登录
根据以下素材,回答问题:
素材1:在魏晋时期,数学家刘徽首创割圆术,为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法. 所谓割圆术,即通过圆内接正多边形细割圆,并使正多边形的周长与面积无限接近圆的周长与面积,进而求得较为精确的圆周率. 刘徽形容“割圆术”:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣.”
素材2:“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据:设实数$ x $的不足近似值和过剩近似值分别为$ \frac{b}{a} $和$ \frac{d}{c} $(即有$ \frac{b}{a} ＜ x ＜ \frac{d}{c} $,其中$ a,b,c,d $为正整数),则$ \frac{b + d}{a + c} $是$ x $的更为精确的近似值. 例如:已知$ \frac{7}{5} ＜ \sqrt{2} ＜ \frac{3}{2} $,则利用一次“调日法”后可得到$ \sqrt{2} $的一个更为精确的近似分数为$ \frac{7 + 3}{5 + 2} = \frac{10}{7} $;$ \because \frac{10}{7} ＞ \sqrt{2}, \therefore \frac{7}{5} ＜ \sqrt{2} ＜ \frac{10}{7} $,之后可以再次使用“调日法”得到$ \sqrt{2} $的更为精确的近似分数.
(1)任务1:①如图1,已知圆的内接正六边形可分为六个全等的等边三角形,每个三角形的边长均为圆的半径$ R $. 若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长,则可得$ π $的估计值为
②如图2,已知圆的内接正十二边形可分为十二个全等的等腰三角形,且等腰三角形的顶角为$ 30° $,圆的半径为$ R $. 若将圆内接正十二边形的面积等同于圆的面积,则可得$ π $的估计值为
(2)任务2:约公元前240年,阿基米德算得$ 3\frac{10}{71} ＜ π ＜ 3\frac{1}{7} $,已知$ \frac{245}{78} ＜ π $,请在此基础上使用两次“调日法”得到$ π $的更为精确的近似分数.
素材1:在魏晋时期,数学家刘徽首创割圆术,为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法. 所谓割圆术,即通过圆内接正多边形细割圆,并使正多边形的周长与面积无限接近圆的周长与面积,进而求得较为精确的圆周率. 刘徽形容“割圆术”:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣.”
素材2:“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据:设实数$ x $的不足近似值和过剩近似值分别为$ \frac{b}{a} $和$ \frac{d}{c} $(即有$ \frac{b}{a} ＜ x ＜ \frac{d}{c} $,其中$ a,b,c,d $为正整数),则$ \frac{b + d}{a + c} $是$ x $的更为精确的近似值. 例如:已知$ \frac{7}{5} ＜ \sqrt{2} ＜ \frac{3}{2} $,则利用一次“调日法”后可得到$ \sqrt{2} $的一个更为精确的近似分数为$ \frac{7 + 3}{5 + 2} = \frac{10}{7} $;$ \because \frac{10}{7} ＞ \sqrt{2}, \therefore \frac{7}{5} ＜ \sqrt{2} ＜ \frac{10}{7} $,之后可以再次使用“调日法”得到$ \sqrt{2} $的更为精确的近似分数.
(1)任务1:①如图1,已知圆的内接正六边形可分为六个全等的等边三角形,每个三角形的边长均为圆的半径$ R $. 若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长,则可得$ π $的估计值为
3
.②如图2,已知圆的内接正十二边形可分为十二个全等的等腰三角形,且等腰三角形的顶角为$ 30° $,圆的半径为$ R $. 若将圆内接正十二边形的面积等同于圆的面积,则可得$ π $的估计值为
3
.(2)任务2:约公元前240年,阿基米德算得$ 3\frac{10}{71} ＜ π ＜ 3\frac{1}{7} $,已知$ \frac{245}{78} ＜ π $,请在此基础上使用两次“调日法”得到$ π $的更为精确的近似分数.
答案
解:(1)①3
根据题意,知$6R=2πR$,解得$π=3$.
②3
如图,过点B作$BC⊥OA$于点C.
∵$∠BOC=30°,OB=OA=R$,
∴$BC=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}R$,
∴$S_{△AOB}=\frac{1}{2}OA·BC=\frac{1}{2}R×\frac{1}{2}R=\frac{1}{4}R^2$.
∵正十二边形的面积等同于圆的面积,
∴$12×\frac{1}{4}R^2=πR^2$,解得$π=3$.
(2)
∵$3\frac{10}{71} ＜ π ＜ 3\frac{1}{7}$,即$\frac{223}{71} ＜ π ＜ \frac{22}{7}$,
利用一次“调日法”可得π的更为精确的近似分数为$\frac{223+22}{71+7}=\frac{245}{78}$.
∵$\frac{245}{78} ＜ π$,
∴$\frac{245}{78} ＜ π ＜ \frac{22}{7}$,
再利用一次“调日法”可得π的更为精确的近似分数为$\frac{245+22}{78+7}=\frac{267}{85}$.
解析
【分析】
任务1①：思路是将正六边形周长等同于圆周长，先求出正六边形的周长，再结合圆周长公式列等式，即可求解π的估计值。
任务1②：思路是将正十二边形面积等同于圆面积，先作辅助线求出单个等腰三角形的高，利用三角形面积公式算出单个三角形面积，乘12得到正十二边形面积，再和圆面积公式列等式求解π的估计值。
任务2：首先将π范围的上下限化为假分数，按照“调日法”的规则，第一次将范围上下限的分子、分母分别相加得到新的近似值，结合已知条件更新π的近似范围，再对新范围用一次“调日法”，即可得到两次调日后的近似分数。
【解析】
(1)①正六边形的边长等于圆的半径$R$，因此正六边形的周长为$6R$。根据题意，正六边形周长等同于圆周长，圆周长公式为$2πR$，因此列等式：$6R=2πR$，$R≠0$，两边同时除以$2R$，解得$π=3$。
②过点B作$BC⊥OA$于点C，
已知等腰$△ AOB$的顶角$∠ AOB=30°$，$OB=OA=R$，在$Rt△ BOC$中，$∠ BOC=30°$，因此30°角所对的直角边$BC=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}R$。
单个$△ AOB$的面积为$\frac{1}{2}×OA×BC=\frac{1}{2}×R×\frac{1}{2}R=\frac{1}{4}R^2$。
正十二边形由12个全等的$△ AOB$组成，因此正十二边形的面积为$12×\frac{1}{4}R^2=3R^2$。
根据题意，正十二边形面积等同于圆面积，圆面积公式为$πR^2$，因此列等式：$3R^2=πR^2$，$R≠0$，两边同时除以$R^2$，解得$π=3$。
(2)先将$π$范围的上下限化为假分数：$3\frac{10}{71}=\frac{223}{71}$，$3\frac{1}{7}=\frac{22}{7}$，因此初始范围为$\frac{223}{71} ＜ π ＜ \frac{22}{7}$。
第一次使用“调日法”：将上下限的分子、分母分别相加，得到近似分数$\frac{223+22}{71+7}=\frac{245}{78}$。
已知$\frac{245}{78}＜π$，因此更新$π$的范围为$\frac{245}{78} ＜ π ＜ \frac{22}{7}$。
第二次使用“调日法”：将新范围的上下限分子、分母分别相加，得到近似分数$\frac{245+22}{78+7}=\frac{267}{85}$。
【答案】
(1)①$3$；②$3$，
(2)$\frac{267}{85}$
【知识点】
正多边形与圆的计算，含30°直角三角形的性质，新定义运算
【点评】
本题结合我国古代“割圆术”和“调日法”的数学史料设题，既考查了正多边形与圆的周长、面积关联计算，也考查了对新定义算法的理解应用能力，能够引导学生了解古代数学成就，提升阅读理解和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
任务1①：思路是将正六边形周长等同于圆周长，先求出正六边形的周长，再结合圆周长公式列等式，即可求解π的估计值。
任务1②：思路是将正十二边形面积等同于圆面积，先作辅助线求出单个等腰三角形的高，利用三角形面积公式算出单个三角形面积，乘12得到正十二边形面积，再和圆面积公式列等式求解π的估计值。
任务2：首先将π范围的上下限化为假分数，按照“调日法”的规则，第一次将范围上下限的分子、分母分别相加得到新的近似值，结合已知条件更新π的近似范围，再对新范围用一次“调日法”，即可得到两次调日后的近似分数。
【解析】
(1)①正六边形的边长等于圆的半径$R$，因此正六边形的周长为$6R$。根据题意，正六边形周长等同于圆周长，圆周长公式为$2πR$，因此列等式：$6R=2πR$，$R≠0$，两边同时除以$2R$，解得$π=3$。
②过点B作$BC⊥OA$于点C，
已知等腰$△ AOB$的顶角$∠ AOB=30°$，$OB=OA=R$，在$Rt△ BOC$中，$∠ BOC=30°$，因此30°角所对的直角边$BC=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}R$。
单个$△ AOB$的面积为$\frac{1}{2}×OA×BC=\frac{1}{2}×R×\frac{1}{2}R=\frac{1}{4}R^2$。
正十二边形由12个全等的$△ AOB$组成，因此正十二边形的面积为$12×\frac{1}{4}R^2=3R^2$。
根据题意，正十二边形面积等同于圆面积，圆面积公式为$πR^2$，因此列等式：$3R^2=πR^2$，$R≠0$，两边同时除以$R^2$，解得$π=3$。
(2)先将$π$范围的上下限化为假分数：$3\frac{10}{71}=\frac{223}{71}$，$3\frac{1}{7}=\frac{22}{7}$，因此初始范围为$\frac{223}{71} ＜ π ＜ \frac{22}{7}$。
第一次使用“调日法”：将上下限的分子、分母分别相加，得到近似分数$\frac{223+22}{71+7}=\frac{245}{78}$。
已知$\frac{245}{78}＜π$，因此更新$π$的范围为$\frac{245}{78} ＜ π ＜ \frac{22}{7}$。
第二次使用“调日法”：将新范围的上下限分子、分母分别相加，得到近似分数$\frac{245+22}{78+7}=\frac{267}{85}$。
【答案】
(1)①$3$；②$3$，
(2)$\frac{267}{85}$
【知识点】
正多边形与圆的计算，含30°直角三角形的性质，新定义运算
【点评】
本题结合我国古代“割圆术”和“调日法”的数学史料设题，既考查了正多边形与圆的周长、面积关联计算，也考查了对新定义算法的理解应用能力，能够引导学生了解古代数学成就，提升阅读理解和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
