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7.「2026 江苏徐州睢宁二中一模」如图，$△ AOB$是边长为4的等边三角形，OB边在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过AB边的中点D，且与OA交于点C，则点C的坐标为
$(\sqrt{3},3)$
。答案
解析 如图,过点 D 作 $DE⊥x$ 轴于点 E,过点 C 作$CF⊥x$ 轴于点 F,
$\because △AOB$ 是等边三角形,且 $DE⊥x$ 轴, $\therefore ∠DBE=60^{\circ },$
$∠DEB=90^{\circ },\therefore ∠BDE=30^{\circ },\therefore BE=\frac {1}{2}BD=\frac {1}{4}AB=1,$
$DE=\frac {\sqrt {3}}{2}BD=\frac {\sqrt {3}}{4}AB=\sqrt {3},\therefore OE=3,\therefore D(3,\sqrt {3}),\therefore k=$$3\sqrt {3}$,设 $OF=m$,同理可得 $CF=\sqrt {3}m$,
∵ 点 C 在反比例函数 $y=\frac {k}{x}(x＞0)$ 的图象上, $\therefore m· \sqrt {3}m=3\sqrt {3},\therefore m=$$\sqrt {3}$,即 $C(\sqrt {3},3).$
解析
【分析】
要解决本题，需分两步推导：第一步先确定反比例函数的解析式，已知反比例函数过AB中点D，因此先利用等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的边角关系求出点D的坐标，代入反比例函数即可求得k值；第二步求交点C的坐标，先根据OA的倾斜角得到点C横、纵坐标的关系，再代入反比例函数解析式解方程，即可得到点C的坐标。
【解析】
如图，过点D作$DE⊥x$轴于点E，过点C作$CF⊥x$轴于点F，
$\because △AOB$是边长为4的等边三角形，
$\therefore AB=OB=4,∠DBE=∠AOB=60^{\circ }$。
$\because $D是AB的中点，$\therefore BD=\frac{1}{2}AB=2$。
在$Rt△DEB$中，$∠BDE=90°-∠DBE=30°$，
$\therefore BE=\frac{1}{2}BD=1$，$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{3}$，
$\therefore OE=OB-BE=4-1=3$，即点D的坐标为$(3,\sqrt{3})$。
将$D(3,\sqrt{3})$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=3×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，即反比例函数解析式为$y=\frac{3\sqrt{3}}{x}$。
设$OF=m$，在$Rt△COF$中，$∠OCF=30°$，$\therefore CF=\sqrt{3}OF=\sqrt{3}m$，即点C的坐标为$(m,\sqrt{3}m)$。
$\because $点C在反比例函数图象上，$\therefore m· \sqrt{3}m=3\sqrt{3}$，解得$m^2=3$。
$\because x＞0$，$\therefore m=\sqrt{3}$，$\sqrt{3}m=3$，即点C的坐标为$(\sqrt{3},3)$。
【答案】
$(\sqrt{3},3)$
【知识点】
1. 反比例函数解析式的确定
2. 等边三角形的性质
3. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题型，解题核心是通过几何性质求出反比例函数的未知系数k，再结合交点的坐标特征求解，既考查了三角形相关性质的应用，也考查了反比例函数的基本计算，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需分两步推导：第一步先确定反比例函数的解析式，已知反比例函数过AB中点D，因此先利用等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的边角关系求出点D的坐标，代入反比例函数即可求得k值；第二步求交点C的坐标，先根据OA的倾斜角得到点C横、纵坐标的关系，再代入反比例函数解析式解方程，即可得到点C的坐标。
【解析】
如图，过点D作$DE⊥x$轴于点E，过点C作$CF⊥x$轴于点F，
$\because △AOB$是边长为4的等边三角形，
$\therefore AB=OB=4,∠DBE=∠AOB=60^{\circ }$。
$\because $D是AB的中点，$\therefore BD=\frac{1}{2}AB=2$。
在$Rt△DEB$中，$∠BDE=90°-∠DBE=30°$，
$\therefore BE=\frac{1}{2}BD=1$，$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{3}$，
$\therefore OE=OB-BE=4-1=3$，即点D的坐标为$(3,\sqrt{3})$。
将$D(3,\sqrt{3})$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=3×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，即反比例函数解析式为$y=\frac{3\sqrt{3}}{x}$。
设$OF=m$，在$Rt△COF$中，$∠OCF=30°$，$\therefore CF=\sqrt{3}OF=\sqrt{3}m$，即点C的坐标为$(m,\sqrt{3}m)$。
$\because $点C在反比例函数图象上，$\therefore m· \sqrt{3}m=3\sqrt{3}$，解得$m^2=3$。
$\because x＞0$，$\therefore m=\sqrt{3}$，$\sqrt{3}m=3$，即点C的坐标为$(\sqrt{3},3)$。
【答案】
$(\sqrt{3},3)$
【知识点】
1. 反比例函数解析式的确定
2. 等边三角形的性质
3. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题型，解题核心是通过几何性质求出反比例函数的未知系数k，再结合交点的坐标特征求解，既考查了三角形相关性质的应用，也考查了反比例函数的基本计算，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
8.「2026江苏南京鼓楼一模」如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$，$△ OAB$和$△ BCD$均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若$S_{△ OAB}-S_{△ BCD}=10$，则$k=$
-20
。答案
解析 设 $AO=a,CD=b$,
∵ $△OAB$ 和 $△BCD$ 均为等腰直角三角形, $\therefore AO=AB=a,CD=BC=b,\therefore D(-a-b,a-$$b)$,
∵ 点 D 在反比例函数图象上, $\therefore (-a-b)(a-b)=$$k$,即 $b^{2}-a^{2}=k,\because S_{△OAB}-S_{△BCD}=10,\therefore \frac {a^{2}}{2}-\frac {b^{2}}{2}=10,$
整理得 $b^{2}-a^{2}=-20,\therefore k=-20.$
∵ $△OAB$ 和 $△BCD$ 均为等腰直角三角形, $\therefore AO=AB=a,CD=BC=b,\therefore D(-a-b,a-$$b)$,
∵ 点 D 在反比例函数图象上, $\therefore (-a-b)(a-b)=$$k$,即 $b^{2}-a^{2}=k,\because S_{△OAB}-S_{△BCD}=10,\therefore \frac {a^{2}}{2}-\frac {b^{2}}{2}=10,$
整理得 $b^{2}-a^{2}=-20,\therefore k=-20.$
解析
【分析】
解题时先从已知的两个等腰直角三角形入手，设出两个等腰直角三角形的直角边长为参数，用参数表示出点D的横、纵坐标；再利用点D在反比例函数图象上，坐标满足函数解析式，得到k与参数的关系式；最后结合两个三角形的面积差条件，整理变形后即可求出k的值，过程中可利用平方差公式简化计算。
【解析】
设等腰直角$△ OAB$的直角边$AO=a$，等腰直角$△ BCD$的直角边$CD=b$。
$\because △ OAB$是等腰直角三角形，$∠ OAB=90°$，$\therefore AO=AB=a$；
$\because △ BCD$是等腰直角三角形，$∠ BCD=90°$，$\therefore CD=BC=b$。
由此可得点D的横坐标为$-(a+b)$，纵坐标为$a-b$，即$D(-a-b,a-b)$。
$\because$点D在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，将D点坐标代入解析式得：
$k=(-a-b)(a-b)=b^2-a^2$。
已知$S_{△ OAB}-S_{△ BCD}=10$，根据三角形面积公式：
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}a^2$，$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}b^2$，
代入得：$\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}b^2=10$，
两边同乘2整理得：$a^2-b^2=20$，即$b^2-a^2=-20$。
结合$k=b^2-a^2$，可得$k=-20$。
【答案】
$\boldsymbol{-20}$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 等腰直角三角形的性质
3. 平方差公式
【点评】
本题是反比例函数与等腰直角三角形结合的综合题，核心解题思路是用参数表示几何图形的边长和点坐标，结合函数性质和面积条件建立等式，通过整体变形求出k值，考查了数形结合思想和整体运算的能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的两个等腰直角三角形入手，设出两个等腰直角三角形的直角边长为参数，用参数表示出点D的横、纵坐标；再利用点D在反比例函数图象上，坐标满足函数解析式，得到k与参数的关系式；最后结合两个三角形的面积差条件，整理变形后即可求出k的值，过程中可利用平方差公式简化计算。
【解析】
设等腰直角$△ OAB$的直角边$AO=a$，等腰直角$△ BCD$的直角边$CD=b$。
$\because △ OAB$是等腰直角三角形，$∠ OAB=90°$，$\therefore AO=AB=a$；
$\because △ BCD$是等腰直角三角形，$∠ BCD=90°$，$\therefore CD=BC=b$。
由此可得点D的横坐标为$-(a+b)$，纵坐标为$a-b$，即$D(-a-b,a-b)$。
$\because$点D在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，将D点坐标代入解析式得：
$k=(-a-b)(a-b)=b^2-a^2$。
已知$S_{△ OAB}-S_{△ BCD}=10$，根据三角形面积公式：
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}a^2$，$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}b^2$，
代入得：$\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}b^2=10$，
两边同乘2整理得：$a^2-b^2=20$，即$b^2-a^2=-20$。
结合$k=b^2-a^2$，可得$k=-20$。
【答案】
$\boldsymbol{-20}$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 等腰直角三角形的性质
3. 平方差公式
【点评】
本题是反比例函数与等腰直角三角形结合的综合题，核心解题思路是用参数表示几何图形的边长和点坐标，结合函数性质和面积条件建立等式，通过整体变形求出k值，考查了数形结合思想和整体运算的能力。
【难度系数】
0.6
9.「2026 江苏南通海门二模」如图，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象过点C和菱形对角线的交点M，若菱形的边长为3，则k的值为（
A.2
B.$4\sqrt{2}$
C.4
D.$2\sqrt{2}$
D
）A.2
B.$4\sqrt{2}$
C.4
D.$2\sqrt{2}$
答案
∵ 菱形 OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上, $OA=3,$
$\therefore AM=CM,OC=OA=BC=AB=3,\therefore A(3,0),$
设 $C(x,y),\therefore M(\frac {x+3}{2},\frac {y}{2}),$
∵ 反比例函数 $y=\frac {k}{x}(x＞0)$ 的图象过点 C 和菱形对角线的交点 M,
$\therefore k=xy=\frac {x+3}{2}· \frac {y}{2}$,解得 $x=1,$
如图,过点 C 作 $CH⊥AO$ 于 H,则 $OH=1,$
$\therefore CH=\sqrt {3^{2}-1^{2}}=2\sqrt {2},\therefore C(1,2\sqrt {2}),\therefore k=1×2\sqrt {2}=$$2\sqrt {2}$.故选 D.
解析
【分析】
本题为反比例函数与菱形结合的综合题，解题思路如下：首先利用菱形的性质得到边长关系、对角线互相平分的特征，确定A点坐标与M为AC中点的结论；再设出点C的坐标，通过中点坐标公式表示出交点M的坐标；接下来结合反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于k的特征，建立方程求出点C的横坐标；最后过C作x轴垂线，用勾股定理求出点C的纵坐标，代入解析式即可算出k的值。
【解析】
解：
∵ 菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，菱形边长为3，
∴ $OC=OA=3$，菱形对角线互相平分，即M是AC的中点，且$A(3,0)$。
设点C的坐标为$(x,y)$，根据中点坐标公式，可得M点坐标为$( \frac{x+3}{2},\frac{y}{2} )$。
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象过点C和M，
∴ 两点横纵坐标的乘积均等于k，即$k=xy=\frac{x+3}{2} · \frac{y}{2}$，
∵y≠0，等式两边同时除以y，解得$x=1$。
过点C作$CH ⊥ AO$于H，则$OH=1$，
在$Rt△ OCH$中，由勾股定理得：$CH=\sqrt{OC^2-OH^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$，
∴ 点C坐标为$(1,2\sqrt{2})$，
∴ $k=1×2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；勾股定理
【点评】
本题是反比例函数与几何综合的常见题型，核心是灵活运用菱形的性质表示出中点坐标，结合反比例函数的特征建立方程求解，同时需要用勾股定理计算线段长度，重点考查对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
本题为反比例函数与菱形结合的综合题，解题思路如下：首先利用菱形的性质得到边长关系、对角线互相平分的特征，确定A点坐标与M为AC中点的结论；再设出点C的坐标，通过中点坐标公式表示出交点M的坐标；接下来结合反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于k的特征，建立方程求出点C的横坐标；最后过C作x轴垂线，用勾股定理求出点C的纵坐标，代入解析式即可算出k的值。
【解析】
解：
∵ 菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，菱形边长为3，
∴ $OC=OA=3$，菱形对角线互相平分，即M是AC的中点，且$A(3,0)$。
设点C的坐标为$(x,y)$，根据中点坐标公式，可得M点坐标为$( \frac{x+3}{2},\frac{y}{2} )$。
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象过点C和M，
∴ 两点横纵坐标的乘积均等于k，即$k=xy=\frac{x+3}{2} · \frac{y}{2}$，
∵y≠0，等式两边同时除以y，解得$x=1$。
过点C作$CH ⊥ AO$于H，则$OH=1$，
在$Rt△ OCH$中，由勾股定理得：$CH=\sqrt{OC^2-OH^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$，
∴ 点C坐标为$(1,2\sqrt{2})$，
∴ $k=1×2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；勾股定理
【点评】
本题是反比例函数与几何综合的常见题型，核心是灵活运用菱形的性质表示出中点坐标，结合反比例函数的特征建立方程求解，同时需要用勾股定理计算线段长度，重点考查对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
10.「2026江苏盐城亭湖一模」如图,点D是平行四边形OABC内一点,CD与x轴平行,BD与y轴平行,$BD=\sqrt{2}$,$∠ ADB=135°$,$S_{△ ABD}=2$,若反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象经过A,D两点,则k的值是
6
.答案
解析 如图,作 $AM⊥y$ 轴于 M,延长 BD,交 AM 于 E,设 BC 与 y 轴的交点为 N,
∵ 四边形 OABC 是平行四边形, $\therefore OA// BC,OA=BC,$
$\therefore ∠AOM=∠CNM,\because BD// y$ 轴, $\therefore ∠CBD=∠CNM,$
$\therefore ∠AOM=∠CBD,\because CD// x$ 轴, $BD// y$ 轴,
$\therefore ∠CDB=90^{\circ },\therefore ∠CDB=∠AMO,\therefore △AOM≌$$△CBD,\therefore OM=BD=\sqrt {2},\because S_{△ABD}=\frac {1}{2}BD· AE=2,$
$BD=\sqrt {2},\therefore AE=2\sqrt {2},\because ∠ADB=135^{\circ },\therefore ∠ADE=$$45^{\circ },\therefore △ADE$ 是等腰直角三角形, $\therefore DE=AE=2\sqrt {2},$
∴ D 的纵坐标为 $3\sqrt {2}$,设 $A(m,\sqrt {2})$,则 $D(m-2\sqrt {2},$$3\sqrt {2})$,
∵ 反比例函数 $y=\frac {k}{x}(x＞0)$ 的图象经过 A,D 两点, $\therefore k=\sqrt {2}m=(m-2\sqrt {2})×3\sqrt {2}$,解得 $m=3\sqrt {2},\therefore k=$$\sqrt {2}m=6.$
解析
【分析】
本题是反比例函数与平行四边形结合的综合题，解题思路如下：第一步，利用平行四边形对边平行且相等的性质，构造辅助线证明△AOM和△CBD全等，得到OM=BD；第二步，利用△ABD的面积公式求出AE的长度，再结合∠ADB=135°推出△ADE是等腰直角三角形，得到DE的长度，进而得到A、D两点坐标的关系；第三步，设出A点坐标，表示出D点坐标，利用反比例函数图象上的点横纵坐标乘积等于k，列方程求解即可得到k的值。
【解析】
如图，作 $AM⊥y$ 轴于 M，延长 BD，交 AM 于 E，设 BC 与 y 轴的交点为 N，
∵ 四边形 OABC 是平行四边形，$\therefore OA// BC,OA=BC$，
$\therefore ∠AOM=∠CNM$，$\because BD// y$ 轴，$\therefore ∠CBD=∠CNM$，
$\therefore ∠AOM=∠CBD$，$\because CD// x$ 轴，$BD// y$ 轴，
$\therefore ∠CDB=90^{\circ }$，$\therefore ∠CDB=∠AMO$，$\therefore △AOM≌△CBD(AAS)$，$\therefore OM=BD=\sqrt{2}$，
$\because S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD· AE=2$，$BD=\sqrt{2}$，$\therefore AE=2\sqrt{2}$，
$\because ∠ADB=135^{\circ }$，$\therefore ∠ADE=180°-135°=45^{\circ }$，
又$\because AE⊥BD$，$\therefore △ADE$ 是等腰直角三角形，$\therefore DE=AE=2\sqrt{2}$，
∴ D的纵坐标为 $OM+DE=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，
设 $A(m,\sqrt{2})$，则D点的横坐标为 $m-AE=m-2\sqrt{2}$，即 $D(m-2\sqrt{2},3\sqrt{2})$，
∵ 反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 的图象经过 A,D 两点，
$\therefore k=\sqrt{2}m=3\sqrt{2}(m-2\sqrt{2})$，
解方程得 $m=3\sqrt{2}$，$\therefore k=\sqrt{2}×3\sqrt{2}=6$。
【答案】
6
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；反比例函数的性质
【点评】
本题为反比例函数与几何图形的综合题，将平行四边形性质、全等三角形、等腰直角三角形性质与反比例函数系数k的求解相结合，解题的关键是合理构造辅助线，建立几何量与点坐标之间的联系，对学生的几何分析和代数计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
本题是反比例函数与平行四边形结合的综合题，解题思路如下：第一步，利用平行四边形对边平行且相等的性质，构造辅助线证明△AOM和△CBD全等，得到OM=BD；第二步，利用△ABD的面积公式求出AE的长度，再结合∠ADB=135°推出△ADE是等腰直角三角形，得到DE的长度，进而得到A、D两点坐标的关系；第三步，设出A点坐标，表示出D点坐标，利用反比例函数图象上的点横纵坐标乘积等于k，列方程求解即可得到k的值。
【解析】
如图，作 $AM⊥y$ 轴于 M，延长 BD，交 AM 于 E，设 BC 与 y 轴的交点为 N，
∵ 四边形 OABC 是平行四边形，$\therefore OA// BC,OA=BC$，
$\therefore ∠AOM=∠CNM$，$\because BD// y$ 轴，$\therefore ∠CBD=∠CNM$，
$\therefore ∠AOM=∠CBD$，$\because CD// x$ 轴，$BD// y$ 轴，
$\therefore ∠CDB=90^{\circ }$，$\therefore ∠CDB=∠AMO$，$\therefore △AOM≌△CBD(AAS)$，$\therefore OM=BD=\sqrt{2}$，
$\because S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD· AE=2$，$BD=\sqrt{2}$，$\therefore AE=2\sqrt{2}$，
$\because ∠ADB=135^{\circ }$，$\therefore ∠ADE=180°-135°=45^{\circ }$，
又$\because AE⊥BD$，$\therefore △ADE$ 是等腰直角三角形，$\therefore DE=AE=2\sqrt{2}$，
∴ D的纵坐标为 $OM+DE=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，
设 $A(m,\sqrt{2})$，则D点的横坐标为 $m-AE=m-2\sqrt{2}$，即 $D(m-2\sqrt{2},3\sqrt{2})$，
∵ 反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 的图象经过 A,D 两点，
$\therefore k=\sqrt{2}m=3\sqrt{2}(m-2\sqrt{2})$，
解方程得 $m=3\sqrt{2}$，$\therefore k=\sqrt{2}×3\sqrt{2}=6$。
【答案】
6
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；反比例函数的性质
【点评】
本题为反比例函数与几何图形的综合题，将平行四边形性质、全等三角形、等腰直角三角形性质与反比例函数系数k的求解相结合，解题的关键是合理构造辅助线，建立几何量与点坐标之间的联系，对学生的几何分析和代数计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
11.如图,在矩形OABC中,$AB=3$,$BC=6$,点D是边AB上的点且$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象经过点D,交BC边于点E,作直线DE.
(1)直接写出反比例函数的表达式:________,连接OD,OE直接写出$△ ODE$的面积:________.
(2)在y轴上找一点P,使$△ PDE$的周长最小,求出此时点P的坐标.
(3)若点M在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上,点N在y轴上,是否存在以D,E,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
备用图
(1)直接写出反比例函数的表达式:________,连接OD,OE直接写出$△ ODE$的面积:________.
(2)在y轴上找一点P,使$△ PDE$的周长最小,求出此时点P的坐标.
(3)若点M在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上,点N在y轴上,是否存在以D,E,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
备用图
答案
(1)$y=\frac {6}{x};8$.详解:由题意得 $D(1,6),\therefore k=1×$$6=6,\therefore $ 反比例函数的表达式为 $y=\frac {6}{x}$.当 $x=3$ 时, $y=$$\frac {6}{3}=2,\therefore E(3,2),\therefore BD=AB-AD=2,BE=BC-EC=$$4,\therefore S_{△ODE}=S_{矩形OABC}-S_{△OAD}-S_{△OCE}-S_{△BDE}=AB· BC-$$\frac {1}{2}|k|-\frac {1}{2}|k|-\frac {1}{2}BD· BE=8.$
(2)如图,作点 E 关于 y 轴的对称点 $E'$,连接 $DE'$ 交y 轴于 P,连接 PE,此时 $△PDE$ 的周长取得最小值,最小值为 $DE+DE'$,
由(1)得 $E(3,2),\therefore E'(-3,2),$
设直线 $DE'$ 的表达式为 $y=ax+b,$
将 $D(1,6),E'(-3,2)$ 代入,得
$\{\begin{array}{l} a+b=6,\\ -3a+b=2,\end{array} $ 解得 $\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=5,\end{array} $
∴ 直线 $DE'$ 的表达式为 $y=x+5,$
当 $x=0$ 时, $y=5,\therefore P(0,5).$
(3)存在.点 M 的坐标为 $(4,\frac {3}{2})$ 或 $(2,3).$
设 $M(m,\frac {6}{m}),N(0,n),$
$\because D(1,6),E(3,2),$
∴ ①当 MN,DE 为对角线时,
$\{\begin{array}{l} \frac {m+0}{2}=\frac {1+3}{2},\\ \frac {\frac {6}{m}+n}{2}=\frac {6+2}{2},\end{array} $ 解得 $\{\begin{array}{l} m=4,\\ n=\frac {13}{2},\end{array} \therefore M(4,\frac {3}{2});$
②当 MD,NE 为对角线时,
$\{\begin{array}{l} \frac {m+1}{2}=\frac {0+3}{2},\\ \frac {\frac {6}{m}+6}{2}=\frac {n+2}{2},\end{array} $ 解得 $\{\begin{array}{l} m=2,\\ n=7,\end{array} \therefore M(2,3);$
③当 ME,ND 为对角线时,
$\{\begin{array}{l} \frac {m+3}{2}=\frac {0+1}{2},\\ \frac {\frac {6}{m}+2}{2}=\frac {n+6}{2},\end{array} $ 解得 $\{\begin{array}{l} m=-2,\\ n=-7,\end{array} $
$\therefore M(-2,-3)$(不符合题意,舍去).
综上所述,存在以 D,E,M,N 为顶点的四边形是平行四边形,点 M 的坐标为 $(4,\frac {3}{2})$ 或 $(2,3).$
解析
【分析】
(1) 先根据矩形边长和AD、BD的比例求出点D坐标，代入反比例函数即可求出解析式；再求出点E坐标，利用割补法，用矩形面积减去周围三个小三角形的面积，即可算出△ODE的面积。
(2) △PDE的周长中DE长度固定，要周长最小只需PD+PE最小。利用轴对称性质，作E关于y轴的对称点E'，则PE=PE'，当D、P、E'三点共线时PD+PE'最小，求出直线DE'与y轴的交点即为P点。
(3) 平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论对角线的组合，利用中点坐标相等列方程组求解，再结合反比例函数自变量x＞0的范围舍去不符合的解。
【解析】
(1) 由矩形OABC的性质得A(0,6)，B(3,6)，C(3,0)。
∵$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$，AB=3，
∴AD=1，即D(1,6)。
将D(1,6)代入$y=\frac{k}{x}$得$k=1×6=6$，故反比例函数表达式为$y=\frac{6}{x}$。
E在BC边上，横坐标为3，代入$y=\frac{6}{x}$得$y=2$，即E(3,2)。
$S_{矩形OABC}=3×6=18$，$S_{△ OAD}=\frac{1}{2}×6×1=3$，$S_{△ OCE}=\frac{1}{2}×3×2=3$，$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}×2×4=4$，
∴$S_{△ ODE}=18-3-3-4=8$。
(2) 作点E关于y轴的对称点$E'(-3,2)$，连接$DE'$交y轴于P，此时PD+PE=PD+PE'=DE'最小，△PDE周长最小。
设直线$DE'$的解析式为$y=ax+b$，代入D(1,6)、$E'(-3,2)$得：
$\begin{cases} a+b=6 \\ -3a+b=2 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a=1 \\ b=5 \end{cases}$，
∴直线$DE'$的解析式为$y=x+5$，令$x=0$得$y=5$，即P(0,5)。
(3) 设$M(m,\frac{6}{m})$，$N(0,n)$，分三种情况讨论：
①当MN、DE为对角线时：
$\begin{cases} \frac{m+0}{2}=\frac{1+3}{2} \\ \frac{\frac{6}{m}+n}{2}=\frac{6+2}{2} \end{cases}$，解得$\begin{cases} m=4 \\ n=\frac{13}{2} \end{cases}$，即$M(4,\frac{3}{2})$；
②当MD、NE为对角线时：
$\begin{cases} \frac{m+1}{2}=\frac{0+3}{2} \\ \frac{\frac{6}{m}+6}{2}=\frac{n+2}{2} \end{cases}$，解得$\begin{cases} m=2 \\ n=7 \end{cases}$，即$M(2,3)$；
③当ME、ND为对角线时：
$\begin{cases} \frac{m+3}{2}=\frac{0+1}{2} \\ \frac{\frac{6}{m}+2}{2}=\frac{n+6}{2} \end{cases}$，解得$\begin{cases} m=-2 \\ n=-7 \end{cases}$，不符合$x＞0$的要求，舍去。
综上，符合条件的M点坐标为$(4,\frac{3}{2})$或$(2,3)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$；$\boldsymbol{8}$
(2) $\boldsymbol{P(0,5)}$
(3) 存在，点M的坐标为$\boldsymbol{(4,\frac{3}{2})}$或$\boldsymbol{(2,3)}$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，最短路径问题，平行四边形的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，考察了坐标求解、割补法算面积、轴对称最短路径、平行四边形性质等内容，解题时要灵活运用分类讨论思想，注意结合自变量取值范围舍去不合理解。
【难度系数】
0.6
(1) 先根据矩形边长和AD、BD的比例求出点D坐标，代入反比例函数即可求出解析式；再求出点E坐标，利用割补法，用矩形面积减去周围三个小三角形的面积，即可算出△ODE的面积。
(2) △PDE的周长中DE长度固定，要周长最小只需PD+PE最小。利用轴对称性质，作E关于y轴的对称点E'，则PE=PE'，当D、P、E'三点共线时PD+PE'最小，求出直线DE'与y轴的交点即为P点。
(3) 平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论对角线的组合，利用中点坐标相等列方程组求解，再结合反比例函数自变量x＞0的范围舍去不符合的解。
【解析】
(1) 由矩形OABC的性质得A(0,6)，B(3,6)，C(3,0)。
∵$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$，AB=3，
∴AD=1，即D(1,6)。
将D(1,6)代入$y=\frac{k}{x}$得$k=1×6=6$，故反比例函数表达式为$y=\frac{6}{x}$。
E在BC边上，横坐标为3，代入$y=\frac{6}{x}$得$y=2$，即E(3,2)。
$S_{矩形OABC}=3×6=18$，$S_{△ OAD}=\frac{1}{2}×6×1=3$，$S_{△ OCE}=\frac{1}{2}×3×2=3$，$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}×2×4=4$，
∴$S_{△ ODE}=18-3-3-4=8$。
(2) 作点E关于y轴的对称点$E'(-3,2)$，连接$DE'$交y轴于P，此时PD+PE=PD+PE'=DE'最小，△PDE周长最小。
设直线$DE'$的解析式为$y=ax+b$，代入D(1,6)、$E'(-3,2)$得：
$\begin{cases} a+b=6 \\ -3a+b=2 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a=1 \\ b=5 \end{cases}$，
∴直线$DE'$的解析式为$y=x+5$，令$x=0$得$y=5$，即P(0,5)。
(3) 设$M(m,\frac{6}{m})$，$N(0,n)$，分三种情况讨论：
①当MN、DE为对角线时：
$\begin{cases} \frac{m+0}{2}=\frac{1+3}{2} \\ \frac{\frac{6}{m}+n}{2}=\frac{6+2}{2} \end{cases}$，解得$\begin{cases} m=4 \\ n=\frac{13}{2} \end{cases}$，即$M(4,\frac{3}{2})$；
②当MD、NE为对角线时：
$\begin{cases} \frac{m+1}{2}=\frac{0+3}{2} \\ \frac{\frac{6}{m}+6}{2}=\frac{n+2}{2} \end{cases}$，解得$\begin{cases} m=2 \\ n=7 \end{cases}$，即$M(2,3)$；
③当ME、ND为对角线时：
$\begin{cases} \frac{m+3}{2}=\frac{0+1}{2} \\ \frac{\frac{6}{m}+2}{2}=\frac{n+6}{2} \end{cases}$，解得$\begin{cases} m=-2 \\ n=-7 \end{cases}$，不符合$x＞0$的要求，舍去。
综上，符合条件的M点坐标为$(4,\frac{3}{2})$或$(2,3)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$；$\boldsymbol{8}$
(2) $\boldsymbol{P(0,5)}$
(3) 存在，点M的坐标为$\boldsymbol{(4,\frac{3}{2})}$或$\boldsymbol{(2,3)}$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，最短路径问题，平行四边形的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，考察了坐标求解、割补法算面积、轴对称最短路径、平行四边形性质等内容，解题时要灵活运用分类讨论思想，注意结合自变量取值范围舍去不合理解。
【难度系数】
0.6
