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9 [2024 吴江区期末]比较大小：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
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0.618(填“＞”“＜”或“=”)答案
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解析
【分析】
要比较两个实数的大小，我们可以先估算无理数$\sqrt{5}$的近似值，再代入左侧的代数式计算出结果，最后和0.618比较大小即可。初中阶段要求牢记常见无理数的近似值，其中$\sqrt{5}\approx2.236$，代入计算就能快速得出结果。
【解析】
解：已知$\sqrt{5}\approx2.23607$，
则$\sqrt{5}-1\approx2.23607-1=1.23607$，
因此$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx1.23607÷2=0.618035$，
因为$0.618035＞0.618$，
所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞0.618$。
【答案】
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【知识点】
实数大小比较；无理数的估算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握常见无理数的近似值，通过估算代数式的值来比较大小，也可采用作差法等其他方法验证结果。
【难度系数】
0.8
要比较两个实数的大小，我们可以先估算无理数$\sqrt{5}$的近似值，再代入左侧的代数式计算出结果，最后和0.618比较大小即可。初中阶段要求牢记常见无理数的近似值，其中$\sqrt{5}\approx2.236$，代入计算就能快速得出结果。
【解析】
解：已知$\sqrt{5}\approx2.23607$，
则$\sqrt{5}-1\approx2.23607-1=1.23607$，
因此$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx1.23607÷2=0.618035$，
因为$0.618035＞0.618$，
所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞0.618$。
【答案】
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【知识点】
实数大小比较；无理数的估算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握常见无理数的近似值，通过估算代数式的值来比较大小，也可采用作差法等其他方法验证结果。
【难度系数】
0.8
10 数轴上到原点的距离小于$\sqrt{5}$的点表示的整数是
$0,\pm1,\pm2$
。答案
$0,\pm1,\pm2$
解析
【分析】
解题时首先要明确数轴上点到原点的距离等于该点所表示数的绝对值，因此先将题目的距离条件转化为绝对值不等式；其次需要估算无理数$\sqrt{5}$的取值范围，确定不等式的边界值；最后在边界值对应的区间内找出所有整数即可，注意不要遗漏负整数和0。
【解析】
设数轴上满足条件的点表示的数为$x$。
根据数轴上点到原点的距离的定义，可得：$\vert x\vert ＜ \sqrt{5}$
先估算$\sqrt{5}$的大小：
$\because 4 ＜ 5 ＜ 9$
$\therefore \sqrt{4} ＜ \sqrt{5} ＜ \sqrt{9}$，即$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$
因此不等式$\vert x\vert ＜ \sqrt{5}$可转化为：$-\sqrt{5} ＜ x ＜ \sqrt{5}$
结合$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$，可知该区间内的整数为$-2、-1、0、1、2$。
【答案】
$0,\pm1,\pm2$
【知识点】
绝对值的几何意义，无理数的估算，数轴的性质
【点评】
本题是基础题型，核心是将数轴上的距离条件转化为代数的绝对值不等式，再结合无理数的估算确定取值范围，解题时要注意整数包含正整数、负整数和0，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确数轴上点到原点的距离等于该点所表示数的绝对值，因此先将题目的距离条件转化为绝对值不等式；其次需要估算无理数$\sqrt{5}$的取值范围，确定不等式的边界值；最后在边界值对应的区间内找出所有整数即可，注意不要遗漏负整数和0。
【解析】
设数轴上满足条件的点表示的数为$x$。
根据数轴上点到原点的距离的定义，可得：$\vert x\vert ＜ \sqrt{5}$
先估算$\sqrt{5}$的大小：
$\because 4 ＜ 5 ＜ 9$
$\therefore \sqrt{4} ＜ \sqrt{5} ＜ \sqrt{9}$，即$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$
因此不等式$\vert x\vert ＜ \sqrt{5}$可转化为：$-\sqrt{5} ＜ x ＜ \sqrt{5}$
结合$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$，可知该区间内的整数为$-2、-1、0、1、2$。
【答案】
$0,\pm1,\pm2$
【知识点】
绝对值的几何意义，无理数的估算，数轴的性质
【点评】
本题是基础题型，核心是将数轴上的距离条件转化为代数的绝对值不等式，再结合无理数的估算确定取值范围，解题时要注意整数包含正整数、负整数和0，避免漏解。
【难度系数】
0.7
11 教材P73“活动”变式 请将图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来，再把下列各数用“＞”连接起来.
答案
$A:-π,E:-\sqrt{5},B:-1.5,D:0.4,F:\sqrt{3},C:\sqrt{10}$
$\sqrt{10}＞\sqrt{3}＞0.4＞-1.5＞-\sqrt{5}＞-π$
$\sqrt{10}＞\sqrt{3}＞0.4＞-1.5＞-\sqrt{5}＞-π$
解析
【分析】
解题分两步进行：第一步先估算所有无理数的近似值，方便匹配数轴上的点；第二步结合数轴特征（原点左侧为负数、右侧为正数，越靠右的数越大），将各点和对应数值匹配，最后按照数轴从右到左的顺序即可完成从大到小的排序。首先估算无理数范围：√3在1~2之间，-√5在-3~-2之间，-π在-4~-3之间，√10在3~4之间，再对应各点所在区间就能一一匹配，排序时可直接利用数轴特征，也可结合“正数＞0＞负数，负数比较时绝对值大的数更小”的规则完成。
【解析】
1. 先估算各无理数的近似值：
$\sqrt{3}\approx1.73$，$-\sqrt{5}\approx-2.24$，$-π\approx-3.14$，$\sqrt{10}\approx3.16$
2. 匹配数轴上的点：
点A在-3和-4之间，对应$-π$；
点E在-2和-3之间，对应$-\sqrt{5}$；
点B在-1和-2的中点附近，对应$-1.5$；
点D在0和1之间，对应$0.4$；
点F在1和2之间，对应$\sqrt{3}$；
点C在3和4之间，对应$\sqrt{10}$。
3. 大小排序：根据数轴上右边的数总大于左边的数，从大到小排列为：$\sqrt{10}＞\sqrt{3}＞0.4＞-1.5＞-\sqrt{5}＞-π$
【答案】
$A:-π,E:-\sqrt{5},B:-1.5,D:0.4,F:\sqrt{3},C:\sqrt{10}$
$\sqrt{10}＞\sqrt{3}＞0.4＞-1.5＞-\sqrt{5}＞-π$
【知识点】
实数与数轴的对应；无理数的估算；实数大小比较
【点评】
本题侧重考查无理数估算能力和数轴的应用，借助数轴判断实数大小更加直观，能有效避免负数比较时易出错的问题，掌握估算无理数范围的方法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
解题分两步进行：第一步先估算所有无理数的近似值，方便匹配数轴上的点；第二步结合数轴特征（原点左侧为负数、右侧为正数，越靠右的数越大），将各点和对应数值匹配，最后按照数轴从右到左的顺序即可完成从大到小的排序。首先估算无理数范围：√3在1~2之间，-√5在-3~-2之间，-π在-4~-3之间，√10在3~4之间，再对应各点所在区间就能一一匹配，排序时可直接利用数轴特征，也可结合“正数＞0＞负数，负数比较时绝对值大的数更小”的规则完成。
【解析】
1. 先估算各无理数的近似值：
$\sqrt{3}\approx1.73$，$-\sqrt{5}\approx-2.24$，$-π\approx-3.14$，$\sqrt{10}\approx3.16$
2. 匹配数轴上的点：
点A在-3和-4之间，对应$-π$；
点E在-2和-3之间，对应$-\sqrt{5}$；
点B在-1和-2的中点附近，对应$-1.5$；
点D在0和1之间，对应$0.4$；
点F在1和2之间，对应$\sqrt{3}$；
点C在3和4之间，对应$\sqrt{10}$。
3. 大小排序：根据数轴上右边的数总大于左边的数，从大到小排列为：$\sqrt{10}＞\sqrt{3}＞0.4＞-1.5＞-\sqrt{5}＞-π$
【答案】
$A:-π,E:-\sqrt{5},B:-1.5,D:0.4,F:\sqrt{3},C:\sqrt{10}$
$\sqrt{10}＞\sqrt{3}＞0.4＞-1.5＞-\sqrt{5}＞-π$
【知识点】
实数与数轴的对应；无理数的估算；实数大小比较
【点评】
本题侧重考查无理数估算能力和数轴的应用，借助数轴判断实数大小更加直观，能有效避免负数比较时易出错的问题，掌握估算无理数范围的方法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
12 如图，在长方形ABCD中，∠DAE=∠CBE=45°，AD=1，分别写出长度为有理数的线段与长度为无理数的线段。
答案
过点 E 作$EH⊥ AB$,垂足为 H,则可得两个边长都为 1 的正方形 AHED 与正方形 HBCE,因此原图中长度为有理数的线段:AD,DE,CE,BC,DC,AB,长度为无理数的线段:AE,BE
解析
【分析】
解题时首先利用长方形的性质得到内角为直角、对边相等的结论，结合已知的45°角可判断出△ADE和△BCE都是等腰直角三角形，接下来分别计算图中所有线段的长度，最后根据有理数和无理数的定义对线段分类即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=∠C=90°，AD=BC=1，AB=DC。
∵∠DAE=45°，∠D=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AD=1，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
同理，
∵∠CBE=45°，∠C=90°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BC=1，
由勾股定理得：$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
∴DC=DE+CE=1+1=2，
∴AB=DC=2。
长度为1、2的数是有理数，长度为$\sqrt{2}$的数是无理数，据此分类即可。
【答案】
长度为有理数的线段:AD,DE,CE,BC,DC,AB；长度为无理数的线段:AE,BE
【知识点】
长方形的性质、勾股定理、实数的分类
【点评】
本题属于基础综合题，将几何线段长度计算和实数分类结合考查，解题的关键是准确计算出所有线段的长度，再根据有理数、无理数的定义判断分类即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用长方形的性质得到内角为直角、对边相等的结论，结合已知的45°角可判断出△ADE和△BCE都是等腰直角三角形，接下来分别计算图中所有线段的长度，最后根据有理数和无理数的定义对线段分类即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=∠C=90°，AD=BC=1，AB=DC。
∵∠DAE=45°，∠D=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AD=1，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
同理，
∵∠CBE=45°，∠C=90°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BC=1，
由勾股定理得：$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
∴DC=DE+CE=1+1=2，
∴AB=DC=2。
长度为1、2的数是有理数，长度为$\sqrt{2}$的数是无理数，据此分类即可。
【答案】
长度为有理数的线段:AD,DE,CE,BC,DC,AB；长度为无理数的线段:AE,BE
【知识点】
长方形的性质、勾股定理、实数的分类
【点评】
本题属于基础综合题，将几何线段长度计算和实数分类结合考查，解题的关键是准确计算出所有线段的长度，再根据有理数、无理数的定义判断分类即可。
【难度系数】
0.8
13 新情境 游戏活动 如图,半径为1个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合,AB是圆片的直径.
(第13题)
（1）把圆片沿数轴向左滚动$\frac{1}{2}$周,点B到达数轴上点C的位置,则点C所表示的数是
（2）把圆片沿数轴滚动2周,点A到达数轴上点D的位置,则点D所表示的数是
（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数,圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数,第一次到第五次的滚动情况如下:+2,-1,+3,-4,-3.
① 第几次滚动后,点A距离原点最近? 第几次滚动后,点A距离原点最远?
② 当圆片结束滚动时,求点A滚动的总路程和此时点A所表示的数.
(第13题)（1）把圆片沿数轴向左滚动$\frac{1}{2}$周,点B到达数轴上点C的位置,则点C所表示的数是
$-π$
.（2）把圆片沿数轴滚动2周,点A到达数轴上点D的位置,则点D所表示的数是
$4π或-4π$
.（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数,圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数,第一次到第五次的滚动情况如下:+2,-1,+3,-4,-3.
① 第几次滚动后,点A距离原点最近? 第几次滚动后,点A距离原点最远?
② 当圆片结束滚动时,求点A滚动的总路程和此时点A所表示的数.
答案
(1) $-π$
(2) $4π$ 或 $-4π$
(3) ① 根据题意,第一次滚动后距离原点$2π×2=4π$,第二次滚动后距离原点$2π$,第三次滚动后距离原点$4×2π=8π$,第四次滚动后距离原点$0×2π=0$,第五次滚动后距离原点$3×2π=6π$,$\therefore$ 第四次滚动后,点 A 距离原点最近,第三次滚动后,点 A 距离原点最远
② $\because |+2|+|-1|+|+3|+|-4|+|-3|=13,\therefore$ 点 A 滚动的总路程为$13×2π=26π$.$\because (+2)+(-1)+(+3)+(-4)+(-3)=-3,-3×2π=-6π,\therefore$ 此时点 A 所表示的数是$-6π$
(2) $4π$ 或 $-4π$
(3) ① 根据题意,第一次滚动后距离原点$2π×2=4π$,第二次滚动后距离原点$2π$,第三次滚动后距离原点$4×2π=8π$,第四次滚动后距离原点$0×2π=0$,第五次滚动后距离原点$3×2π=6π$,$\therefore$ 第四次滚动后,点 A 距离原点最近,第三次滚动后,点 A 距离原点最远
② $\because |+2|+|-1|+|+3|+|-4|+|-3|=13,\therefore$ 点 A 滚动的总路程为$13×2π=26π$.$\because (+2)+(-1)+(+3)+(-4)+(-3)=-3,-3×2π=-6π,\therefore$ 此时点 A 所表示的数是$-6π$
解析
【分析】
本题是圆的周长与数轴、正负数意义结合的应用类题目，解题思路如下：1. 先根据圆半径求出圆的周长为$2πr=2π$，明确滚动1周对应数轴上的距离为$2π$；2. 第(1)问：向左滚动半周的距离为$π$，结合向左为负方向即可得到点C表示的数；3. 第(2)问：滚动2周未指定方向，分向左、向右两种情况计算即可；4. 第(3)问①：每次滚动后计算累计滚动的周数，累计周数的绝对值越小，点A离原点越近，反之越远；②：总路程是所有滚动周数的绝对值之和乘以周长，最终点A的位置是累计滚动周数的代数和乘以周长，向左为负向右为正。
【解析】
已知圆的半径$r=1$，所以圆的周长$C=2πr=2π$。
(1) 圆片沿数轴向左滚动$\frac{1}{2}$周，滚动的距离为$\frac{1}{2}×2π=π$，向左为负方向，故点C表示的数为$-π$。
(2) 圆片沿数轴滚动2周，滚动的距离为$2×2π=4π$：若向右滚动，点D表示的数为$4π$；若向左滚动，点D表示的数为$-4π$，故点D表示的数为$4π$或$-4π$。
(3) ① 计算每次滚动后累计的滚动周数及点A到原点的距离：
第一次滚动后：累计周数为$+2$，距离原点$|+2|×2π=4π$；
第二次滚动后：累计周数为$+2+(-1)=+1$，距离原点$|+1|×2π=2π$；
第三次滚动后：累计周数为$+1+(+3)=+4$，距离原点$|+4|×2π=8π$；
第四次滚动后：累计周数为$+4+(-4)=0$，距离原点$|0|×2π=0$；
第五次滚动后：累计周数为$0+(-3)=-3$，距离原点$|-3|×2π=6π$；
对比距离大小可得：第四次滚动后点A距离原点最近，第三次滚动后点A距离原点最远。
② 总滚动周数的绝对值和为$|+2|+|-1|+|+3|+|-4|+|-3|=13$，故总路程为$13×2π=26π$；
累计滚动周数的代数和为$(+2)+(-1)+(+3)+(-4)+(-3)=-3$，故此时点A表示的数为$-3×2π=-6π$。
【答案】
(1) $-π$
(2) $4π$或$-4π$
(3) ① 第四次滚动后点A距离原点最近，第三次滚动后点A距离原点最远；② 总路程为$26π$，此时点A所表示的数是$-6π$
【知识点】
圆的周长计算，实数与数轴，正负数的意义
【点评】
本题结合生活中的滚动场景，综合考察了圆周长公式、数轴的性质及正负数的实际应用，解题时需要注意滚动方向的不确定性，区分总路程（绝对值和）和最终位置（代数和）的计算差异，锻炼综合分析能力。
【难度系数】
0.6
本题是圆的周长与数轴、正负数意义结合的应用类题目，解题思路如下：1. 先根据圆半径求出圆的周长为$2πr=2π$，明确滚动1周对应数轴上的距离为$2π$；2. 第(1)问：向左滚动半周的距离为$π$，结合向左为负方向即可得到点C表示的数；3. 第(2)问：滚动2周未指定方向，分向左、向右两种情况计算即可；4. 第(3)问①：每次滚动后计算累计滚动的周数，累计周数的绝对值越小，点A离原点越近，反之越远；②：总路程是所有滚动周数的绝对值之和乘以周长，最终点A的位置是累计滚动周数的代数和乘以周长，向左为负向右为正。
【解析】
已知圆的半径$r=1$，所以圆的周长$C=2πr=2π$。
(1) 圆片沿数轴向左滚动$\frac{1}{2}$周，滚动的距离为$\frac{1}{2}×2π=π$，向左为负方向，故点C表示的数为$-π$。
(2) 圆片沿数轴滚动2周，滚动的距离为$2×2π=4π$：若向右滚动，点D表示的数为$4π$；若向左滚动，点D表示的数为$-4π$，故点D表示的数为$4π$或$-4π$。
(3) ① 计算每次滚动后累计的滚动周数及点A到原点的距离：
第一次滚动后：累计周数为$+2$，距离原点$|+2|×2π=4π$；
第二次滚动后：累计周数为$+2+(-1)=+1$，距离原点$|+1|×2π=2π$；
第三次滚动后：累计周数为$+1+(+3)=+4$，距离原点$|+4|×2π=8π$；
第四次滚动后：累计周数为$+4+(-4)=0$，距离原点$|0|×2π=0$；
第五次滚动后：累计周数为$0+(-3)=-3$，距离原点$|-3|×2π=6π$；
对比距离大小可得：第四次滚动后点A距离原点最近，第三次滚动后点A距离原点最远。
② 总滚动周数的绝对值和为$|+2|+|-1|+|+3|+|-4|+|-3|=13$，故总路程为$13×2π=26π$；
累计滚动周数的代数和为$(+2)+(-1)+(+3)+(-4)+(-3)=-3$，故此时点A表示的数为$-3×2π=-6π$。
【答案】
(1) $-π$
(2) $4π$或$-4π$
(3) ① 第四次滚动后点A距离原点最近，第三次滚动后点A距离原点最远；② 总路程为$26π$，此时点A所表示的数是$-6π$
【知识点】
圆的周长计算，实数与数轴，正负数的意义
【点评】
本题结合生活中的滚动场景，综合考察了圆周长公式、数轴的性质及正负数的实际应用，解题时需要注意滚动方向的不确定性，区分总路程（绝对值和）和最终位置（代数和）的计算差异，锻炼综合分析能力。
【难度系数】
0.6
