-3}$，解得$k=-12$。
【答案】
$\boldsymbol{-12}$
【知识点】
一次函数交点坐标求解，全等三角形判定与性质，反比例函数解析式确定
【点评】
本题是反比例函数与一次函数、三角形全等的综合题，解题核心是通过作辅助线构造全等三角形，将已知线段长度转化为点A的坐标，进而求解反比例函数的参数，考查了学生的几何分析能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
